某高考名题

wayne

据说中国某省某年的高考压轴题是一位老爷爷出的题，比较难，全省无人能做对，$14$分的题目，只有一人拿了$9$分，两人拿了$8$分，以至于某院士，以及本论坛比较熟悉的陈计老师都纷纷献出自己的解答，那么咱们一起见识见识吧：
题外话，我觉得高考题量其实都是比较大的，大家顺风顺水的做到最后一题的时候，其实时间基本上也所剩无几了，能剩有$15$分钟就算心态比较稳定了．所以院士能做得出来，并不代表院士就能在$15$分钟的时间内做得出来．
＝＝＝＝＝＝＝
已知函数$f(x)=1/\sqrt{1+x}+1/\sqrt{1+a}+\sqrt{\frac{ax}{ax+8}},x\in(0,+oo)$
1) 当$a=8$时，求$f(x)$的单调区间
2) 对任意正数$a$,证明$1<f(x)<2$

mathematica

拉格朗日乘子法

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. ff=1/Sqrt[1+a]+1/Sqrt[1+b]+1/Sqrt[1+c]+x*(a*b*c-8)
   
3. ffa=D[ff,a]
   
4. ffb=D[ff,b]
   
5. ffc=D[ff,c]
   
6. ffx=D[ff,x]
   
7. out=NSolve[{ffa==0,ffb==0,ffc==0,ffx==0},{a,b,c,x},80]
   
8. abcx={a,b,c,x}/.out
   
9. RootApproximant@abcx
   
10. ff/.out
    

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当a=b=c时,方程解
a b c 中有一个趋于零,则是下界,
有两个趋于零,则是上界
所以这个问题用微积分不难解决

mathematica

mathematica 发表于 2018-3-6 12:52
拉格朗日乘子法

当a=b=c时,方程解

四列分别是 a b c x
\[\left(
\begin{array}{cccc}
-i \sqrt{3}-1 & -i \sqrt{3}-1 & -i \sqrt{3}-1 & \text{Root}\left[110592 \text{$\#$1}^4-576 \text{$\#$1}^2+1\&,4\right] \\
i \sqrt{3}-1 & i \sqrt{3}-1 & i \sqrt{3}-1 & \text{Root}\left[110592 \text{$\#$1}^4-576 \text{$\#$1}^2+1\&,3\right] \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
2 & 2 & 2 & \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
\end{array}
\right)\]

a=b=c=2时
极值是
\[\sqrt{3}\]

mathematica

mathematica 发表于 2018-3-6 12:52
拉格朗日乘子法

当a=b=c时,方程解

没有办法,mathematica求解不出符号解,
我只好先求数值解,然后反推符号解,
这样更快一些,
还是人懂得变通

mathematica

mathematica 发表于 2018-3-6 13:00
没有办法,mathematica求解不出符号解,
我只好先求数值解,然后反推符号解,
这样更快一些,

1. NSolve[{ffa == 0, ffb == 0, ffc == 0, ffx == 0}, {a, b, c, x}]

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{
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> 2., b -> 2., c -> 2., x -> 0.0240563},
{a -> -1. - 1.73205 I, b -> -1. - 1.73205 I, c -> -1. - 1.73205 I,
  x -> 0.0529679 + 0.0141927 I},
{a -> -1. + 1.73205 I, b -> -1. + 1.73205 I, c -> -1. + 1.73205 I,
  x -> 0.0529679 - 0.0141927 I}
}
从现实角度,数值解足够了,所以我才说数值解万岁

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. ff=1/Sqrt[1+a]+1/Sqrt[1+b]+1/Sqrt[1+c]+x*(a*b*c-8)
   
3. ffa=D[ff,a]
   
4. ffb=D[ff,b]
   
5. ffc=D[ff,c]
   
6. ffx=D[ff,x]
   
7. Reduce[ffa==0&&ffb==0&&ffc==0&&ffx==0,{a,b,c,x}]
   

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\[\left(a=2\land b=2\land c=2\land x=\frac{1}{24 \sqrt{3}}\right)\lor \left(a=-i \left(\sqrt{3}-i\right)\land b=-i \left(\sqrt{3}-i\right)\land c=-i \left(\sqrt{3}-i\right)\land x=-\frac{1}{16} \left(-\frac{1}{3}\right)^{3/4} \left(1+i \sqrt{3}\right)\right)\lor \left(a=i \left(\sqrt{3}+i\right)\land b=i \left(\sqrt{3}+i\right)\land c=i \left(\sqrt{3}+i\right)\land x=\frac{\sqrt[4]{-1} \left(1-i \sqrt{3}\right)}{16\ 3^{3/4}}\right)\]

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https://bbs.emath.ac.cn/thread-9574-1-1.html

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