伟大的 "e"

王守恩

王守恩 发表于 2018-6-3 07:08
伟大的 "e"

         并不神秘的"e"

王守恩

王守恩 发表于 2018-6-3 07:08
伟大的 "e"

                           \(\D “e”\ 连分数展开式中的节点数字说明\)

\(\D e^{\frac{1}{1}}的连分数=1，00，1，1，02，1，1，04，1，1，06，1，1，08，1，1，10，......\)

\(\D e^{\frac{1}{2}}的连分数=1，01，1，1，05，1，1，09，1，1，13，1，1，17，1，1，21，......\)

\(\D e^{\frac{1}{3}}的连分数=1，02，1，1，08，1，1，14，1，1，20，1，1，26，1，1，32，......\)

\(\D e^{\frac{1}{4}}的连分数=1，03，1，1，11，1，1，19，1，1，27，1，1，35，1，1，43，......\)

\(\D e^{\frac{1}{5}}的连分数=1，04，1，1，14，1，1，24，1，1，34，1，1，44，1，1，54，......\)

\(\D e^{\frac{1}{6}}的连分数=1，05，1，1，17，1，1，29，1，1，41，1，1，53，1，1，65，......\)

\(\D e^{\frac{1}{7}}的连分数=1，06，1，1，20，1，1，34，1，1，48，1，1，62，1，1，76，......\)

\(\D e^{\frac{1}{8}}的连分数=1，07，1，1，23，1，1，39，1，1，55，1，1，71，1，1，87，......\)

\(\D e^{\frac{1}{9}}的连分数=1，08，1，1，26，1，1，44，1，1，62，1，1，80，1，1，98，......\)

.........

王守恩

王守恩 发表于 2018-6-3 19:45
\(\D “e”\ 连分数展开式中的节点数字说明\)

\(\D e^{\frac{1}{1}}的 ...

伟大的 "e"

          \(\D e=2^{{(1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -\frac{1}{6}+\frac{1}{7} -\frac{1}{8}+\frac{1}{9} -\frac{1}{10}+\frac{1}{11} -\frac{1}{12}......)}^{-1}}\)

          \(\D e=3^{{(1+\frac{1}{2} -\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -\frac{2}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} -\frac{2}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11} -\frac{2}{12}......)}^{-1}}\)

          \(\D e=4^{{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\frac{3}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} -\frac{3}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11} -\frac{3}{12}......)}^{-1}}\)

          \(\D e=5^{{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4} -\frac{4}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9} -\frac{4}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}......)}^{-1}}\)

          \(\D e=6^{{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -\frac{5}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11} -\frac{5}{12}......)}^{-1}}\)

          \(\D e=7^{{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6} -\frac{6}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}......)}^{-1}}\)

          \(\D e=8^{{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7} -\frac{7}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}......)}^{-1}}\)

          \(\D e=9^{{(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} -\frac{8}{9}+\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}......)}^{-1}}\)

          \(......\)

王守恩

王守恩 发表于 2018-6-4 06:58
伟大的 "e"

          \(\D e=2^{{(1 -\frac{1}{2}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4}+\frac{1}{5} -\frac{1}{ ...

    \(\D n\ 是自然数 ，x\ 是任意数\)

\(\D求证：\sum_{i=0}^n\  (-1)^i\  C_n^i\  (x-i)^n\ =\ n\ !\)

\(\D 1×0^0=0！\)

\(\D 1×1^1-1×0^1=1！\)

\(\D 1×2^2-2×1^2+01×0^2=2！\)

\(\D 1×3^3-3×2^3+03×1^3-01×0^3=3！\)

\(\D 1×4^4-4×3^4+06×2^4-04×1^4+01×0^4=4！\)

\(\D 1×5^5-5×4^5+10×3^5-10×2^5+05×1^5-01×0^5=5！\)

\(\D 1×6^6-6×5^6+15×4^6-20×3^6+15×2^6-06×1^6+01×0^6=6！\)

\(\D 1×7^7-7×6^7+21×5^7-35×4^7+35×3^7-21×2^7+07×1^7-1×0^7=7！\)

\(\D 1×8^8-8×7^8+28×6^8-56×5^8+70×4^8-56×3^8+28×2^8-8×1^8+1×0^8=8！\)

王守恩

王守恩 发表于 2018-6-5 12:44
\(\D n\ 是自然数 ，x\ 是任意数\)

\(\D求证：\sum_{i=0}^n\  (-1)^i\  C_n^i\  (x-i)^n\ = ...

