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[讨论] 求一不定积分

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发表于 2018-12-1 20:35:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
咱们论坛之前出现过各种大量的,定积分的case,其技巧性往往也特别的多。这次来一个不定积分
\[\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^3+1}dx\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-1 23:54:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-12-2 01:24 编辑

这是FullSimplify的结果
\(\frac{1}{6} \left(-2 \sqrt{2} \log \left(\sqrt{2} \sqrt{x^2+1}-x+1\right)+i \left(\log \left(((x-1) x+1) \left(2 \sqrt{x^2+1}-2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(\sqrt{x^2+1}-i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+\left(\sqrt{3}-3 i\right) x-2 i\right)-3 i+\sqrt{3}\right)\right)-\log \left(((x-1) x+1) \left(2 \sqrt{x^2+1}+2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(\sqrt{x^2+1}+i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+\left(\sqrt{3}+3 i\right) x+2 i\right)+3 i+\sqrt{3}\right)\right)\right)-2 i \tanh ^{-1}\left(\frac{x \left(4 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(-4 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+2 x \left(2 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+3 x+i \sqrt{3}-3\right)+i \sqrt{3}+9\right)+2 i \sqrt{3}-6\right)}{8+x \left(x \left(2 x \left(x-2 i \sqrt{3}-2\right)+i \sqrt{3}+9\right)-4 i \sqrt{3}-4\right)}\right)+2 i \tanh ^{-1}\left(\frac{x \left(6 \sqrt{x^2+1}+2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(-6 \sqrt{x^2+1}-2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(6 \sqrt{x^2+1}+2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+3 \left(\sqrt{3}+i\right) x-6 i-2 \sqrt{3}\right)+3 i+5 \sqrt{3}\right)-6 i-2 \sqrt{3}\right)}{x \left(x \left(x \left(\left(\sqrt{3}+i\right) x+4 i-4 \sqrt{3}\right)+3 i+5 \sqrt{3}\right)+4 i-4 \sqrt{3}\right)+4 \left(\sqrt{3}+i\right)}\right)+2 \sqrt{2} \log (x+1)\right)\)
看了一下用时
  1. In[1]:= Timing[FullSimplify[Integrate[Sqrt[x^2+1]/(x^3+1),x]]]
  2. Out[1]= {110.766,1/6 (2 I ArcTanh[(x (-6 I-2 Sqrt[3]+6 Sqrt[1+x^2]+2 I Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]+x (3 I+5 Sqrt[3]-6 Sqrt[1+x^2]-2 I Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]+x (-6 I-2 Sqrt[3]+3 (I+Sqrt[3]) x+6 Sqrt[1+x^2]+2 I Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]))))/(4 (I+Sqrt[3])+x (4 I-4 Sqrt[3]+x (3 I+5 Sqrt[3]+x (4 I-4 Sqrt[3]+(I+Sqrt[3]) x))))]-2 I ArcTanh[(x (-6+2 I Sqrt[3]+4 Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]+x (9+I Sqrt[3]-4 Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]+2 x (-3+I Sqrt[3]+3 x+2 Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]))))/(8+x (-4-4 I Sqrt[3]+x (9+I Sqrt[3]+2 x (-2-2 I Sqrt[3]+x))))]+2 Sqrt[2] Log[1+x]-2 Sqrt[2] Log[1-x+Sqrt[2] Sqrt[1+x^2]]+I (Log[(1+(-1+x) x) (-3 I+Sqrt[3]+2 Sqrt[1+x^2]-2 I Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]+x (-2 I+(-3 I+Sqrt[3]) x+Sqrt[1+x^2]-I Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]))]-Log[(1+(-1+x) x) (3 I+Sqrt[3]+2 Sqrt[1+x^2]+2 I Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]+x (2 I+(3 I+Sqrt[3]) x+Sqrt[1+x^2]+I Sqrt[3] Sqrt[1+x^2]))]))}
复制代码
如果不化简
  1. In[1]:= Timing[Integrate[Sqrt[x^2+1]/(x^3+1),x]]
