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楼主: 王守恩

[讨论] 四次方数还有更短的吗?

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 楼主| 发表于 2018-10-14 14:03:29 | 显示全部楼层
gxqcn 发表于 2018-10-14 09:29
6 ~ 9 的恒等式,均可源于如下形式的恒等式:\[(a n - c_1)^4 + (b n + c_2)^4 + ((a + b) n - c_3)^4 \equ ...

经10楼这样一点拨,豁然开化不少!谢谢gxqcn!
6 ~ 9 的恒等式,均可源于如下形式的恒等式:\[(an-c_1)^4+(bn+c_2)^4+((a+b)n-c_3)^4≡(an+c_1)^4+(bn−c_2)^4+((a+b)n+c_3)^4\]
\[(bn+c_2)^4-(bn−c_2)^4≡(an+c_1)^4-(an-c_1)^4+(an+bn+c_3)^4-(an+bn-c_3)^4\]
\[8(bn)^3c_2+8(bn)c_2^3≡8(an)^3c_1+8(an)c_1^3+8(an+bn)^3c_3+8(an+bn)c_3^3\]
\[(bn)^3(b+2a)+(bn)(b+2a)^3≡(an)^3(a+2b)+(an)(a+2b)^3+(an+bn)^3(b−a)+(an+bn)(b−a)^3\]
\[(bn)^3(b+2a)-(an)^3(a+2b)-(an+bn)^3(b−a)≡(bn)(b+2a)^3-(an)(a+2b)^3-(an+bn)(b−a)^3=0\]
\[兼得:(a+2b)a^3≡(2a+b)b^3+(a+b)^3(a−b)\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-10-17 13:38:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-10-17 17:02 编辑
gxqcn 发表于 2018-10-14 09:29
6 ~ 9 的恒等式,均可源于如下形式的恒等式:\[\phantom{=}[a n - k(a + 2b)]^4 + ^4 + [(a + b) n - k(b - ...


谢谢gxqcn!整理一下:
\[( a + b)^4 - (- b)^4\equiv( a +  b)^4 - (- a)^4 + ( a)^4 - ( b)^4\]
\[(2 a + 2 b)^4 - (-2 b)^4\equiv(2 a + 2 b)^4 - (-2 a)^4 + (2 a)^4 - (2 b)^4\]
\[\left(a + (a + 2 b)\right)^4 -\left (a - (a + 2 b)\right)^4\equiv\left (b + (b +  2 a)\right)^4 - (b -\left (b + 2 a)\right)^4 +\left ((a + b) + (a - b)\right)^4 -\left ((a +  b) - (a - b)\right)^4\ \ \ (1)\]
\[(1)式本身可以有变化,如果加上有(2),(3)的支持,(1)式的变化就更多了,我们往前走。\]
\[8 a^3 (a + 2 b) + 8 a (a + 2 b)^3\equiv 8 b^3 (b + 2 a) + 8 b (b + 2 a)^3 + 8 (a + b)^3 (a - b) + 8 (a + b) (a - b)^3\]
\[a^3 (a + 2 b) + a (a + 2 b)^3\equiv b^3 (b + 2 a) +  b (b + 2 a)^3 + (a + b)^3 (a - b) + (a + b) (a - b)^3\]
\[a^3 (a + 2 b) - b^3 (b + 2 a)\equiv(a + b)^3 (a - b) \ \ \ \ \ \ \ (2)\]
\[a (a + 2 b)^3 - b (b + 2 a)^3\equiv(a + b) (a - b)^3\ \ \ \ \ \ \ \ (3)\]
弱弱的问:9项,7项,5项也有这样的算式吗?
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 楼主| 发表于 2018-10-22 11:33:37 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2018-10-17 13:38
谢谢gxqcn!整理一下:
\[( a + b)^4 - (- b)^4\equiv( a +  b)^4 - (- a)^4 + ( a)^4 - ( b)^4\]
\[ ...

4项可以有下面的算式。
\[(n+3n^2-2n^3+n^5+n^7)^4-(n-3n^2-2n^3+n^5+n^7)^4=(1+n^2-2n^4+3n^5+n^6)^4-(1+n^2-2n^4-3n^5+n^6)^4\]
5项,7项,9项就没有这样的算式了吗?
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