a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd能因式分解吗?

mathematica

a²+b²-2ab=(a-b)²
a³+ b³+ c³ - 3abc=(a + b + c) (a² + b²+c²- ab-bc-ca)

那么a⁴+ b⁴+ c⁴+ d⁴ - 4abcd
能分解吗? 我感觉能分解,但是mathematica分解不了

mathe

这个显然是不能分解的。把表达式看成关于变量a的多项式，
$a^3 + b^3 + c^3 - 3*a*b*c$的常数项为$b^3+c^3$可以因子分解为$(b+c)(b^2-bc+c^2)$
而
$a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4*a*b*c*d$的常数项为$b^4+c^4+d^4$无法因子分解，这就是区别。
至于$b^4+c^4+d^4$的分解，同样可以将它视为变量 b 的多项式，取决于常数项$c^4+d^4$的分解。
$c^4+d^4$若可分解，则取 d=1为$c^4+1$亦可分解，但这是分圆多项式 Φ₈，不可分解。

wayne

楼主对对称多项式的感觉再升华一下．就可以不难搜到关于 "基本对称多项式"　的相关知识．
http://mathworld.wolfram.com/SymmetricPolynomial.html

见公式22,23,24,25.能分解因式的形式是：　\[x^4+y^4+z^4+t^4+4 x y z t  -2 (t x+t y+t z+x y+x z+y z)^2 \]

mathematica

mathe 发表于 2018-7-30 13:18
这个显然是不能分解的。把表达式看成关于变量a的多项式，
$a^3 + b^3 + c^3 - 3*a*b*c$的常数项为$b^3+c^3 ...

如果存在正整数a b c d,使得a⁴+ b⁴+ c⁴+ d⁴ - 4abcd是一个素数,
那么我觉得就差不多肯定a⁴+ b⁴+ c⁴+ d⁴ - 4abcd是不能分解的了

mathematica

a⁴+ b⁴+ c⁴+ d⁴ - 4abcd=(a²-b²)²+(c²-d²)²+2(ab--cd)²
但是这个不是因式分解,这个是用来证明不等式的

TSC999

\( x^4+4 \) 能分解因式。

数论爱好者

a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4*a*b*c*d不能因子分解
这个式子如果是合数,则含有因子3.
但这个式子能够产生无穷多个素数,既然是素数哪来的因子分解
2^4+5^4+7^4+5^4-4*2*5*7*5=2267素数
2^4+5^4+7^4+23^4-4*2*5*7*23=276443素数

mathe

a^2-b^2也可以产生无穷个素数，但是还是可以分解。如a=4,b=3

数论爱好者

你发现我的错误!
定义不严,应该是没有标准的分解式,能够分解的时候与不能分解的时候没有明显的规律
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4*a*b*c*d与梅森素数一样2^p-1,p为素数.既有合数,也有素数,不存在标准分解式,或显示分解式
a^4 + b^4 + c^4 + d^4 - 4*a*b*c*d倒是验证了好几个数,如果是合数,始终有3这个因子存在,
找一找,有没有不含3这个因子的合数

数论爱好者

不能主观想当然,其它任何数都会出现,武断下结论是最可怕的
1^4+2^4+7^4+13^4-4*1*2*7*13=30251=13^2*179