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楼主: lsr314

[讨论] 一类线性不定方程 x_1+2x_2+...+kx_k=n 非负整数解的数目

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发表于 2019-1-9 19:11:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-9 19:15 编辑
wayne 发表于 2019-1-9 17:07
$k=10$的时候好像很费劲呢,一点都不好玩。

\[\frac{z^{55}}{(z-1)^{10} (z+1)^5 \left(z^2+z+1\right)^ ...


这题目真是一点都不好玩。比 “汉诺塔” 还难。
不过到这份上了,丢了也可惜,有兴趣的再玩一下?
对每一个 n 来说,总是有一个  fk(n)  是最大的。
有兴趣的朋友能再提供几个?     A030699
1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24, 27,
34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, 120, 136, 150, 169, 192, 221,
255, 291, 333, 377, 427, 480, 540, 603, 674, 748, 831, 918, 1014,
1115, 1226, 1360, 1540, 1729, 1945, 2172, 2432, 2702, 3009, .......

补充内容 (2019-1-10 07:18):
另外,本帖与i数学研发论坛»论坛›数学研究›趣题妙解›不同正整数之和fungarwai有相近之处。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-10 06:25:30 来自手机 | 显示全部楼层
这个计算不难,链接里面给到10000项了。另外最后keyword标明easy也表示计算不难。本题麻烦的是如何公式表示而不是计算

点评

谢谢mathe!链接里面给到10000项。好像只有59项?  发表于 2019-1-10 13:17
谢谢mathe!我就是想能不能利用 A030699 把 fk(n) 的公式找出来。  发表于 2019-1-10 06:55
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发表于 2019-1-10 13:36:57 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2019-1-9 17:07
$k=10$的时候好像很费劲呢,一点都不好玩。

\[\frac{z^{55}}{(z-1)^{10} (z+1)^5 \left(z^2+z+1\right)^ ...


我们要是能直接从$z$变换的表达式中分析,提取高频分量,去掉就更好了。就拿$k=6$为例,
\[\frac{z^{21}}{(z-1)^6 (z+1)^3 \left(z^2+z+1\right)^2 \left(z^8+2 z^6+z^5+2 z^4+z^3+2 z^2+1\right)}\]
设$t=1/z$, 拆分一下,就是
\(\frac{t+1}{54 \left(t^2+t+1\right)^2}-\frac{85823}{345600 (t-1)}+\frac{31037}{172800 (t-1)^2}-\frac{85}{864 (t-1)^3}+\frac{17}{432 (t-1)^4}-\frac{1}{96 (t-1)^5}+\frac{1}{720 (t-1)^6}+\frac{3}{128 (t+1)^2}+\frac{1}{384 (t+1)^3}+\frac{2-t}{36 \left(t^2-t+1\right)}+\frac{t+1}{32 \left(t^2+1\right)}+\frac{2 t^3+3 t^2+3 t+2}{25 \left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)}+\frac{461}{4608 (t+1)}\)

观察得知,后四项是高频分量,$\frac{2-t}{36 \left(t^2-t+1\right)}+\frac{t+1}{32 \left(t^2+1\right)}+\frac{2 t^3+3 t^2+3 t+2}{25 \left(t^4+t^3+t^2+t+1\right)}+\frac{461}{4608 (t+1)}$,舍去,只计算前面的,这就刚好得到了取整表达式
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发表于 2019-1-10 18:01:19 | 显示全部楼层
根据wayne提供的Z变换方法可以得到如下结果(通过繁杂的简化过程,求得精确解)

具体结果见附件,\(f_k(n),k=1...10\)即为附件中的\(gk\)

终解.pdf (119.82 KB, 下载次数: 6)
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发表于 2019-1-10 18:22:35 | 显示全部楼层
数学星空 发表于 2019-1-10 18:01
根据wayne提供的Z变换方法可以得到如下结果(通过繁杂的简化过程,求得精确解)

具体结果见附件,\(f_k( ...

