函数图像的交点问题

shufubisheng

kastin 发表于 2018-1-26 20:44
记 `r=\D\frac{\ln b}{\ln a}`，则 `y=\D \log_b x=\frac{1}{r}\log_a x`，仿照之前帖子的做法，相当于找 ` ...

我已经解决出a与b都大于1的图像交点问题，目前正在简化数学表达关系式，滞后再与老师们切磋交流。

shufubisheng

kastin 发表于 2018-1-26 20:44
记 `r=\D\frac{\ln b}{\ln a}`，则 `y=\D \log_b x=\frac{1}{r}\log_a x`，仿照之前帖子的做法，相当于找 ` ...

不愧是老师水平！两底数a与b的关系坐标图就是绘制出一个交点、两个交点、三个交点的参数平面区域范围图。
这是数学软件单独解决不了的问题。

zeroieme

shufubisheng 发表于 2018-1-26 23:14
有些数学问题，数学软件是解决不了的。此题两底数a与b的关系坐标图，不研究出a与b的关系式，数学软件是画 ...

首先，人类还没发明解决一切问题的软件。所以有些数学问题数学软件是解决不了的没错。
就跟汽车还不能100%替代走路一样。但汽车能载人去得更远，更快接近目标。解决数学问题如今先用软件算出大量个别解，画出曲线。令问题呈现出大概的轮廓，再到人脑深入思考，就能事半功倍。

zeroieme

更进一步说，没尝试过数学软件怎么能断定什么问题数学软件是解决不了的呢？除非是已经证明了超越逻辑的不可判定问题。

wayne

shufubisheng 发表于 2018-1-26 23:27
不愧是老师水平！两底数a与b的关系坐标图就是绘制出一个交点、两个交点、三个交点的参数平面区域范围图。 ...

所以，你要的不是a与b的函数关系图，而是两个方程的解的个数在 条件里的a,b作为自变量的约束关系，可行域的图，对吧。 这个谁说不能用软件表示了，我明天就用Mathematica给你画个图看看。

mathe

你要的是参数曲线\(\begin{cases}a=\exp(he^{-\frac{1}{h}})\\b=\exp(\frac{e^{-h}}{h})\end{cases}\)吧？这时俩曲线相切
前面参数h为负数部分曲线不全，重新补上

shufubisheng

mathe 发表于 2018-1-27 07:32
你要的是参数曲线a=exp(h*exp(-1/h)),b=exp(exp(-h)/h)吧？这时俩曲线相切

此图能判定指数函数与对数函数的图像有几个交点吗？

wayne

将$a^x=\log_{b}x$变换一下，得到$ln|lnx|-xlna=ln|lnb|$,看的不顺眼，继续做常数变换，设$A=-lna,B=ln|lnb|$,原问题变成$f(x) = ln|lnx|+Ax$与直线$f(x)=B$的交点的个数问题的讨论

mathe

我们考虑任何一个参数变换的时候，曲线会发生微弱的变化，同时俩曲线的交点也会相应的移动，但是只有两个交点合并到一个点时（这时就对应俩光滑曲线相切），交点数目才会发生变化，而继续变化下去，这两个合并后的点还可能消失（交点数目继续减少）。
由此可见，俩曲线相切情况的解就代表了a-b平面上解的数目的分界线。
对于给定的参数a,b,俩曲线交点就是方程\(a^x-\log_bx=0\)的解。两者相切，说明交点是一个重根，也就是这时关于x的导数方程\(a^x\ln(a)-\frac{1}{x\ln(b)}=0\)的根。联立俩方程\(\begin{cases}a^x-\log_bx=0\\a^x\ln(a)-\frac{1}{x\ln(b)}=0\end{cases}\),并且记\(h=\frac{1}{\ln(x)}\)
解得a,b的表达式
作图上面a-b对应曲线，可以知道将第一象限分成三部分，分别计算三部分解的数目就可以得出最后结果了，如果我们选择前面分析过的a=b时对应的结果，放入这里就可以直接快速得出各部分解的数目了

shufubisheng

kastin 发表于 2018-1-26 20:44
记 `r=\D\frac{\ln b}{\ln a}`，则 `y=\D \log_b x=\frac{1}{r}\log_a x`，仿照之前帖子的做法，相当于找 ` ...

应该可以求出不同交点个数的边界条件。