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[原创] 某高考名题

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发表于 2018-3-6 09:59:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

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据说中国某省某年的高考压轴题是一位老爷爷出的题,比较难,全省无人能做对,$14$分的题目,只有一人拿了$9$分,两人拿了$8$分,以至于某院士,以及本论坛比较熟悉的陈计老师都纷纷献出自己的解答,那么咱们一起见识见识吧:
题外话,我觉得高考题量其实都是比较大的,大家顺风顺水的做到最后一题的时候,其实时间基本上也所剩无几了,能剩有$15$分钟就算心态比较稳定了.所以院士能做得出来,并不代表院士就能在$15$分钟的时间内做得出来.
=======
已知函数$f(x)=1/\sqrt{1+x}+1/\sqrt{1+a}+\sqrt{\frac{ax}{ax+8}},x\in(0,+oo)$
1) 当$a=8$时,求$f(x)$的单调区间
2) 对任意正数$a$,证明$1<f(x)<2$

点评

晕,重复了  发表于 2018-3-6 17:01
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=9681  发表于 2018-3-6 14:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-6 12:52:05 | 显示全部楼层
拉格朗日乘子法
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. ff=1/Sqrt[1+a]+1/Sqrt[1+b]+1/Sqrt[1+c]+x*(a*b*c-8)
  3. ffa=D[ff,a]
  4. ffb=D[ff,b]
  5. ffc=D[ff,c]
  6. ffx=D[ff,x]
  7. out=NSolve[{ffa==0,ffb==0,ffc==0,ffx==0},{a,b,c,x},80]
  8. abcx={a,b,c,x}/.out
  9. RootApproximant@abcx
  10. ff/.out
复制代码

当a=b=c时,方程解
a b c 中有一个趋于零,则是下界,
有两个趋于零,则是上界
所以这个问题用微积分不难解决
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-6 12:52:33 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-6 12:55 编辑
mathematica 发表于 2018-3-6 12:52
拉格朗日乘子法

当a=b=c时,方程解



四列分别是 a b c x
\[\left(
\begin{array}{cccc}
-i \sqrt{3}-1 & -i \sqrt{3}-1 & -i \sqrt{3}-1 & \text{Root}\left[110592 \text{$\#$1}^4-576 \text{$\#$1}^2+1\&,4\right] \\
i \sqrt{3}-1 & i \sqrt{3}-1 & i \sqrt{3}-1 & \text{Root}\left[110592 \text{$\#$1}^4-576 \text{$\#$1}^2+1\&,3\right] \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
\end{array}
\right)\]

a=b=c=2时
极值是
\[\sqrt{3}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-6 13:00:18 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-3-6 12:52
拉格朗日乘子法

当a=b=c时,方程解

没有办法,mathematica求解不出符号解,
我只好先求数值解,然后反推符号解,
这样更快一些,
还是人懂得变通

点评

这个不一定,看是什么样的方程了,有时候用Solve会比Reduce表现更好,至于原因需要知道内部实现了,我们只能靠猜测  发表于 2018-3-7 16:32
@chyanog 为什么reduce比solve牛逼呢?  发表于 2018-3-7 11:53
Solve加上Method -> Reduce或者Reals就能很快算出来了  发表于 2018-3-6 16:04
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-6 13:01:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-6 13:04 编辑
mathematica 发表于 2018-3-6 13:00
没有办法,mathematica求解不出符号解,
我只好先求数值解,然后反推符号解,
这样更快一些,

  1. NSolve[{ffa == 0, ffb == 0, ffc == 0, ffx == 0}, {a, b, c, x}]
复制代码


{
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> -1. - 1.73205 I, b -> -1. - 1.73205 I, c -> -1. - 1.73205 I,
  x -> 0.0529679 + 0.0141927 I},
{a -> -1. + 1.73205 I, b -> -1. + 1.73205 I, c -> -1. + 1.73205 I,
  x -> 0.0529679 - 0.0141927 I}
}
从现实角度,数值解足够了,所以我才说数值解万岁

点评

@kastin,能电脑计算就不人肉计算,数值解只不过不是特别严密而已  发表于 2018-3-7 11:53
高考你能带电脑进去计算吗,即使可以,最后你能让阅卷老师认可你的数值解答过程吗?  发表于 2018-3-6 22:22
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-7 11:52:16 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. ff=1/Sqrt[1+a]+1/Sqrt[1+b]+1/Sqrt[1+c]+x*(a*b*c-8)
  3. ffa=D[ff,a]
  4. ffb=D[ff,b]
  5. ffc=D[ff,c]
  6. ffx=D[ff,x]
  7. Reduce[ffa==0&&ffb==0&&ffc==0&&ffx==0,{a,b,c,x}]
复制代码



\[\left(a=2\land b=2\land c=2\land x=\frac{1}{24 \sqrt{3}}\right)\lor \left(a=-i \left(\sqrt{3}-i\right)\land b=-i \left(\sqrt{3}-i\right)\land c=-i \left(\sqrt{3}-i\right)\land x=-\frac{1}{16} \left(-\frac{1}{3}\right)^{3/4} \left(1+i \sqrt{3}\right)\right)\lor \left(a=i \left(\sqrt{3}+i\right)\land b=i \left(\sqrt{3}+i\right)\land c=i \left(\sqrt{3}+i\right)\land x=\frac{\sqrt[4]{-1} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{16\ 3^{3/4}}\right)\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-3-7 21:45:46 | 显示全部楼层
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