棺材问题

wayne

据说上世纪七八十年代，莫斯科大学的数学系的入学考试【类似于高考】针对犹太学生要专门加试，这加试的试题往往都是看上去很简单，实则较难的那种，俗称棺材题。
近些年网络上有人挖坟，把这些题都抖出来了，我也逐个的放出来，供大家乐呵乐呵。注意哦，考试时间是两个小时，总共$21$题,我先选取前5题：
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1）求方程的实数解 \[2 \sqrt[3]{2x-1} = x^3+1\]

2）求不等式解：\[x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})<=11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}\]
3）求方程的解：\[\sin^7x+\frac{1}{\sin^3x} = \cos^7x+\frac{1}{\cos^3x}\]
4）消去分母的根式：\[\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}\]
5）尺规作图：给定三角形$ABC$，作$AB$上的点$K$,$BC$上的点$M$，使得$AK=KM=MC$

mathe

计算量好像都很大，比如第四题分子分母可以同时乘上\(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ca}\)
使得分母变为\(a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\)
然后分子分母还需要同时乘上\((a+b+c)^2+3\sqrt[3]{abc}(a+b+c)+9\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
使得分母变化为\((a+b+c)^3-27abc\)

zeroieme

3)
用\(\frac{2 t}{t^2+1}\)替换\(\sin (x)\)，用\(\frac{1-t^2}{t^2+1}\)替换\(\cos (x)\)
得到\(\frac{\left(t^2+2 t-1\right) \left(t^{24}-2 t^{23}+12 t^{22}-10 t^{21}+50 t^{20}-110 t^{19}+284 t^{18}+42 t^{17}+175 t^{16}-308 t^{15}+1752 t^{14}-452 t^{13}-452 t^{12}+452 t^{11}+1752 t^{10}+308 t^9+175 t^8-42 t^7+284 t^6+110 t^5+50 t^4+10 t^3+12 t^2+2 t+1\right)}{8 (t-1)^3 t^3 (t+1)^3 \left(t^2+1\right)^7}=0\)

mathe

第三题应该只有解sin(x)=cos(x)

kastin

1. 设 `f(x)=\sqrt[3]{2x-1}`，方程等价为 `f(x)=f^{-1}(x)`，方程的解即函数与其反函数图像交点。因为函数与其反函数关于直线 `y=x` 对称，故交点必有 `x=f(x)`，从而有 `(x-1)(x^2+x-1)=0`，解得 `x=1,\D\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}` 共三个根。

补充内容 (2018-3-5 14:17):
`f(x)` 为单调递增函数

mathe

设数列$c_n=sin^{2n+1}(x)-cos^{2n+1}(x), a=sin(x)-cos(x),b=sin(x)cos(x)$.
于是数列有两个特征根$sin^2(x),cos^2(x)$,所以对应特征方程为$x^2-x+b^2$
于是$c_{n+1}=c_n-b^2c_{n-1}$
根据$c_0=a,c_{-1}=-a/b$,计算
$c_{-2}={c_{-1}-c_0}/b^2=-{a(1+b)}/b^3$
$c_1=c_0-b^2c_{-1}=a(1+b), c_2=c_1-b^2c_0=a(1+b-b^2),c_3=c_2-b^2c_1=a(1+b-2b^2-b^3)$
于是根据$c_{-2}+c_3=0$可以得出$a(b^3+b^4-2b^5-b^6-1-b)=0$
即可的出a=0或$b^3+b^4-2b^5-b^6-1-b=0$后面b的方程估算就可以知道没有绝对值不超过1/2的实数解,所以不可能等于$b=sin(x)cos(x)$
由此得出所有解只能满足$sin(x)=cos(x)$

mathe

第五题最容易，做底为AC,底角为|A-C|/2的等腰三角形,其腰就是所求的三线段长度

kastin

2. 注意到根式内不能为负，故 `-1\leqslant x\leqslant 1`，从而有 `\D\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\geqslant \frac{8(x+2)}{11-x}`. 作代换 `t=\D\frac{1+x}{1-x}`，可知 `t\geqslant 0`，不等式化为 `\sqrt{t}\geqslant \frac{4(3t+1)}{5t+6}`，即 `(t-4)(25t^2+16t+4)\geqslant 0`，解得 `t\geqslant 4`，即 `\D\frac{3}{5}\leqslant x \leqslant 1 `.  由于这里分母为零时仍满足不等关系，故没有单独讨论。

kastin

3. 显然有一个解为 `\sin x=\cos x`，即 `x=\frac{\pi}{4}+n\pi`. 考虑函数 `f(x)=x^7+1/x^3` 的单调性可分析剩余的解的情况。

mathematica

kastin 发表于 2018-3-4 22:28
3. 显然有一个解为 `\sin x=\cos x`，即 `x=\frac{\pi}{4}+n\pi`. 考虑函数 `f(x)=x^7+1/x^3` 的单调性可分 ...

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. Solve[{x^7+1/x^3==y^7+1/y^3,x^2+y^2==1},{x,y}]
   

复制代码

我只会用mathematica求解第二题!
解相当地庞大,所以我只给一个数值解
\[{{x -> 1.17636 - 0.940122 I,
  y -> -1.17636 - 0.940122 I}, {x -> 1.17636 + 0.940122 I,
  y -> -1.17636 + 0.940122 I}, {x -> -1.17636 - 0.940122 I,
  y -> 1.17636 - 0.940122 I}, {x -> -1.17636 + 0.940122 I,
  y -> 1.17636 + 0.940122 I}, {x -> -1.06913 + 0.3456 I,
  y -> -0.598232 - 0.617638 I}, {x -> -1.06913 - 0.3456 I,
  y -> -0.598232 + 0.617638 I}, {x -> 1.06913 + 0.3456 I,
  y -> 0.598232 - 0.617638 I}, {x -> 1.06913 - 0.3456 I,
  y -> 0.598232 + 0.617638 I}, {x -> -0.598232 - 0.617638 I,
  y -> -1.06913 + 0.3456 I}, {x -> -0.598232 + 0.617638 I,
  y -> -1.06913 - 0.3456 I}, {x -> 0.598232 - 0.617638 I,
  y -> 1.06913 + 0.3456 I}, {x -> 0.598232 + 0.617638 I,
  y -> 1.06913 - 0.3456 I}, {x -> 0.707107,
  y -> 0.707107}, {x -> -0.707107,
  y -> -0.707107}, {x -> 1.16688 - 0.119569 I,
  y -> -0.221599 - 0.629617 I}, {x -> 1.16688 + 0.119569 I,
  y -> -0.221599 + 0.629617 I}, {x -> -1.16688 - 0.119569 I,
  y -> 0.221599 - 0.629617 I}, {x -> -1.16688 + 0.119569 I,
  y -> 0.221599 + 0.629617 I}, {x -> 0.221599 - 0.629617 I,
  y -> -1.16688 - 0.119569 I}, {x -> 0.221599 + 0.629617 I,
  y -> -1.16688 + 0.119569 I}, {x -> -0.221599 - 0.629617 I,
  y -> 1.16688 - 0.119569 I}, {x -> -0.221599 + 0.629617 I,
  y -> 1.16688 + 0.119569 I}, {x -> 0.797089 - 0.367901 I,
  y -> -0.797089 - 0.367901 I}, {x -> 0.797089 + 0.367901 I,
  y -> -0.797089 + 0.367901 I}, {x -> -0.797089 - 0.367901 I,
  y -> 0.797089 - 0.367901 I}, {x -> -0.797089 + 0.367901 I,
  y -> 0.797089 + 0.367901 I}}\]