  2. Out[1]= {2.32813,(1/(18 Sqrt[2]))((1/Sqrt[1/3-I/Sqrt[3]])2 (3-I Sqrt[3]) ArcTan[(x (6+2 I Sqrt[3]+(-3-3 I Sqrt[3]) x^3-2 I Sqrt[6-6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]+x^2 (6+2 I Sqrt[3]-2 I Sqrt[6-6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])+I x (3 I-5 Sqrt[3]+2 Sqrt[6-6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])))/(4 (-I+Sqrt[3])-4 (I+Sqrt[3]) x+(-3 I+5 Sqrt[3]) x^2-4 (I+Sqrt[3]) x^3+(-I+Sqrt[3]) x^4)]-(1/Sqrt[1/3+I/Sqrt[3]])2 I (-3 I+Sqrt[3]) ArcTan[(x (-6+2 I Sqrt[3]+(3-3 I Sqrt[3]) x^3-2 I Sqrt[6+6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]+x^2 (-6+2 I Sqrt[3]-2 I Sqrt[6+6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])+x (3-5 I Sqrt[3]+2 I Sqrt[6+6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])))/(4 (I+Sqrt[3])-4 (-I+Sqrt[3]) x+(3 I+5 Sqrt[3]) x^2-4 (-I+Sqrt[3]) x^3+(I+Sqrt[3]) x^4)]+12 Log[1+x]+((-3 I+Sqrt[3]) Log[16 (1-x+x^2)^2])/Sqrt[1/3+I/Sqrt[3]]+((3 I+Sqrt[3]) Log[16 (1-x+x^2)^2])/Sqrt[1/3-I/Sqrt[3]]-12 Log[1-x+Sqrt[2] Sqrt[1+x^2]]-(1/Sqrt[1/3-I/Sqrt[3]])(3 I+Sqrt[3]) Log[(1-x+x^2) (3 I+Sqrt[3]+(3 I+Sqrt[3]) x^2+2 I Sqrt[2-2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]+I x (2+Sqrt[2-2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]))]-(1/Sqrt[1/3+I/Sqrt[3]])(-3 I+Sqrt[3]) Log[(1-x+x^2) (-3 I+Sqrt[3]+(-3 I+Sqrt[3]) x^2-2 I Sqrt[2+2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]-I x (2+Sqrt[2+2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]))])}
复制代码
普通化简
  1. In[1]:= Timing[Simplify[Integrate[Sqrt[x^2+1]/(x^3+1),x]]]
  2. Out[1]= {3.57813,(1/(18 Sqrt[2]))((1/Sqrt[1/3-I/Sqrt[3]])2 (3-I Sqrt[3]) ArcTan[(x (6+2 I Sqrt[3]+(-3-3 I Sqrt[3]) x^3-2 I Sqrt[6-6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]+x^2 (6+2 I Sqrt[3]-2 I Sqrt[6-6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])+I x (3 I-5 Sqrt[3]+2 Sqrt[6-6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])))/(4 (-I+Sqrt[3])-4 (I+Sqrt[3]) x+(-3 I+5 Sqrt[3]) x^2-4 (I+Sqrt[3]) x^3+(-I+Sqrt[3]) x^4)]-(1/Sqrt[1/3+I/Sqrt[3]])2 I (-3 I+Sqrt[3]) ArcTan[(x (-6+2 I Sqrt[3]+(3-3 I Sqrt[3]) x^3-2 I Sqrt[6+6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]+x^2 (-6+2 I Sqrt[3]-2 I Sqrt[6+6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])+x (3-5 I Sqrt[3]+2 I Sqrt[6+6 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2])))/(4 (I+Sqrt[3])-4 (-I+Sqrt[3]) x+(3 I+5 Sqrt[3]) x^2-4 (-I+Sqrt[3]) x^3+(I+Sqrt[3]) x^4)]+12 Log[1+x]+((-3 I+Sqrt[3]) Log[16 (1-x+x^2)^2])/Sqrt[1/3+I/Sqrt[3]]+((3 I+Sqrt[3]) Log[16 (1-x+x^2)^2])/Sqrt[1/3-I/Sqrt[3]]-12 Log[1-x+Sqrt[2] Sqrt[1+x^2]]-(1/Sqrt[1/3-I/Sqrt[3]])(3 I+Sqrt[3]) Log[(1-x+x^2) (3 I+Sqrt[3]+(3 I+Sqrt[3]) x^2+2 I Sqrt[2-2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]+I x (2+Sqrt[2-2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]))]-(1/Sqrt[1/3+I/Sqrt[3]])(-3 I+Sqrt[3]) Log[(1-x+x^2) (-3 I+Sqrt[3]+(-3 I+Sqrt[3]) x^2-2 I Sqrt[2+2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]-I x (2+Sqrt[2+2 I Sqrt[3]] Sqrt[1+x^2]))])}
复制代码
Expand
\(-\frac{1}{3} \sqrt{2} \log \left(\sqrt{2} \sqrt{x^2+1}-x+1\right)-\frac{1}{6} i \log \left(((x-1) x+1) \left(2 \sqrt{x^2+1}+2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(\sqrt{x^2+1}+i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+\left(\sqrt{3}+3 i\right) x+2 i\right)+3 i+\sqrt{3}\right)\right)+\frac{1}{6} i \log \left(((x-1) x+1) \left(2 \sqrt{x^2+1}-2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(\sqrt{x^2+1}-i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+\left(\sqrt{3}-3 i\right) x-2 i\right)-3 i+\sqrt{3}\right)\right)-\frac{1}{3} i \tanh ^{-1}\left(\frac{x \left(4 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(-4 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+2 x \left(2 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+3 x+i \sqrt{3}-3\right)+i \sqrt{3}+9\right)+2 i \sqrt{3}-6\right)}{8+x \left(x \left(2 x \left(x-2 i \sqrt{3}-2\right)+i \sqrt{3}+9\right)-4 