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楼主: shufubisheng

[提问] 判定不等式组是否有解

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发表于 2018-9-5 10:50:21 | 显示全部楼层
记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时,分母大于0,分子$g(x)=x^3+x^2+4x-4$的导函数$3x^2+2x+4$恒正,
且$g(3/4)<0,g(1)>0$,故$g(x)$在区间$(0,1)$内有唯一零点$t$,且$t\in(3/4,1)$.
$f(x)$在$x=3/4$处的切线为$y=p(x)=-4/495(x-3/4)+5/6-ln(55/24)$
$q(x)=f(x)-p(x)$的导函数$q'(x)=\frac{(4 x-3) \left(x^3-123 x^2-220 x-660\right)}{495 (x-2) x^2 (x+2)}$
易知$x^3-123 x^2-220 x-660$在$x\in (3/4,1)$时恒为负数,故$q'(x)>0$.
即$x\in (3/4,1)$时,$f(x)>p(x)$.又$p(1)>0$,故$f(x)>0$在$x\in (3/4,1)$时恒成立。
特别地,$f(t)>0$,即$x\in (0,1)$时,$f(x)>0$.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-5 11:40:18 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-5 10:50
记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时,分母大于0,分子$g(x)= ...

怎么会由p(1)>0得出f(x)>0呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-5 11:41:36 | 显示全部楼层
shufubisheng 发表于 2018-9-5 11:40
怎么会由p(1)>0得出f(x)>0呢?

$x\in(3/4,1)$时,$f(x)>p(x)>p(1)>0$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-9-5 11:43:14 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2018-9-5 10:50
记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时,分母大于0,分子$g(x)= ...

明白了,因为p(x)是减函数。
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 楼主| 发表于 2018-9-5 17:03:06 | 显示全部楼层
本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-5 17:57 编辑
lsr314 发表于 2018-9-5 10:50
记$f(x)=1/x-1/2-ln(2/x-x/2),f'(x)=(x^3+x^2+4x-4)/(x^2(4-x^2)$,
$x\in(0,1)$时,分母大于0,分子$g(x)= ...


1、不过你这种方法,基本上还是数值计算方法,只是计算过程中是精确计算,计算结果是近似表示。
2、能否找出不用数值计算的解析证明方法?

点评

而且实际分析过程会需要数值计算验证。而且实际上数值计算是可以用于严格证明的,只要做好误差分析即可  发表于 2018-9-5 19:54
已经不需要数值计算了,只是计算量不小  发表于 2018-9-5 19:53
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