可否把化简的规则总结出来。我搞了半天,没有简洁的收获。我可以用ExpToTrig把结果表达成三角函数的形式,但是带了很多复数,不怎么好看。

另外,Maple应该也有跟Mathematica对应的FindLinearRecurrence函数吧,就是根据一组数字,找出对应的差分方程/  Z变换应该也有。
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发表于 2019-1-10 18:45:52 | 显示全部楼层
对于不能化简的只能手工输入化简

将单位根的幂次求和替换成三角函数形式,具体可见附件例子:

简化例子.pdf (88.56 KB, 下载次数: 7)

点评

OK  发表于 2019-1-11 20:10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-1-11 12:53:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-11 13:30 编辑
数学星空 发表于 2019-1-10 18:01
根据wayne提供的Z变换方法可以得到如下结果(通过繁杂的简化过程,求得精确解)

具体结果见附件,\(f_k( ...


神奇的公式!实在太好了!想化简也化简不了,太好了!谢谢大师们!

\(f_4(n)=\frac{175}{288} +\frac{n^3}{144} + \frac{5n^2}{48} +\frac{15n}{32} +\frac{(n + 5) (-1)^n}{32} +\frac{2\cos(\frac{2(n + 2)\pi}{3}) + 4\cos(\frac{2n\pi}{3})}{27} +\frac{\cos(\frac{n\pi}{2})}{8}\)
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发表于 2019-1-22 15:37:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2019-1-22 18:36 编辑
王守恩 发表于 2019-1-11 12:53
神奇的公式!实在太好了!想化简也化简不了,太好了!谢谢大师们!

\(f_4(n)=\frac{175}{288} +\fra ...


神奇的公式!实在太好了!想化简也化简不了,太好了!谢谢大师们!
我也来个漂亮的公式,请大师们批评!谢谢大师们!
    \(n,k\ \)可以是任意数。谢谢大师们!

\[\D f_{k}(n+\frac{k(k+1)}{2}+0)\leqslant\frac{(n+\frac{k(k+1)}{4})^{k-1}}{(k-1)!\cdot k!}< f_{k}(n+\frac{k(k+1)}{2}+1)\]

\[\D\frac{(n+\frac{k(k+1)}{4}-1)^{k-1}}{(k-1)!\cdot k!}<f_{k}(n+\frac{k(k+1)}{2})\leqslant\frac{(n+\frac{k(k+1)}{4}+0)^{k-1}}{(k-1)!\cdot k!}\]


这样写,就画蛇添足了。有漂亮的公式引路,想精细一点也是可能的。

补充内容 (2019-1-23 08:48):
n=1,2,3,4,5,......,k=0,1,2,3,4,5,.......。
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发表于 2019-1-24 14:21:27 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2019-1-22 15:37
神奇的公式!实在太好了!想化简也化简不了,太好了!谢谢大师们!
我也来个漂亮的公式,请大师们批评 ...


漂亮的公式,谢谢大师们!

\(\D\frac{(n+\frac{k(k+1)}{4}−1)^{k−1}}{(k−1)!⋅k!}<f_{k}(n+\frac{k(k+1)}{2})<\frac{(n+\frac{k(k+1)}{4}+0)^{k−1}}{(k-1)!⋅k!}\)

n=1,2,3,4,5,......,  k=1,2,3,4,5,.......。

有漂亮的公式引路,想精细一点也是可能的。
譬如A030699,对每一个 n 来说,总是有一个  fk(n)  是最大的。
1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 16, 19, 21, 24, 27,
34, 39, 47, 54, 64, 72, 84, 94, 108, 120, 136, 150, 169, 192, 221,
255, 291, 333, 377, 427, 480, 540, 603, 674, 748, 831, 918, 1014,
1115, 1226, 1360, 1540, 1729, 1945, 2172, 2432, 2702, 3009, .......
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