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楼主: qingjiao

[求助] ∑1/m^2的截尾误差

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发表于 2018-1-21 10:56:59 | 显示全部楼层
math的评价总是很恰当。连分式本是对原初母函数无穷多项的整体逼近,自然要高效些。运气好的话,甚至可得有限连分式母函数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-1-21 11:29:09 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2018-1-21 10:56
math的评价总是很恰当。连分式本是对原初母函数无穷多项的整体逼近,自然要高效些。运气好的话,甚至可得有 ...


我试着把此题推广到了任意的负整数次幂的黎曼zeta函数了【试过$-3,-4,-5$】,发现仍然很有规律,有$m+1/2$,而且分子都是正数,只是规律尚待揭秘,有没有兴趣来一次比赛,看谁捷足先登,嘿嘿,(方法还是老方法,就是待定系数求级数展开),不过我下午要去趟医院了。

点评

半人工的,程序已经在前面的点评里贴出来了  发表于 2018-1-21 13:02
你可以把你的待定系数法编程,不就一下子计算出来了  发表于 2018-1-21 12:18
规律肯定是有的,不可能是随机的嘛。  发表于 2018-1-21 11:57
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发表于 2018-1-21 12:13:32 | 显示全部楼层
@wayne 我计算、推导时要用mathematica10进行简单的多项式计算,但只在办公室电脑上装了m10。家里的老旧本本上好像也装了,但跑得慢,很久没开机了。俺周末不上办公室,本来准备下周来搞伯努利数的母函数连分式的,但也想看看先露的苗头,这两天有没人揪住,结果还真被你揪出来了。不能不赞你一下。
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发表于 2018-1-21 12:33:24 | 显示全部楼层
-3的不该是m+1/2, 应该是个2次式吧

点评

是的,是m+1/2整体的幂  发表于 2018-1-21 13:01
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发表于 2018-1-21 13:07:04 | 显示全部楼层
先发出来,半手工的。

111.png

点评

得到a,b的值后,放进去,重复操作,就好越滚越大了  发表于 2018-1-22 15:11
我的公司电脑不敢安装盗版软件.网页版本的Mathematica又不支持2D的公式编辑,所以不方便.这个是半手工的代码.想要得到更多的项,需要将最里面的m+1/2换成m+1/2+a/(m+b),然后再令系数为0,得到a,b的值  发表于 2018-1-22 15:10
你这不是计算过程,是得到结果后的验算吧  发表于 2018-1-22 14:28
所以,我就抛出来了呀,期望指点一二.目前我还是没看出规律来,或者需要换种形式?  发表于 2018-1-22 10:23
这么个整体幂呀,这可有点难度  发表于 2018-1-21 23:20
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发表于 2018-1-22 16:32:09 | 显示全部楼层
@wayne
"目前我还是没看出规律来,或者需要换种形式?"
既然能一致保持m+1/2不变,这种形式就是正确的方向。只是需要像前面一样,在分子分母间重新分配因子,略作一下变形,规律方能更浅显。
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发表于 2018-1-23 11:30:07 | 显示全部楼层
@hujunhua
恩,昨晚上试过了重新分配,发现分子分母还是那么的大,因子分解后还是那几个大质数的乘积,而且容易生成超大的质数,无果.

后来,为了评估这些数的增长速度的模型,我对这些分子/分母都做了取对数再开方的运算,画图发现近似一条完美的直线(观察的数据有12组,即连分数展开到了第12层).也就是说,分子或分母的增长速度的模型大致是$O(a^(k^2))$,[$a$是常数,$k$是连分数的层级数]
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发表于 2018-1-24 19:57:16 | 显示全部楼层
考虑一下两个数列,$S_n$和$T_n$:
$$S_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$
$$T_n = S_n +\frac{1}{n} =  \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}$$
$ \forall n$很显然有$S_n < T_n$
事实上,可以证明$T_n$是递减的,于是有$$S_1 < S_2 < \ldots < S_n < T_n < \ldots < T_2 < T_1$$
另一方面,易知两者有同一个极限$\frac{\pi^2}{6}$,于是有
$$S_n < \frac{\pi^2}{6} < T_n = S_n +\frac{1}{n}$$,进而有
$$\frac{\pi^2}{6} - S_n < \frac{1}{n} $$

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发表于 2018-1-25 14:37:23 | 显示全部楼层
baindeglace 发表于 2018-1-24 19:57
考虑一下两个数列,$S_n$和$T_n$:
$$S_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$$
$$T_n = S_n +\frac{1}{n} =  \ ...


方法是正确的。8#和11#的上下限就是按这种想法推导出来的。
8#和10#的推导过程与@wayne的方法有所不同。wayne可能是先有级数(明有或者暗有),然后用待定系数法;而8#和10#则不依赖于已知级数。

设`\D T_n=S_n+\frac{a}{n+b}`,对任意给定常数`a,b`,皆有`\D\lim_{n\to\infty}T_n=\D\lim_{n\to\infty}S_n`,然后
1、求最大的a、然后最小的b, 使`T_n`为递增序列
2、求最小的a、然后最大的b, 使`T_n`为递减序列

当让b随n而变化时,就层层递进得到连分数。

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"可能"可以去掉,^_^  发表于 2018-1-26 13:45
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发表于 2018-1-25 15:51:23 | 显示全部楼层
在Mathematica10中可以计算出那个连分数,,果然已有啊。
捕获.PNG
捕获2.PNG

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不管他原来有没有,用你们的办法能算出来,就是成功。  发表于 2018-1-25 17:20
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