请教大家一个复杂概率问题

673024707

一个人练习射击，单次射击的命中率是0.6。这个人连续射击100次，那么中间不会出现连续4次以上没射中的概率是多少？（可以出现连续4次没射中）

求计算方法，感觉好复杂。。。

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写个马氏链自己算转移概率就好
很简单的一个东西
（然而忽然发现下面写的解答有劝退统计系学弟学妹的作用……）
（其实写那么长主要是用R求m^100很困难）
（求m^100其实有很漂亮的方法，用竞赛党可以理解的方式是，写递推式，大学狗更喜欢求特征向量然后谱分解，然而那玩意写起来太长，我就不写了）
（其实统计学里比那个程序写得难看的东西多得很呢）

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https://baike.baidu.com/item/%E8 ... 9%E9%98%B5/14752141
软件是这个
https://mran.blob.core.windows.n ... ft-r-open-3.5.1.exe
或者，这是原版的官网：
https://cran.r-project.org/

状态：
上次命中（A）
连续1次未命中（B）
连续2次未命中（C）
连续3次未命中（D）
（满足连续4次未命中条件，已经不用接着计算这个问题了）（E）

转移概率矩阵

1. 0.6 0.4 0 0 0
   
2. 0.6 0 0.4 0 0
   
3. 0.6 0 0 0.4 0
   
4. 0.6 0 0 0 0.4
   
5. 0 0 0 0 1

复制代码

矩阵的第一行分别是
A->A,A->B,A->C,A->D,A->E的概率

剩下的分别是B，C，D，E的

剩下的就是送给R了

1. m=t(matrix(scan(),5))
   
2. （粘贴上面那个矩阵）
   
3. m2=m%*%m
   
4. m4=m2%*%m2
   
5. m5=m4%*%m
   
6. m10=m5%*%m5
   
7. m20=m10%*%m10
   
8. m25=m20%*%m5
   
9. m50=m25%*%m25
   
10. m100=m50%*%m50
    
11. (c(1,0,0,0,0)%*%m100)[5]

复制代码

得到答案
0.800787528506405

另外，在这里附上一个“优雅”解法的第一步

1. > eigen(m)
   
2. eigen() decomposition
   
3. values`
   
4. [1]  1.0000000+0.000000i  0.9835889+0.000000i -0.0278213+0.343907i -0.0278213-0.343907i -0.3279463+0.000000i
   
5. 
   
6. $vectors
   
7.              [,1]          [,2]                  [,3]                  [,4]          [,5]
   
8. [1,] 0.4472136+0i -0.5746696+0i -0.2249128+0.1488045i -0.2249128-0.1488045i  0.3179705+0i
   
9. [2,] 0.4472136+0i -0.5510922+0i  0.2250753-0.4269293i  0.2250753+0.4269293i -0.7376489+0i
   
10. [3,] 0.4472136+0i -0.4931162+0i  0.6887743+0.0000000i  0.6887743+0.0000000i  0.1278172+0i
    
11. [4,] 0.4472136+0i -0.3505547+0i  0.2894626+0.3689789i  0.2894626-0.3689789i -0.5817487+0i
    
12. [5,] 0.4472136+0i  0.0000000+0i  0.0000000+0.0000000i  0.0000000+0.0000000i  0.0000000+0i

复制代码

673024707

.·.·. 发表于 2018-12-9 19:14
https://baike.baidu.com/item/%E8 ... 9%E9%98%B5/14752141
软件是这个
https://mran.blob.core.windows ...

这个过程我回头再研究了，只是这个结果，，，出现4连以上不中的概率有80%这么高的吗？单纯计算连射5次不中的概率只有1%啊。。

wayne

673024707 发表于 2018-12-9 20:44
这个过程我回头再研究了，只是这个结果，，，出现4连以上不中的概率有80%这么高的吗？单纯计算连射5次不 ...

我计算的是连续四次不中的概率是$\frac{6317099746272594835134600551382825210036128552567972602809068661470224}{7888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625}=0.800787528506405050060204746431$
100次射击，连续五次不中的概率是 $\frac{1158864877772894552456551088152452139516127504818389994730310525248}{2524354896707237777317531408904915934954260592348873615264892578125} =0.459073674341319837696230093112$ ， 你计算的1%该不会是数值计算引入的误差吧。

wayne

连续射击$n$次，中间不会出现连续4次以上没射中的概率 的代数表达就是

1. 1+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,2]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,1]+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,1]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,2]+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,3]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,3]+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,4]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,4]

复制代码

$p_n = 1 - 0.215124 (-0.327946)^(1+ n) - (0.195974 + 0.0570639 I) (-0.0278213 - 0.343907 I)^(1 + n) - (0.195974 - 0.0570639 I) (-0.0278213 + 0.343907 I)^( 1 + n) - 1.05959 * 0.983589^(1+ n)$

.·.·.

wayne 发表于 2018-12-10 09:13
我计算的是连续四次不中的概率是$\frac{63170997462725948351346005513828252100361285525679726028090 ...

LZ说的连续五次不中的概率应该是
前五次无一命中的概率
这个概率是0.01024
看上去是不太高
然而LZ可能忽略掉了
连续五次不中的概率可以看成是：
第1-5次无一命中
第6-10次无一命中
……
所以概率会比简单地计算前五次无一命中的可能高很多

zeroieme

.·.·. 发表于 2018-12-11 19:07
LZ说的连续五次不中的概率应该是
前五次无一命中的概率
这个概率是0.01024

只计算前五次就跟后面95次无关，那么也不必说100次。

.·.·.

zeroieme 发表于 2018-12-12 09:26
只计算前五次就跟后面95次无关，那么也不必说100次。

然而这是1%的唯一解释……
LZ并不是统计方向的
这意味着LZ可能会犯这种错误

673024707

.·.·. 发表于 2018-12-12 13:37
然而这是1%的唯一解释……
LZ并不是统计方向的
这意味着LZ可能会犯这种错误

向你分享一下我从别的地方问来的答案

設第n次射擊時连續射中m次且未出現連續4次以上不中的概率是A(n,m)
A(n+1,0)=0.6[A(n,0)+A(n,1)+A(n,2)+A(n,3)+A(n,4)]
A(n+1,m+1)=0.4A(n,m)
所以A(n,0)=0.6A(n-1,0)+0.6*0.4A(n-2,0)+...+0.6*0.4^4 A(n-5,0)
而A(0,0)=1，A(1,0)=A(2,0)=A(3,0)=A(4,0)=0.6
解方程x^5-0.6x^4-0.6*0.4x^3-0.6*0.4^2 x^2-0.6*0.4^3 x-0.6*0.4^4=0

结果0.5409

我感觉这个才是对的，您在楼中回复的意思我都懂，我只是觉得80%的概率有些偏高了