伟大的 "e"

王守恩

感谢 elim 多年来的鼓励！
\[e^0, e^1, e^2, e^3, e^4, e^5, e^6, e^7, e^8, e^9,......\]
\[\D\lim_{n\to\infty}\bigg(\frac{2n+a}{2n-a}\bigg)^n=e^a\]

王守恩

谢谢 cz1 !
\[\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\frac{2n+\pi}{2n-\pi}\bigg)^n=e^{\pi}\]

lihpb00

不错不错

王守恩

猜想。

\(\D a(n)=\bigg\lceil\frac{n}{\sqrt[n]{e}}\bigg\rceil=n,\ \ n=1,2,3,4,5,6,7,8,9, ......\)

王守恩

张狂一点，教科书应该这样写！

\(\big(\frac{n+a}{n}\big)^n<\big(\frac{2n^2+an+1}{2n^2-an+1}\big)^n< e^a<\big(\frac{2n^2+an-1}{2n^2-an-1}\big)^n<\big(\frac{n}{n-a}\big)^n\)

王守恩

\[\D e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2+3n+1}{10n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2-3n+1}{4n!}=\cdots\cdots\]

王守恩

伟大的“e”!!!
\[\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2-3n+1}{4n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4n^2-3n+4}{9n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2+3n+1}{10n!}\]
\[\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^3+4n-1}{8n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^5-3n^4+n^3}{12n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^5+n^3-9}{48n!}\]

王守恩

伟大的“e”!!!
\[\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2n-1}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n^2-5n}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{4n^3-9n^2}{2n!}\]
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^4-(n-1)^4+n^3-(n+1)^3}{n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^5-(n-1)^5+n^4-(n+1)^4}{4n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^6-(n-1)^6+n^5-(n+1)^5}{11n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^7-(n-1)^7+n^6-(n+1)^6}{41n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^8-(n-1)^8+n^7-(n+1)^7}{162n!}\)
\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^9-(n-1)^9+n^8-(n+1)^8}{715n!}\)
......
怎么化简？

王守恩

可以这样化简。

\(\displaystyle e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^{k+1}-(n-1)^{k+1}+n^{k}-(n+1)^{k}}{(n^{k-1}-(n-1)^{k-1})n!}\)