a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd能因式分解吗?

hujunhua

如果`a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd`是可以因式分解的，那么相应的四维四次曲面`a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0`就是退化的，从而曲面在二维平面`aob`上的截线`a^4+b^4=0`也是退化的, 并且退化各支是整系数的。
但是`a^4+b^4=(a^2-\sqrt2ab+b^2)(a^2+\sqrt2ab+b^2)`，可见两个退化分支并不是整系数的。

换言之，如果`a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd`是可分解的。那么取`c=d=0`可得`a^4+b^4`亦是可分解的，但由`a^4+b^4=(a^2-\sqrt2ab+b^2)(a^2+\sqrt2ab+b^2)`可知其在整数环上不可分解。

白白白

如果这个式子能分解，取c=d=0时的a^4+b^4应该也能分解，所以就算能分解也肯定只有两个无理系数的二次多项式（a^2+根号2ab+b^2+...)*(a^2-根号2ab+b^2+...)
而只有d=0的时候，c^4必须在两边有c^2项，结果多了2a^2c^2和2b^2c^2，两边必须有bc和ac，且系数相反才不会有a^3c这样的结果，所以系数都是正负根号2，因为只可能含有二次项，所以产生的a^2bc,ab^2c,abc^2没法再消掉，不能分解了，像a^3+b^3+c^3-3abc就可以，因为a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)，把c加到左边之后，右边正好可以试出来有结果

lihpb01

化成基本对称多项式可以证明无法分解，但是很复杂