一个三角方程的虚根解的判定

wayne

shufubisheng 发表于 2018-1-24 14:41
根据你的推断，原方程没有虚根？

要么纯实根，要么纯虚根．
设$z=x+yi$
纯粹的实根是在　方程$tan(x)/x =a$ 有实数解的时候.  此时, $z = x$ .
纯粹的虚根是在　方程$tanh(y)/y =a$有实数解的时候, 此时, $z = yi$

kastin

因为 `\tan ix=i\tanh x`，令 `z=i x,\;x\neq 0`，故转化为讨论 `\tanh x=x` 实根的情况。
显然 `\tanh x` 为奇函数，且 `(\tanh x)'=\mathrm{sech}^2x>0`，即在R上单调递增。注意到 `\mathrm{sech}^2x|_{x=0}=1`，即在原点切线斜率为1，不难证明 `x>0` 时 `x>\tanh x`；`x<0` 时 `x<\tanh x`. 可见 `0 < a < 1`时有实根，即原方程有纯虚根（考虑到奇函数反对称性，这些虚根是共轭的）。

从而 `a\geqslant 1` 时原方程有实根，`0< a < 1` 时有纯虚根。

shufubisheng

wayne 发表于 2018-1-24 14:45
要么纯实根，要么纯虚根．

纯粹的实根是在　方程$tan(x)/x =a$ 有实数解的时候.  此时, $z = x$ .

通过作图分析，方程tan(Z)=aZ有无穷多个实根。
问题是，，方程tan(Z)=aZ有多少个虚根？

shufubisheng

kastin 发表于 2018-1-24 14:48
因为 `\tan ix=i\tanh x`，令 `z=i x,\;x\neq 0`，故转化为讨论 `\tanh x=x` 实根的情况。
显然 `\tanh x` ...

a≤ 0呢？

shufubisheng

wayne 发表于 2018-1-24 14:45
要么纯实根，要么纯虚根．
设$z=x+yi$
纯粹的实根是在　方程$tan(x)/x =a$ 有实数解的时候.  此时, $ ...

实根问题已经解决，问题是虚根。

shufubisheng

wayne 发表于 2018-1-24 14:45
要么纯实根，要么纯虚根．
设$z=x+yi$
纯粹的实根是在　方程$tan(x)/x =a$ 有实数解的时候.  此时, $ ...

要么纯实根，要么纯虚根．————能否给出证明过程？

wayne

shufubisheng 发表于 2018-1-24 15:09
要么纯实根，要么纯虚根．————能否给出证明过程？

令$z=x+yi$，则
$\frac{\tan (x+i y)}{x+i y} =\frac{x \sin (2 x)}{(x^2+y^2) (\cos (2 x)+\cosh (2 y))}+\frac{y \sinh (2 y)}{(x^2+y^2) (\cos (2 x)+\cosh (2 y))}+i (\frac{x \sinh (2 y)}{(x^2+y^2) (\cos (2 x)+\cosh (2 y))}-\frac{y \sin (2 x)}{(x^2+y^2) (\cos (2 x)+\cosh (2 y))}) $

shufubisheng

wayne 发表于 2018-1-24 15:41
令$z=x+yi$，则
$\frac{\tan (x+i y)}{x+i y} =\frac{x \sin (2 x)}{(x^2+y^2) (\cos (2 x)+\cosh (2 y) ...

可以归纳如下：
（1）当|a-1/2|≥ 1/2时，tan(Z)=aZ（a为实数）只有无穷多个实根；
（2）当|a-1/2|＜1/2时，tan(Z)=aZ（a为实数）除了无穷多个实根外，有且只有一对相反纯虚根。