∑1/m^2的截尾误差

hujunhua

通过一番推导计算，发现上述的上、下界可以改进为\[\D\frac1{m+\frac12+\frac1{12m+6}}< \zeta(2,m+1) <\frac1{m+\frac12+\frac1{12m+6+\frac{32}{10m+5}}}\]

wayne

受hujunhua启发，我惊奇的发现，连分数可以无穷逼近这个表达式。

1. Series[Pi^2/6 - HarmonicNumber[m, 2] -
   
2.   Fold[#2/(m + 1/2 + #1) &, 1,
   
3.    Reverse[Flatten[{{1, 1/12, 4/15, 81/140, 64/63, 625/396, 324/143,
   
4.        2401/780, 1024/255, 6561/1292, 2500/399, 14641/1932, 5184/575,
   
5.        28561/2700, 9604/783, 50625/3596, 16384/1023, 83521/4620,
   
6.        26244/1295, 130321/5772, 40000/1599}, 0}]]], {m, Infinity, 44}]

复制代码

哈哈哈，子子孙孙无穷尽也。

wayne

进一步，发现连分数的分子是有规律的，第$k$层的分子刚好是 $\frac{k^4}{4 (4 k^2-1)}$ ,$k>0$,  连分数展开到第$k$层，展开级数的精确程度可以达到$O(1/m^{2k+3})$，

In[4]:= Table[k^4/(4(4k^2-1)),{k,40}]
Out[4]= {1/12,4/15,81/140,64/63,625/396,324/143,2401/780,1024/255,6561/1292,2500/399,14641/1932,5184/575,28561/2700,9604/783,50625/3596,16384/1023,83521/4620,26244/1295,130321/5772,40000/1599,
194481/7052,58564/1935,279841/8460,82944/2303,390625/9996,114244/2703,531441/11660,153664/3135,707281/13452,202500/3599,923521/15372,262144/4095,1185921/17420,334084/4623,1500625/19596,
419904/5183,1874161/21900,521284/5775,2313441/24332,640000/6399}

1. n = 30; Series[Pi^2/6 - HarmonicNumber[m, 2] - Fold[#2/(m + 1/2 + #1) &, 1, Reverse[Flatten[{1, Table[k^4/(4 (4 k^2 - 1)), {k, n}], 0}]]], {m,  Infinity, 2 n + 4}]

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也就是说，截断误差如下：



===========
太神奇了，我都不知道这种偶然性的规律，背后能揭示什么样的必然性【试验了一次的调和级数，三次的，四次的，都没有这么优美的连分数展开的表达形式】

kastin

wayne 发表于 2018-1-20 14:51
受hujunhua启发，我惊奇的发现，连分数可以无穷逼近这个表达式。

考虑到简单连分数可以写成交错级数求和形式，见http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 32&fromuid=8865
虽然这里的不是简单连分数（因为分子不是1），但连分式中分子有规律，我们可猜测这种复杂连分数也有类似的无穷级数表达形式。

wayne

kastin 发表于 2018-1-20 17:11
考虑到简单连分数可以写成交错级数求和形式，见http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=fin ...

有的，无穷级数的展开系数 就是前面mathe提及的伯努利级数。

zeroieme

很漂亮的结果，可以到哪里发表呢。

hujunhua

记`w=2m+1`, 后面的连分式可以化成
$\zeta(2,m+1)=2/{w+{1^4}/{3w+{2^4}/{5w+{3^4}/{7w+{4^4}/{9w+{5^4}/{\ddots}}}}}}$

hujunhua

取m=0, w=1代入得
${\pi^2}/{12}=1/{1+{1^4}/{3+{2^4}/{5+{3^4}/{7+{4^4}/{9+{5^4}/{\ddots}}}}}}$

这个连分数可能已有。

mathe

很漂亮的公式，而且连分数形式比渐进式计算应该更加有效

hujunhua

math的评价总是很恰当。连分式本是对原初母函数无穷多项的整体逼近，自然要高效些。运气好的话，甚至可得有限连分式母函数。