函数图像的交点问题

shufubisheng

1、指数函数y=a^x与对数函数y=log_bx的图像有几个交点？其中，a≠b。
2、最好能提供两底数a与b的关系坐标图。其中，a为横坐标、b为纵坐标。

kastin

记 `r=\D\frac{\ln b}{\ln a}`，则 `y=\D \log_b x=\frac{1}{r}\log_a x`，仿照之前帖子的做法，相当于找 `f(x)=\log_a\log_a x-x-\log_a r`的根的个数。
显然各阶导数仍然不变，故单调区间，拐点、极值点的相对位置都没改变，只是整体平移了 `-\log_a r` 个单位长度。因此，只需要判断 `\log_a r` 与极值点函数值的关系就能判断交点个数。

对于两个极值点的情况，`a` 的范围仍然是 `0< a <\mathrm e^{-\mathrm e}`. 若 `f(x_1)< \log_a r < f(x_0)`，那么仍然是三个交点；若 `\log_a r < f(x_1)` 或 `\log_a r >f(x_0)` 则只有一个交点；若 `\log_a r = f(x_1)` 或 `\log_a r=f(x_0)`，只有两个交点。
对于 `a =\mathrm e^{-\mathrm e}` 时 ，无论 `r` 取何值，只有一个交点。
对于 `\mathrm e^{-\mathrm e}< a < 1` 时，无极值点，故函数单调，所以无论 `r` 取何值，只有一个交点。
对于 `1< a < \mathrm e^{1/\mathrm e}`，函数为上凹的，所以若 `\log_a r < f(x^*)`，有两个交点；若`\log_a r = f(x^*)`，有一个交点；若 `\log_a r > f(x^*)`，没有交点。
对于 `a=\mathrm e^{1/\mathrm e}` 时，当 `r=1`时有一个交点；当 `r > 1`，没有交点；当 `r< 1`，有两个交点。
对于 `a>\mathrm e^{1/\mathrm e}`时，若 `\log_a r=f(x^*)`，有一个交点；若 `\log_a r > f(x^*)`，没有交点；当 `\log_a r< f(x^*)`，有两个交点。

上面因为极值点无法用解析表达式表示，故上面用符号代替，但是只要能给出数值就能作出判断。

shufubisheng

kastin 发表于 2018-1-26 20:44
记 `r=\D\frac{\ln b}{\ln a}`，则 `y=\D \log_b x=\frac{1}{r}\log_a x`，仿照之前帖子的做法，相当于找 ` ...

极值点虽然无法用解析表达式表示，但可以用隐函数方程来表示呀！

shufubisheng

kastin 发表于 2018-1-26 20:44
记 `r=\D\frac{\ln b}{\ln a}`，则 `y=\D \log_b x=\frac{1}{r}\log_a x`，仿照之前帖子的做法，相当于找 ` ...

能否提供两底数a与b的关系坐标图？

wayne

shufubisheng 发表于 2018-1-26 21:04
能否提供两底数a与b的关系坐标图？

这个算不算有点 "贪得无厌" , 完全可以自己下载一个数学软件，自个儿玩呀

shufubisheng

wayne 发表于 2018-1-26 21:19
这个算不算有点 "贪得无厌" , 完全可以自己下载一个数学软件，自个儿玩呀

1、自己不会下载数学软件，也不会玩数学软件。
2、 "贪得无厌" 的意义在于数学交流。

shufubisheng

wayne 发表于 2018-1-26 21:19
这个算不算有点 "贪得无厌" , 完全可以自己下载一个数学软件，自个儿玩呀

玩数学软件是你们年青人的专利。我年青时候，听个收音机就很稀罕。

zeroieme

课本是旧时代的无声老师，如今是数学软件。
我小时候，听个收音机就很稀罕，现在上网交流。用数学软件比上网还简单。

wayne

，我小时候听个收音机也很稀罕。花了10元买了一个收音机，天天听国外的电台，VOA, family radio.这两个台都是慢速的英语，特喜欢,喜欢其安稳缓沉的语音，又因为是短波，一般都是晚上收听的信号强，所以我总是一个人下自习躲到操场的小角落，像个孤僻的独行侠一样， 。天天数学演算用掉很多的草稿纸，将自然数的等幂和的公式推算到了17次幂[主要是多阶的差分以及繁杂的因式分解]，学校小店的草稿纸都因为我的多次光临而变贵了，后来自己又发现了这些公式之间的微积分关系，以及公式前若干项的系数的规律就觉得自己是哥伦布，是陈景润了，，，。 后来进大学了才第一次接触电脑，还有网络，才发现曾经的自己多么的闭塞和轻狂，才知道那个公式叫做Faulhaber's 冯哈伯公式(https://www.wikiwand.com/en/Faulhaber%27s_formula)，进而又知道了Euler–Maclaurin 公式(https://www.wikiwand.com/en/Euler%E2%80%93Maclaurin_formula)，而那些我始终未能发现其普适规律的系数叫做 伯努利数(https://www.wikiwand.com/en/Bernoulli_numbers)。而所有的这些，在数学软件里，都是如此的稀松平常，，所以我大二的时候开始疯狂的爱上了Mathematica,追Stephen Wolfram(http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/07/stephen_wolfram.html)。其实，人人都有故事的。有句话叫做活到老，学到老，学无止境，要与时俱进。

shufubisheng

zeroieme 发表于 2018-1-26 21:39
课本是旧时代的无声老师，如今是数学软件。
我小时候，听个收音机就很稀罕，现在上网交流。用数学软件比上 ...

有些数学问题，数学软件是解决不了的。此题两底数a与b的关系坐标图，不研究出a与b的关系式，数学软件是画不出关系坐标图的。