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楼主: mathematica

[提问] a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd能因式分解吗?

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发表于 2019-3-12 14:27:25 | 显示全部楼层
如果`a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd`是可以因式分解的,那么相应的四维四次曲面`a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0`就是退化的,从而曲面在二维平面`aob`上的截线`a^4+b^4=0`也是退化的, 并且退化各支是整系数的。
但是`a^4+b^4=(a^2-\sqrt2ab+b^2)(a^2+\sqrt2ab+b^2)`,可见两个退化分支并不是整系数的。

换言之,如果`a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd`是可分解的。那么取`c=d=0`可得`a^4+b^4`亦是可分解的,但由`a^4+b^4=(a^2-\sqrt2ab+b^2)(a^2+\sqrt2ab+b^2)`可知其在整数环上不可分解。

点评

@mathe 逆命题不成立。在低维的截面(线)退化,不能倒推出高维是退化的。  发表于 2019-3-14 11:48
那么表达式$a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd$在$Q(\sqrt(2))$上是否可分解呢?  发表于 2019-3-13 11:00
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-2 17:37:47 | 显示全部楼层
如果这个式子能分解,取c=d=0时的a^4+b^4应该也能分解,所以就算能分解也肯定只有两个无理系数的二次多项式(a^2+根号2ab+b^2+...)*(a^2-根号2ab+b^2+...)
而只有d=0的时候,c^4必须在两边有c^2项,结果多了2a^2c^2和2b^2c^2,两边必须有bc和ac,且系数相反才不会有a^3c这样的结果,所以系数都是正负根号2,因为只可能含有二次项,所以产生的a^2bc,ab^2c,abc^2没法再消掉,不能分解了,像a^3+b^3+c^3-3abc就可以,因为a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),把c加到左边之后,右边正好可以试出来有结果
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发表于 2021-6-6 18:23:24 | 显示全部楼层
化成基本对称多项式可以证明无法分解,但是很复杂
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