         




              \({\large e }\approx\left(\frac{3}{2}\right)^{\sqrt[3]{3×2.5×2}}\approx\left(\frac{4}{3}\right)^{\sqrt[3]{4×3.5×3}}\approx\left(\frac{5}{4}\right)^{\sqrt[3]{5×4.5×4}}\)

                \(\approx\left(\frac{6}{5}\right)^{\sqrt[3]{6×5.5×5}}\approx\left(\frac{7}{6}\right)^{\sqrt[3]{7×6.5×6}}\approx\left(\frac{8}{7}\right)^{\sqrt[3]{8×7.5×7}}\)

             \(\approx\left(\frac{9}{8}\right)^{\sqrt[3]{9×8.5×8}}\approx\left(\frac{10}{9}\right)^{\sqrt[3]{10×9.5×9}}\approx\left(\frac{11}{10}\right)^{\sqrt[3]{11×10.5×10}}\)

               \(......\)

              \(\left(\frac{8}{7}\right)^{\sqrt[3]{8×7.5×7}}=2.71828\)

              \(\left(\frac{46}{45}\right)^{\sqrt[3]{46×45.5×45}}=2.718281828\)

aimisiyou

王守恩 发表于 2018-6-5 18:27
\({\large e }\approx\left(\frac{3}{2}\right)^{\sqrt[3]{3×2.5×2 ...

$$这跟\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\approx e有什么区别么?$$

王守恩

aimisiyou 发表于 2018-6-5 19:17
$$这跟\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\approx e有什么区别么?$$

       底数不一定是 (n+1)/n，底数可以是任意数！
我是说：千军万马都在向 “e” 靠拢！例如 ”7“。



         \({\large e }\approx\left(\frac{1}{7}\right)^{\sqrt[3]{1×4×7}/(-6)}\approx\left(\frac{2}{7}\right)^{\sqrt[3]{2×4.5×7}/(-5)}\approx\left(\frac{3}{7}\right)^{\sqrt[3]{3×5×7}/(-4)}\)

           \(\approx\left(\frac{4}{7}\right)^{\sqrt[3]{4×5.5×7}/(-3)}\approx\left(\frac{5}{7}\right)^{\sqrt[3]{5×6×7}/(-2)}\approx\left(\frac{6}{7}\right)^{\sqrt[3]{6×6.5×7}/(-1)}\)

              \(\approx\left(\frac{8}{7}\right)^{\sqrt[3]{8×7.5×7}/1}\approx\left(\frac{9}{7}\right)^{\sqrt[3]{9×8×7}/2}\approx\left(\frac{10}{7}\right)^{\sqrt[3]{10×8.5×7}/3}\)

            \(\approx\left(\frac{11}{7}\right)^{\sqrt[3]{11×9×7}/4}\approx\left(\frac{12}{7}\right)^{\sqrt[3]{12×9.5×7}/5}\approx\left(\frac{13}{7}\right)^{\sqrt[3]{13×10×7}/6}\)

             \(.......\)

王守恩

aimisiyou 发表于 2018-6-5 19:17
$$这跟\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\approx e有什么区别么?$$

还是“7”！效率就高了！！


         \({\large e }\approx\left(\frac{6.2}{7}\right)^{\sqrt[3]{6.2×6.6×7}/(-0.8)}\approx\left(\frac{6.5}{7}\right)^{\sqrt[3]{6.5×6.75×7}/(-0.5)}\approx\left(\frac{6.8}{7}\right)^{\sqrt[3]{6.8×6.9×7}/(-0.2)}\)


         \(\approx\left(\frac{6.9}{7}\right)^{\sqrt[3]{6.9×6.95×7}/(-0.1)}\approx\left(\frac{6.99}{7}\right)^{\sqrt[3]{6.99×6.995×7}/(-0.01)}\approx\left(\frac{6.999}{7}\right)^{\sqrt[3]{6.999×6.9995×7}/(-0.001)}\)


         \(\approx\left(\frac{7.001}{7}\right)^{\sqrt[3]{7.001×7.0005×7}/0.001}\approx\left(\frac{7.01}{7}\right)^{\sqrt[3]{7.01×7.005×7}/0.01}\approx\left(\frac{7.1}{7}\right)^{\sqrt[3]{7.1×7.05×7}/0.1}\)


         \(\approx\left(\frac{7.2}{7}\right)^{\sqrt[3]{7.2×7.1×7}/0.2}\approx\left(\frac{7.5}{7}\right)^{\sqrt[3]{7.5×7.25×7}/0.5}\approx\left(\frac{7.8}{7}\right)^{\sqrt[3]{7.8×7.4×7}/0.8}\)

             \(.......\)

王守恩

挑战一下(好玩)！对于同一个“n”来说，下面的算法永远是成立的？举个反例？？来个更好的？？？

\(\big(\frac{n+1}{n}\big)^n<\big(\frac{2n^2+n+2}{2n^2-n+2}\big)^n< e<\big(\frac{2n^3+n^2+2}{2n^3-n^2+2}\big)^n<\big(\frac{n}{n-1}\big)^n\)

nyy

e再牛逼，也要向10屈服，化学中有太多的用10不用e