如何证明伯努利数的一种性质？

zuijianqiugen

由伯努利数B_n定义“新伯努利数”：
   
         C_n=(B_n/n)2^2n-1(2²ⁿ-1)

通过具体计算，发现“新伯努利数”C_n有一种类似欧拉数E_n的性质：
（1）C_n是一个整数；
（2）C₁=1，C_2n的个位是2，C_2n+1的个位是6。

    问题是，如何证明以上两个性质呢？

kastin

`B_n/n` 不是整数吧？

shufubisheng

kastin 发表于 2018-2-5 15:22
`B_n/n` 不是整数吧？

C_n是一个整数

lsr314

先标记一下，楼主把零项都去掉了，我用通常的记号，把问题重新描述一下：
记$B_n$是https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number中定义的伯努利数，$c_n=B_n/n 2^n(2^n-1)$,求证:当$n>1$时,$c_(2n)\equiv7+(-1)^n(mod 10)$.
验证代码：

1. Table[Mod[BernoulliB[n]/n*2^n(2^n-1),10]-7-(-1)^(n/2),{n,2,40,2}]

复制代码

zuijianqiugen

lsr314 发表于 2018-2-5 17:43
先标记一下，楼主把零项都去掉了，我用通常的记号，把问题重新描述一下：
记$B_n$是https://en.wikipedia. ...

lsr314老师是将“新伯努利数”进行代数化处理了，内容更加全面，形式更加简单，估计其证明有希望了。

lsr314

和欧拉数的证明差不多。

kastin

lsr314 发表于 2018-2-5 17:43
先标记一下，楼主把零项都去掉了，我用通常的记号，把问题重新描述一下：
记$B_n$是https://en.wikipedia. ...

最初是用 `b_n=(-1)^{k+1}B_{2k}` 来表示去掉零项的伯努利数，现在一般学术上多用 `B_n` 表示包括零项和正负符号的伯努利数，希望以后楼主用约定俗成的符号（或者说明一下含义），以免引起误解。

这个问题应该有两种解法，一种是联系伯努利数和欧拉数的关系，利用这个帖子 https://bbs.emath.ac.cn/thread-5522-2-1.html 中的结论证明；一种是直接归纳证明。

zuijianqiugen

lsr314 发表于 2018-2-5 23:44
和欧拉数的证明差不多。

证明遇到问题：如何证明C_2n是一个整数呀！

kastin

4楼结论可变为\[\begin{cases}c_{4n+2}&\equiv 6\pmod{10}\\c_{4n}&\equiv 8\pmod{10}\end{cases},(n\geqslant 1)\]因为伯努利数有定义 `\D\frac{t}{\exp(t)-1}=\sum_{n=0}^{\infty}B_n\frac{t^n}{n!}`，另一方面，考虑到第一类欧拉数的定义\[\frac{2\exp(t)}{\exp(2t)+1}=\sum_{k=0}^{\infty}E_n\frac{t^n}{n!}\] 由于\[\frac{2\exp(t)}{\exp(2t)+1}=\frac 1 t\*\left(\frac{2t}{\exp(2t)-1}-\frac{4t}{\exp(4t)-1}\right)\exp(t)\]于是有\[\begin{split}\sum_{n=0}^{\infty}E_n\frac{t^n}{n!}&=\frac 1 t\*\left(\sum_{n=0}^{\infty}2^nB_n\frac{t^n}{n!}-\sum_{n=0}^{\infty}4^nB_n\frac{t^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}\right)\\
&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}2^{n+1}(1-2^{n+1})\frac{B_{n+1}}{n+1}\frac{t^n}{n!}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^n}{n!}\right)\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^nC_n^k2^{k+1}(1-2^{k+1})\frac{B_{k+1}}{k+1}\right)\frac{t^n}{n!}\end{split}\]因此\[E_n=\sum_{k=0}^nC_n^k\frac{2^{k+1}(1-2^{k+1})}{k+1}B_{k+1}\tag{1}\]这是一个非常重要的关系，联系了伯努利数和欧拉数。接下来，利用 4#或12#结论，以及上面要证明的结论分别代入上式左右两端即可证明。

kastin

因为欧拉数的奇数项为零，可令9# `(1)` 中 `n=2m-1`，注意到除第一项外，伯努利数的奇数项为零，整理得\[\sum_{k=1}^{m}C_{2m-1}^{2k-1}\frac{2^{2k}(2^{2k}-1)}{2k}B_{2k}=1\]即\[\sum_{k=1}^{m}C_{2m-1}^{2k-1}c_{2k}=1\]和6#中间结果一致。