i \sqrt{3}-4\right)}\right)+\frac{1}{3} i \tanh ^{-1}\left(\frac{x \left(6 \sqrt{x^2+1}+2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(-6 \sqrt{x^2+1}-2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+x \left(6 \sqrt{x^2+1}+2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+3 \left(\sqrt{3}+i\right) x-6 i-2 \sqrt{3}\right)+3 i+5 \sqrt{3}\right)-6 i-2 \sqrt{3}\right)}{x \left(x \left(x \left(\left(\sqrt{3}+i\right) x+4 i-4 \sqrt{3}\right)+3 i+5 \sqrt{3}\right)+4 i-4 \sqrt{3}\right)+4 \left(\sqrt{3}+i\right)}\right)+\frac{1}{3} \sqrt{2} \log (x+1)\)
ExpandAll
\(\frac{1}{3} \tan ^{-1}\left(\frac{3 i \sqrt{3} x^4}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}-\frac{3 x^4}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}+\frac{6 i \sqrt{x^2+1} x^3}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}-\frac{2 i \sqrt{3} x^3}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}-\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^3}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}+\frac{6 x^3}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}+\frac{5 i \sqrt{3} x^2}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}+\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^2}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}-\frac{6 i \sqrt{x^2+1} x^2}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}-\frac{3 x^2}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}+\frac{6 i \sqrt{x^2+1} x}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}-\frac{2 i \sqrt{3} x}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}-\frac{2 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}+\frac{6 x}{i x^4+\sqrt{3} x^4+4 i x^3-4 \sqrt{3} x^3+3 i x^2+5 \sqrt{3} x^2+4 i x-4 \sqrt{3} x+4 i+4 \sqrt{3}}\right)+\frac{1}{3} i \tanh ^{-1}\left(-\frac{6 x^4}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}-\frac{2 i \sqrt{3} x^3}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}-\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^3}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}+\frac{6 x^3}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}+\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^2}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}-\frac{i \sqrt{3} x^2}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}-\frac{9 x^2}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}-\frac{2 i \sqrt{3} x}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}-\frac{4 \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}+\frac{6 x}{2 x^4-4 i \sqrt{3} x^3-4 x^3+i \sqrt{3} x^2+9 x^2-4 i \sqrt{3} x-4 x+8}\right)-\frac{1}{6} i \log \left(3 i x^4+\sqrt{3} x^4-i x^3-\sqrt{3} x^3+i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^3+\sqrt{x^2+1} x^3+4 i x^2+2 \sqrt{3} x^2+i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^2+\sqrt{x^2+1} x^2-i x-\sqrt{3} x-i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x-\sqrt{x^2+1} x+3 i+\sqrt{3}+2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+2 \sqrt{x^2+1}\right)-\frac{1}{3} \sqrt{2} \log \left(-x+\sqrt{2} \sqrt{x^2+1}+1\right)+\frac{1}{6} i \log \left(-3 i x^4+\sqrt{3} x^4+i x^3-\sqrt{3} x^3-i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^3+\sqrt{x^2+1} x^3-4 i x^2+2 \sqrt{3} x^2-i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x^2+\sqrt{x^2+1} x^2+i x-\sqrt{3} x+i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1} x-\sqrt{x^2+1} x-3 i+\sqrt{3}-2 i \sqrt{3} \sqrt{x^2+1}+2 \sqrt{x^2+1}\right)+\frac{1}{3} \log (x+1) \sqrt{2}\)
然后用了一款神奇的软件
  1. (3) -> integrate(sqrt(x^2+1)/(x^3+1),x)

