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[悬赏] 如何证明伯努利数的一种性质?

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发表于 2018-2-5 13:46:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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由伯努利数Bn定义“新伯努利数”:
   
         Cn=(Bn/n)22n-1(22n-1)

通过具体计算,发现“新伯努利数”Cn有一种类似欧拉数En的性质:
(1)Cn是一个整数;
(2)C1=1,C2n的个位是2,C2n+1的个位是6。

    问题是,如何证明以上两个性质呢?
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-2-5 15:22:58 | 显示全部楼层
`B_n/n` 不是整数吧?
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发表于 2018-2-5 16:19:18 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-2-5 15:22
`B_n/n` 不是整数吧?

Cn是一个整数
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发表于 2018-2-5 17:43:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2018-2-5 17:46 编辑

先标记一下,楼主把零项都去掉了,我用通常的记号,把问题重新描述一下:
记$B_n$是https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number中定义的伯努利数,$c_n=B_n/n 2^n(2^n-1)$,求证:当$n>1$时,$c_(2n)\equiv7+(-1)^n(mod 10)$.
验证代码:
  1. Table[Mod[BernoulliB[n]/n*2^n(2^n-1),10]-7-(-1)^(n/2),{n,2,40,2}]
复制代码
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 楼主| 发表于 2018-2-5 18:12:47 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-2-5 17:43
先标记一下,楼主把零项都去掉了,我用通常的记号,把问题重新描述一下:
记$B_n$是https://en.wikipedia. ...

lsr314老师是将“新伯努利数”进行代数化处理了,内容更加全面,形式更加简单,估计其证明有希望了。
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发表于 2018-2-5 23:44:49 | 显示全部楼层
和欧拉数的证明差不多。
B_n.jpg

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发表于 2018-2-6 11:15:22 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-2-5 17:43
先标记一下,楼主把零项都去掉了,我用通常的记号,把问题重新描述一下:
记$B_n$是https://en.wikipedia. ...

最初是用 `b_n=(-1)^{k+1}B_{2k}` 来表示去掉零项的伯努利数,现在一般学术上多用 `B_n` 表示包括零项和正负符号的伯努利数,希望以后楼主用约定俗成的符号(或者说明一下含义),以免引起误解。

这个问题应该有两种解法,一种是联系伯努利数和欧拉数的关系,利用这个帖子 https://bbs.emath.ac.cn/thread-5522-2-1.html 中的结论证明;一种是直接归纳证明。

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能证明求ψ(n/m)的公式否?  发表于 2018-2-6 12:07
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 楼主| 发表于 2018-2-6 15:47:38 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-2-5 23:44
和欧拉数的证明差不多。

证明遇到问题:如何证明C2n是一个整数呀!

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递推公式里$C_(2n)$的系数是1,自然是整数  发表于 2018-2-6 16:49
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发表于 2018-2-6 17:56:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 kastin 于 2018-2-6 17:58 编辑

4楼结论可变为\[\begin{cases}c_{4n+2}&\equiv 6\pmod{10}\\c_{4n}&\equiv 8\pmod{10}\end{cases},(n\geqslant 1)\]因为伯努利数有定义 `\D\frac{t}{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^{\infty}B_n\frac{t^n}{n!}`,另一方面,考虑到第一类欧拉数的定义\[\frac{2\exp(t)}{\exp(2t)+1}=\sum_{k=0}^{\infty}E_n\frac{t^n}{n!}\] 由于\[\frac{2\exp(t)}{\exp(2t)+1}=\frac 1 t\*\left(\frac{2t}{\exp(2t)-1}-\frac{4t}{\exp(4t)-1}\right)\exp(t)\]于是有\[\begin{split}\sum_{n=0}^{\infty}E_n\frac{t^n}{n!}&=\frac 1 t\*\left(\sum_{n=0}^{\infty}2^nB_n\frac{t^n}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty}4^nB_n\frac{t^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}\right)\\
&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}2^{n+1}(1-2^{n+1})\frac{B_{n+1}}{n+1}\frac{t^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}\right)\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^nC_n^k2^{k+1}(1-2^{k+1})\frac{B_{k+1}}{k+1}\right)\frac{t^n}{n!}\end{split}\]因此\[E_n=\sum_{k=0}^nC_n^k\frac{2^{k+1}(1-2^{k+1})}{k+1}B_{k+1}\tag{1}\]这是一个非常重要的关系,联系了伯努利数和欧拉数。接下来,利用 4#12#结论,以及上面要证明的结论分别代入上式左右两端即可证明。

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有数学水平,点赞!能否证明出求ψ(n/m)的公式?  发表于 2018-2-6 18:29
若引入欧拉多项式 `E_n(x)`,则4#给出的 `c_n=-2^{n-1}E_{n-1}(0)`.  发表于 2018-2-6 18:03
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发表于 2018-2-6 19:55:41 | 显示全部楼层
因为欧拉数的奇数项为零,可令9# `(1)` 中 `n=2m-1`,注意到除第一项外,伯努利数的奇数项为零,整理得\[\sum_{k=1}^{m}C_{2m-1}^{2k-1}\frac{2^{2k}(2^{2k}-1)}{2k}B_{2k}=1\]即\[\sum_{k=1}^{m}C_{2m-1}^{2k-1}c_{2k}=1\]和6#中间结果一致。

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