判定不等式组是否有解

shufubisheng

不等式组：

e-2≤ x≤ 1                    ①

1/x-1/2≤ ln(2/x-x/2)     ②

kastin

无解：

1. Reduce[{E^(-2) <= x <= 1, 1/x - 1/2 <= Log[2/x - x/2]}, Reals]

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通过绘图来看，实际上在(0,1]上，$\frac 1x-\frac1 2\gt \ln(\frac2x-\frac x2)$

shufubisheng

kastin 发表于 2018-9-4 16:53
无解：

通过绘图来看，实际上在(0,1]上，$\frac 1x-\frac1 2\gt \ln(\frac2x-\frac x2)$

问题在于如何进行判定证明呢？

mathe

这个题目很简单，差函数的导数是有理函数，只有唯一的零点约0.75217

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-4 19:22
这个题目很简单，差函数的导数是有理函数，只有唯一的零点约0.75217

你的意思是说————原不等式组有解？

mathe

$\frac{d}{dx}(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))=-1/x^2-(-2/x^2-1/2)/(2/x-x/2)=(x^3 + x^2 + 4x - 4)/(-x^4 + 4x^2)$
多项式$x^3+x^2+4x-4$只有唯一零点$0.75217177888418654405728207878363123751$分母$-x^4+4x^2$的零点为$0,+-\sqrt(2)$
而$(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))$在$x=0.75217177888418654405728207878363123751$取到$(0,\sqrt(2))$上最小值$0.0040452148548085977051418285255094399986$

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-4 19:31
$\frac{d}{dx}(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))=-1/x^2-(-2/x^2-1/2)/(2/x-x/2)=(x^3 + x^2 + 4x - 4)/(-x^4 + 4x^2) ...

有一点小错误，分母的零点应为：0、±2。

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-4 19:31
$\frac{d}{dx}(1/x-1/2-\ln(2/x-x/2))=-1/x^2-(-2/x^2-1/2)/(2/x-x/2)=(x^3 + x^2 + 4x - 4)/(-x^4 + 4x^2) ...

看来还得结合数值计算，才能证明原不等式无解。

mathe

分子的零点分布不用数值计算也能得出，只是函数在这个极值点的取值不用数值计算判断符合会有些复杂

shufubisheng

mathe 发表于 2018-9-4 22:10
分子的零点分布不用数值计算也能得出，只是函数在这个极值点的取值不用数值计算判断符合会有些复杂

1、数值计算判定法要依赖计算器，虽然简单，但总觉得并不可靠，特别是此题的极小值几乎是零。
2、当x小于-2时，第二个不等式还是有解的。
3、麻烦mathe管理员最好指导一下最可靠的解析式判定法。