  2.    (3)
  3.                               +------+
  4.                  +-+          | 2                  +-+    2
  5.         +-+    (\|2  + x + 1)\|x  + 1  + (- x - 1)\|2  - x  - x - 2
  6.        \|2 log(----------------------------------------------------)
  7.                                      +------+
  8.                                      | 2         2
  9.                              (x + 1)\|x  + 1  - x  - x
  10.      +
  11.                           +------+
  12.                           | 2           2
  13.                 (2 x - 1)\|x  + 1  - 2 x  + x - 1
  14.        - 2 atan(---------------------------------)
  15.                          +------+
  16.                          | 2
  17.                         \|x  + 1  - x - 1
  18.   /
  19.      3
  20.                                          Type: Union(Expression(Integer),...)
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点评

^_^  发表于 2018-12-2 09:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2018-12-2 09:29:33 | 显示全部楼层
某软件 秒杀的结果是:

\[\frac{\sqrt{2} \log (\frac{(\sqrt{2} + x + 1) \sqrt{x^2 + 1} + (- x - 1)
\sqrt{2} - x^2 - x - 2}{(x + 1) \sqrt{x^2 + 1} - x^2 - x}) - 2 \text{atan}
(\frac{(2 x - 1) \sqrt{x^2 + 1} - 2 x^2 + x - 1}{\sqrt{x^2 + 1} - x - 1})}{3}\]

Screenshot from 2018-12-02 10-55-09.png

点评

TexMacs + FriCAS  发表于 2018-12-2 12:30
这是什么软件?好神奇的样子  发表于 2018-12-2 12:19
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发表于 2018-12-2 11:25:18 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-12-2 12:33 编辑
wayne 发表于 2018-12-2 09:29
某软件 秒杀的结果是:

\[\frac{\sqrt{2} \log (\frac{(\sqrt{2} + x + 1) \sqrt{x^2 + 1} + (- x - 1)
...


为什么这款软件到了你这里就这么好看了

还有
试过Mathematica做FullSimplify
发现这两个不定积分的确只是差一个常数
然鹅Mathematica根本没有意识到这一点
我限制了$x\in\text{Integers}$进行化简(里面还有一句Refine)都没有用

点评

安装的是TexMacs, :)  发表于 2018-12-2 11:51
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 楼主| 发表于 2018-12-2 17:58:12 | 显示全部楼层
事实上,经过测试。这些积分都是有较为简洁但不简单的初等原函数的

\[\int\frac{\sqrt{px+q}}{ax+b}dx\]
\[\int\frac{\sqrt{px+q}}{cx^2+bx+c}dx\]
\[\int\frac{\sqrt{px^2+qx+r}}{ax+b}dx\]
\[\int\frac{\sqrt{px^2+qx+r}}{ax^2+bx+c}dx\]

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 楼主| 发表于 2018-12-2 18:22:51 | 显示全部楼层
还是认认真真的计算一下吧,$\int\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^3+1}dx$
变量代换$x=tant$,得到 $\int\frac{dt}{cos^3t+sin^3t}$, 继续变量代换$s=tan(t/2)$, 得到$\int-\frac{2 \left(s^2+1\right)^2}{\left(s^2-2 s-1\right) \left(s^4+2 s^3+2 s^2-2 s+1\right)}ds = \frac{1}{3} \left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{s^2+s}{1-s}\right)-\sqrt{2} \left(\log \left(-s+\sqrt{2}+1\right)-\log \left(s+\sqrt{2}-1\right)\right)\right)$
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发表于 2018-12-2 18:25:48 | 显示全部楼层
令 `x=\sinh t`,有 `\dif x=\cosh t \dif t`,那么
\begin{align*}\int \frac{\sqrt{x^2+1}}{x^3+1}\dif x&=\int\frac{\cosh^2 t}{\sinh^3t+1}\dif t\\
&=\int\frac{1+\sinh^2 t}{1+\sinh^3t}\dif t\\
&=\frac 23\int\frac{\dif t}{1+\sinh t}+\frac 13\int\frac{1+\sinh t}{1-\sinh t+\sinh^2t}\dif t\end{align*}剩下就好办了。

