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[提问] 判定不等式组是否有解

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发表于 2018-9-4 12:53:59 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-4 14:37 编辑

不等式组:

e-2≤ x≤ 1                    ①

1/x-1/2≤ ln(2/x-x/2)     ②
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-4 16:53:54 | 显示全部楼层
无解:
  1. Reduce[{E^(-2) <= x <= 1, 1/x - 1/2 <= Log[2/x - x/2]}, Reals]
复制代码

通过绘图来看,实际上在(0,1]上,$\frac 1x-\frac1 2\gt \ln(\frac2x-\frac x2)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-4 17:22:56 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2018-9-4 16:53
无解:

通过绘图来看,实际上在(0,1]上,$\frac 1x-\frac1 2\gt \ln(\frac2x-\frac x2)$

问题在于如何进行判定证明呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-4 19:22:59 来自手机 | 显示全部楼层
这个题目很简单,差函数的导数是有理函数,只有唯一的零点约0.75217
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-4 19:30:45 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-4 19:22
这个题目很简单,差函数的导数是有理函数,只有唯一的零点约0.75217

你的意思是说————原不等式组有解?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-4 19:31:11 | 显示全部楼层
$\frac{d}{dx}(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))=-1/x^2-(-2/x^2-1/2)/(2/x-x/2)=(x^3 + x^2 + 4x - 4)/(-x^4 + 4x^2)$
多项式$x^3+x^2+4x-4$只有唯一零点$0.75217177888418654405728207878363123751$分母$-x^4+4x^2$的零点为$0,+-\sqrt(2)$
而$(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))$在$x=0.75217177888418654405728207878363123751$取到$(0,\sqrt(2))$上最小值$0.0040452148548085977051418285255094399986$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-4 19:43:16 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-4 19:31
$\frac{d}{dx}(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))=-1/x^2-(-2/x^2-1/2)/(2/x-x/2)=(x^3 + x^2 + 4x - 4)/(-x^4 + 4x^2) ...

有一点小错误,分母的零点应为:0、±2。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-4 20:00:52 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-4 19:31
$\frac{d}{dx}(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))=-1/x^2-(-2/x^2-1/2)/(2/x-x/2)=(x^3 + x^2 + 4x - 4)/(-x^4 + 4x^2) ...

看来还得结合数值计算,才能证明原不等式无解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-4 22:10:58 来自手机 | 显示全部楼层
分子的零点分布不用数值计算也能得出,只是函数在这个极值点的取值不用数值计算判断符合会有些复杂
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-9-4 22:43:23 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-4 22:10
分子的零点分布不用数值计算也能得出,只是函数在这个极值点的取值不用数值计算判断符合会有些复杂

1、数值计算判定法要依赖计算器,虽然简单,但总觉得并不可靠,特别是此题的极小值几乎是零。
2、当x小于-2时,第二个不等式还是有解的。
3、麻烦mathe管理员最好指导一下最可靠的解析式判定法。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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