判定不等式组是否有解

lsr314

记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时，分母大于0，分子$g(x)=x^3+x^2+4x-4$的导函数$3x^2+2x+4$恒正，
且$g(3/4)<0,g(1)>0$,故$g(x)$在区间$(0,1)$内有唯一零点$t$，且$t\in(3/4,1)$.
$f(x)$在$x=3/4$处的切线为$y=p(x)=-4/495(x-3/4)+5/6-ln(55/24)$
$q(x)=f(x)-p(x)$的导函数$q'(x)=\frac{(4 x-3) \left(x^3-123 x^2-220 x-660\right)}{495 (x-2) x^2 (x+2)}$
易知$x^3-123 x^2-220 x-660$在$x\in (3/4,1)$时恒为负数，故$q'(x)>0$.
即$x\in (3/4,1)$时,$f(x)>p(x)$.又$p(1)>0$，故$f(x)>0$在$x\in (3/4,1)$时恒成立。
特别地，$f(t)>0$，即$x\in (0,1)$时，$f(x)>0$.

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-5 10:50
记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时，分母大于0，分子$g(x)= ...

怎么会由p(1)＞0得出f(x)＞0呢？

lsr314

shufubisheng 发表于 2018-9-5 11:40
怎么会由p(1)＞0得出f(x)＞0呢？

$x\in(3/4,1)$时，$f(x)>p(x)>p(1)>0$

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-5 10:50
记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时，分母大于0，分子$g(x)= ...

明白了，因为p(x)是减函数。

shufubisheng

lsr314 发表于 2018-9-5 10:50
记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时，分母大于0，分子$g(x)= ...

1、不过你这种方法，基本上还是数值计算方法，只是计算过程中是精确计算，计算结果是近似表示。
2、能否找出不用数值计算的解析证明方法？