求定积分的极限值

zuijianqiugen

A(k) =（a → 0）∫(a，k/a)[1/(2x)-1/(xe^x)]dx =？ .  其中，k＞0.

kastin

注意到当 `x\to 0` 时 `\ln x \sim~ \mathrm{Ei}(-x)`，以及 `\mathrm{Ei}(-k/x)\to 0\;(k>0)`，这里 `\mathrm{Ei}(x)` 是指数积分\[\mathrm{Ei}(x)=\int_{-x}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}\dif t\]不难计算出\[A(k)=\frac{\ln x-2\mathrm{Ei}(-x)}{2}\vert_a^{k/a}=\frac12 \ln k\]

zuijianqiugen

kastin 发表于 2018-1-20 16:38
注意到当 `x\to 0` 时 `\ln x \sim~ \mathrm{Ei}(-x)`，以及 `\mathrm{Ei}(-k/x)\to 0\;(k>0)`，这里 `\mat ...

用计算软件得出的数值与你算出的结果有偏差。

zuijianqiugen

kastin 发表于 2018-1-20 16:38
注意到当 `x\to 0` 时 `\ln x \sim~ \mathrm{Ei}(-x)`，以及 `\mathrm{Ei}(-k/x)\to 0\;(k>0)`，这里 `\mat ...

用积分计算器：
函数式为：(1/x)*(1-2*(%e)^(-x))
x从0.001到1000
计算积分得1.152431829691975

wayne

我用软件计算发现接近于0的地方 原函数的积分是发散的。

mathe

是的，需要0和无穷部分相互抵消

zuijianqiugen

wayne 发表于 2018-1-21 11:06
我用软件计算发现接近于0的地方 原函数的积分是发散的。

此积分取极限后，是一个不定型广义积分。端点关系不同，其积分值也不同。

mathe

\[A(k)=\lim_{a->0}\frac{\ln x-2\mathrm{Ei}(-x)}{2}\vert_a^{k/a}=\frac12 \ln k\]
\[A[k]=\lim_{a->0}\ln(\sqrt{k})-\ln(a)-E_1(a)\]
\[A[k]=\lim_{a->0}\ln(\sqrt{k})-\ln(a)+\gamma+\ln(a)=\frac{\ln{k}}{2}+\gamma\]
http://mathworld.wolfram.com/En-Function.html

kastin

zuijianqiugen 发表于 2018-1-20 22:50
用积分计算器：
函数式为：(1/x)*(1-2*(%e)^(-x))
x从0.001到1000

第一，判别准确性需要建立一个标准，取有限位数字并不能说明什么，因为根据问题的不同，收敛速度也会不一样。比如，众所周知调和级数`\sum_{k=1}^{\infty}\frac 1 k`是发散的，但取1到1000数值求和计算约等于7.485470860550345，这个结果与 `\infty` 相差甚远，能否说明调和级数结果是 `\infty` 的结论就不准确？再比如 `\D\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1`，然而采用数值验证 `x=0.0001`，发现结果约为0.00009999999983333334，跟1相差也很大，这种验证就能说明 `\D\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1` 不对吗？所以类似地，4#中取0.001到1000得到的结果说明不了什么。

第二，数值计算并不总能验证分析的结果，因为计算机本身能表示的精度是有限的，舍入误差会导致有效数字丢失。
至少在这两种情况下是如此：

1）存在无穷的加减
因为数值计算无论数值多么大，其本身仍是限数值的计算，服从四则运算规律，但无穷大量却不服从有限数的运算规律。所以，无论如何数值运算都得不到无穷大量加减运算的精确结果，楼主的问题正是这种情形。实际上楼主的问题更为复杂，因为还会牵扯到数值积分中用到的积分策略和规则，以及一些加速收敛技术等，这些对结果的好坏至关重要（下面将说明）。

2）软件的数值计算（比如级数求和，数值积分等）过程中使用不合适的方法
一些数学软件会在数值计算（微分方程数值求解、级数求和、数值积分、方程求根等）过程中会提供不同的方法（规则和策略）的选项供用户选择（比如MMA中NIntegrate函数对于数值积分中内置的策略和规则的使用 http://reference.wolfram.com/lan ... egrateOverview.html），以及加速策略（比如《数值积分中加速收敛法的应用》中提到的http://xueshu.baidu.com/s?wd=pap ... 6070319582609936229）。通常，软件会默认选择常用的方法（大多数情况下有效），但对一些特殊的问题（比如高振荡积分、慢收敛积分），必须人工指定方法和精度，否则就会产生很大的误差（甚至得不到收敛的结果）。另外，如果数值计算的中间过程中，变量的数值非常大（比如涉及到无穷大的加减无穷大很小的数的加减），会造成有效数字的丢失，从而出现非常大的累计误差，数值结果就不准确。

比如`k=1`时
`a=10^{-4}`，NIntegrate[1/(2 x) - 1/(x Exp[x]), {x, 10^-4, 1/10^-4}]结果约为0.5771156674014823
`a=10^{-105}`，NIntegrate[1/(2 x) - 1/(x Exp[x]), {x, 10^-105, 1/10^-105}] ，结果显示不收敛：
NIntegrate::ncvb: 在接近 {x} = {1.565264454266327*10^48} 处的 x 中进行 9 次迭代对分后，NIntegrate 无法收敛到规定的准确度. 对于积分和误差估计，NIntegrate 得到 8.941160395404722 和 17.35772152787667. >>
8.941160395404722

zuijianqiugen

mathe 发表于 2018-1-21 14:50
\[A(k)=\lim_{a->0}\frac{\ln x-2\mathrm{Ei}(-x)}{2}\vert_a^{k/a}=\frac12 \ln k\]
\[A[k]=\lim_{a->0}\ ...

A[k]是何意？