四次方数还有更短的吗？

王守恩

我们规定：每个算式中只允许出现四次方数(要出现单独的  “1” )，譬如。
1，共有17项(17=1+1+4+6+4+1)
\((n^4 + 1)^4 = (n^4)^4 + 4 (n^3)^4 + 6 (n^2)^4 + 4 (n)^4 + 1\)
2，共有16项(16=1+2+2+1+1+1+2+2+2+2)
\((16 n^5 + 4 n)^4 + 2 (2 n^2)^4 + 2 n^4 + 1= (16 n^5)^4 + (16 n^4 + 1)^4 + 2 (8 n^3)^4 +
2 (6 n^2)^4 +  2 (3 n)^4 +2 (2 n)^4 \)
3，共有14项(14=1+2+1+1+1+1+2+2+1+1+1)
\((16 n^5 + 4 n)^4 + 2 (2 n^2)^4+ (3 n)^4+ 1=(16 n^5)^4+(16 n^4 + 1)^4 +2 (8 n^3)^4 +
2 (6 n^2)^4 +(4 n)^4  +(2 n)^4 +n^4 \)
还有更短的吗？
谢谢  .·.·. ！提醒得对！应该限制等号两边不能有相同的  ‘项 ’ 。
我还真不知道如何下手。朋友！给个链接也行。

.·.·.

你的限制似乎并没限制掉
$1=1$
或者
$n^4+1=n^4+1$
这样的解答啊……

zhouguang

(4x^4+1)^4+(x^2)^4==1+(2x)^4+(2x^2)^4+(3x^2)^4+(4x^3)^4+(4x^4)^4

gxqcn

每个算式中只允许出现四次方数，且有且仅有一个  “\(1^4\)”：

• 允许复数，\(2\)项：\(1^4=i^4\)
  
  
• 限实数，可负，\(2\)项：\(1^4=(-1)^4\)
  
  
• 限正实数，\(3\)项：\(1^4+2^4=\left({\root 4 \of {17}}\right)^4\)
  
  
• 限正有理数，\(4\)项：由欧拉 1772 年发现的 \(59^4+158^4 = 133^4+134^4\) 稍作变换即可
  
  
• 限正整数，\(6\)项：\(1^4+9^4+10^4=5^4+6^4+11^4\)
  

gxqcn

楼主当初并没有限定：要出现单独的  “\(1\)” （只是为了避免出现“\(1^4=1^4\)”，才补加的）
其实更好的限定应该是：同一个四次方数不得同时出现于等式两侧。

如果是这样，限于正整数的，最少可达 \(4\) 项，
除了上面提到的由欧拉发现的，再给一个：\(95800^4+217519^4+414560^4=422481^4\)

最后，提供一个美妙的 \(6\) 项式子，请欣赏：\[(2n^2-36n-54)^4 + (2n^2+36n-54)^4 + (3n^2+81)^4 + (4n^2-108)^4 + (4n^2+108)^4 \equiv (5n^2+135)^4\]

gxqcn

\((n - 5)^4 + (2 n + 4)^4 + (3 n - 1)^4 = (n + 5)^4 + (2 n - 4)^4 + (3 n + 1)^4\)

王守恩

gxqcn 发表于 2018-10-11 15:34
\((n - 5)^4 + (2 n + 4)^4 + (3 n - 1)^4 = (n + 5)^4 + (2 n - 4)^4 + (3 n + 1)^4\)

6楼的厉害了！借题前进一步：
\((n−5)^4+(2n+4)^4+(3n−1)^4=(n+5)^4+(2n−4)^4+(3n+1)^4\)
\((n^2−5)^4+(2n^2+4)^4+(3n^2−1)^4=(n^2+5)^4+(2n^2−4)^4+(3n^2+1)^4\)
\((n^3−5)^4+(2n^3+4)^4+(3n^3−1)^4=(n^3+5)^4+(2n^3−4)^4+(3n^3+1)^4\)
\((n^2−5n+5)^4+(2n^2+4n-4)^4+(3n^2−n+1)^4=(n^2+5n-5)^4+(2n^2−4n+4)^4+(3n^2+n-1)^4\)
\((n^2−5n^3+5)^4+(2n^2+4n^3-4)^4+(3n^2−n^3+1)^4=(n^2+5n^3-5)^4+(2n^2−4n^3+4)^4+(3n^2+n^3-1)^4\)
\((n^5−5n^3+5)^4+(2n^5+4n^3-4)^4+(3n^5−n^3+1)^4=(n^5+5n^3-5)^4+(2n^5−4n^3+4)^4+(3n^5+n^3-1)^4\)
\((n^5−5n^7+5)^4+(2n^5+4n^7-4)^4+(3n^5−n^7+1)^4=(n^5+5n^7-5)^4+(2n^5−4n^7+4)^4+(3n^5+n^7-1)^4\)

王守恩

gxqcn 发表于 2018-10-11 15:34
\((n - 5)^4 + (2 n + 4)^4 + (3 n - 1)^4 = (n + 5)^4 + (2 n - 4)^4 + (3 n + 1)^4\)

不好意思，仿造6楼，找了1个！
\((2 n - 8)^4 + (5 n + 6)^4 + (7 n - 2)^4 = (2 n + 8)^4 + (5 n - 6)^4 + (7 n + 2)^4\)

gxqcn

王守恩 发表于 2018-10-13 07:02
不好意思，仿造6楼，找了1个！
\((2 n - 8)^4 + (5 n + 6)^4 + (7 n - 2)^4 = (2 n + 8)^4 + (5 n - 6)^4 + (7 n + 2)^4\)

类似这样的恒等式可以有无穷多。

比如，保持上式中 \(n\) 的系数，但可以使常数项绝对值更小：
\((2 n - 4)^4 + (5 n + 3)^4 + (7 n - 1)^4 = (2 n + 4)^4 + (5 n - 3)^4 + (7 n + 1)^4\)

与楼主不同，我更追求问题的本质和结果的精炼。

gxqcn

6^# ~ 9^# 的恒等式，均可源于如下形式的恒等式：\[\phantom{=}[a n - k(a + 2b)]^4 + [b n + k(b + 2a)]^4 + [(a + b) n - k(b - a)]^4 \\ \equiv [a n + k(a + 2b)]^4 + [b n - k(b + 2a)]^4 + [(a + b) n + k(b - a)]^4\]其中，\(k\) 是一个缩放因子；一般取 \(k = 1/\gcd(a+2b,b+2a,b-a)\) 可使常数项绝对值尽可能小。

比如，
令 \(a=1,b=2,k=1\)，代入即可得 6^#；
令 \(a=2,b=5,k=2/3\)，代入即可得 8^#（我改用 \(k=1/3\)， 代入即可得 9^#）.

至于再把 \(n\) 用 \(f(n)\) 的形式代换，就纯属障眼法、小儿科游戏了。