点评

恩恩,是的  发表于 2018-12-3 15:53
@wayne,这个例子挺不错,结果只能表示为复函数值取虚部。但是这是定积分,其不定积分是不是也是如此?或者其不定积分是否存在?很多定积分存在但不定积分不存在的。  发表于 2018-12-3 15:49
比如:https://bbs.emath.ac.cn/thread-4288-1-1.html  发表于 2018-12-3 15:39
但是很多很多实函数的积分结果的封闭表达,只能用虚部来表达  发表于 2018-12-3 15:39
这确实是个问题  发表于 2018-12-3 15:33
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-2 21:34:41 | 显示全部楼层
楼上的学哥都是高手啊,这个怎么求啊,思考了很长时间未果\[\int^{\oo}_\sqrt{33}\frac1{\sqrt{x^3-11x^2+11x+121}}\dif x=\frac1{6\sqrt2\pi^2}\Gamma\left(\frac1{11}\right)\Gamma\left(\frac3{11}\right)\Gamma\left(\frac4{11}\right)\Gamma\left(\frac5{11}\right)\Gamma\left(\frac9{11}\right)\]
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点评

在我印象中,一般这种类型的不定积分不存在,只有特殊的定积分可以求,而且使用的方法也很刁钻。  发表于 2018-12-3 15:52
https://artofproblemsolving.com/community/q1h1733250p11242933  发表于 2018-12-3 13:06
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-3 12:50:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2018-12-3 16:11 编辑
  1. int=Integrate[Sqrt[x^2+1]/(x^3+1),x];
  2. Assuming[0<x<1,
  3. (ComplexExpand[Re[int],TargetFunctions->{Re, Im}]/.(f:Cos|Sin)[x_]:>FullSimplify[Sign[f[x]]]Sqrt[TrigReduce[f[x]^2]]//Simplify)//.{ ArcTan[x_]+ ArcTan[y_]:>ArcTan[(x+y)/(1-x y)],ArcTan[x_]-ArcTan[y_]:>ArcTan[(x-y)/(1+x y)]}//FullSimplify]
复制代码

这个化简起来有点费劲
$\frac{1}{3} \left(\sqrt{2} \log \left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{x^2+1}+x-1}{x+1}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{((x-3) x+1) \left(x^2+x+1\right)}{(x-1) x \left(2 \left(\sqrt{3}-2 \sqrt{x^2+1}\right)+\sqrt{3} (x-1) x\right)+\sqrt{3}}\right)\right)$

用Mathematica的一个package Rubi(Rule-based Integration)可以直接得到很简洁的结果,顺便算一下bbs.emath.ac.cn/thread-2613-1-1.html (integrate(x/sqrt(x^4+10*x^2-96*x-71),x))

20181203125603.png

点评

这个结果相当简洁了,Rubi(Rule-based Integration)很强大呀!  发表于 2018-12-3 13:12

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-3 15:32:00 | 显示全部楼层
本帖最后由 kastin 于 2018-12-3 15:44 编辑

续上7楼:
\begin{align*}\frac 23\int\frac{\dif t}{1+\sinh t}+\frac 13\int\frac{1+\sinh t}{1-\sinh t+\sinh^2t}&=\frac{2\sqrt{2}}{3}\mathrm{arctanh}\frac{\tanh(t/2)-1}{\sqrt{2}}-\frac 23\arctan(\mathrm{sech}t-\tanh t)+c\\
&=\frac{\sqrt{2}}{3}\ln\frac{\sqrt{x^2+1}+x-\sqrt{2}+1}{\sqrt{x^2+1}+x+\sqrt{2}+1}+\frac 23\arctan\frac{x-1}{\sqrt{x^2+1}}+c\end{align*}

点评

看了楼上的Rubi,感觉求导的逆过程[反求导] 应该可以有一个更通用的理论。而不是现在这种只是 根据几个常用的初等函数的case 再加上 基本原则 。  发表于 2018-12-3 16:07
@wayne,是的,只是不知化简过程可能不太一样,有可能遇到虚数,当然最终殊途同归。  发表于 2018-12-3 16:00
我觉得,我可以仿照你的过程,给出一个三角函数的版本,^_^  发表于 2018-12-3 15:45
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