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楼主: qingjiao

[求助] ∑1/m^2的截尾误差

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 楼主| 发表于 2018-1-18 22:05:04 | 显示全部楼层
非常感谢楼上几位牛人的解答!学习了!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-20 00:09:55 | 显示全部楼层
通过一番推导计算,发现上述的上、下界可以改进为\[\D\frac1{m+\frac12+\frac1{12m+6}}< \zeta(2,m+1) <\frac1{m+\frac12+\frac1{12m+6+\frac{32}{10m+5}}}\]
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发表于 2018-1-20 14:51:42 | 显示全部楼层
受hujunhua启发,我惊奇的发现,连分数可以无穷逼近这个表达式。

  1. Series[Pi^2/6 - HarmonicNumber[m, 2] -
  2.   Fold[#2/(m + 1/2 + #1) &, 1,
  3.    Reverse[Flatten[{{1, 1/12, 4/15, 81/140, 64/63, 625/396, 324/143,
  4.        2401/780, 1024/255, 6561/1292, 2500/399, 14641/1932, 5184/575,
  5.        28561/2700, 9604/783, 50625/3596, 16384/1023, 83521/4620,
  6.        26244/1295, 130321/5772, 40000/1599}, 0}]]], {m, Infinity, 44}]
复制代码


123.png


哈哈哈,子子孙孙无穷尽也。

点评

Series[HarmonicNumber[m, 2] + a/(m + b) - \[Pi]^2/6, {m, Infinity, 10}]  发表于 2018-1-21 11:02
就是不停的待定系数, a/(m+b),计算级数展开,发现b总是等于1/2  发表于 2018-1-21 11:02
分享一下你是怎么找到这种形式的。我看到12rn+6咋没想到它含(m+1/2)呢?  发表于 2018-1-20 21:43
哈哈哈,看到你的连分式,就顺手摘了桃子  发表于 2018-1-20 21:27
正准备抽空求伯努利数这个母函数的连分式呢,干的漂亮。  发表于 2018-1-20 21:15
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发表于 2018-1-20 16:31:17 | 显示全部楼层
进一步,发现连分数的分子是有规律的,第$k$层的分子刚好是 $\frac{k^4}{4 (4 k^2-1)}$ ,$k>0$,  连分数展开到第$k$层,展开级数的精确程度可以达到$O(1/m^{2k+3})$,

In[4]:= Table[k^4/(4(4k^2-1)),{k,40}]
Out[4]= {1/12,4/15,81/140,64/63,625/396,324/143,2401/780,1024/255,6561/1292,2500/399,14641/1932,5184/575,28561/2700,9604/783,50625/3596,16384/1023,83521/4620,26244/1295,130321/5772,40000/1599,
194481/7052,58564/1935,279841/8460,82944/2303,390625/9996,114244/2703,531441/11660,153664/3135,707281/13452,202500/3599,923521/15372,262144/4095,1185921/17420,334084/4623,1500625/19596,
419904/5183,1874161/21900,521284/5775,2313441/24332,640000/6399}
  1. n = 30; Series[Pi^2/6 - HarmonicNumber[m, 2] - Fold[#2/(m + 1/2 + #1) &, 1, Reverse[Flatten[{1, Table[k^4/(4 (4 k^2 - 1)), {k, n}], 0}]]], {m,  Infinity, 2 n + 4}]
复制代码

也就是说,截断误差如下:
321.png


===========
太神奇了,我都不知道这种偶然性的规律,背后能揭示什么样的必然性【试验了一次的调和级数,三次的,四次的,都没有这么优美的连分数展开的表达形式】

点评

调和级数不行,截尾都是发散的。  发表于 2018-1-22 14:39
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发表于 2018-1-20 17:11:11 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-1-20 14:51
受hujunhua启发,我惊奇的发现,连分数可以无穷逼近这个表达式。

考虑到简单连分数可以写成交错级数求和形式,见/forum.php ... 32&fromuid=8865
虽然这里的不是简单连分数(因为分子不是1),但连分式中分子有规律,我们可猜测这种复杂连分数也有类似的无穷级数表达形式。

点评

@hujunhua,明白了  发表于 2018-1-21 15:25
本来就是先有无穷级数,就是想怎么把它化成连分式  发表于 2018-1-20 21:36
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发表于 2018-1-20 17:25:28 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-1-20 17:11
考虑到简单连分数可以写成交错级数求和形式,见/forum.php?mod=redirect&goto=fin ...

有的,无穷级数的展开系数 就是前面mathe提及的伯努利级数。
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发表于 2018-1-20 19:06:27 | 显示全部楼层
很漂亮的结果,可以到哪里发表呢。

点评

可以试试发到mathworld里的伯努利的词条,看他们是否收录  发表于 2018-1-21 00:08
确实很漂亮,不知道是不是新发现  发表于 2018-1-20 22:11
只是很小的公式而已,^_^  发表于 2018-1-20 21:28
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发表于 2018-1-21 00:17:17 | 显示全部楼层
记`w=2m+1`, 后面的连分式可以化成
$\zeta(2,m+1)=2/{w+{1^4}/{3w+{2^4}/{5w+{3^4}/{7w+{4^4}/{9w+{5^4}/{\ddots}}}}}}$

点评

抢回一根桃子毛&#128516;  发表于 2018-1-21 11:30
简洁多了  发表于 2018-1-21 10:49
赞!  发表于 2018-1-21 10:49
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发表于 2018-1-21 00:56:24 | 显示全部楼层
取m=0, w=1代入得
${\pi^2}/{12}=1/{1+{1^4}/{3+{2^4}/{5+{3^4}/{7+{4^4}/{9+{5^4}/{\ddots}}}}}}$

这个连分数可能已有。

点评

但是感很熟悉的样子,难道是咱们坛子的首创?  发表于 2018-1-21 11:28
简单搜了下wikipedia和mathworld,没找到  发表于 2018-1-21 10:58
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发表于 2018-1-21 06:56:26 | 显示全部楼层
很漂亮的公式,而且连分数形式比渐进式计算应该更加有效
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