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[求助] 请教大家一个复杂概率问题

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发表于 2018-12-9 18:31:10 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一个人练习射击,单次射击的命中率是0.6。这个人连续射击100次,那么中间不会出现连续4次以上没射中的概率是多少?(可以出现连续4次没射中)

求计算方法,感觉好复杂。。。

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-9 19:07:16 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-12-9 19:22 编辑

写个马氏链自己算转移概率就好
很简单的一个东西
(然而忽然发现下面写的解答有劝退统计系学弟学妹的作用……)
(其实写那么长主要是用R求m^100很困难)
(求m^100其实有很漂亮的方法,用竞赛党可以理解的方式是,写递推式,大学狗更喜欢求特征向量然后谱分解,然而那玩意写起来太长,我就不写了)
(其实统计学里比那个程序写得难看的东西多得很呢
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-9 19:14:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 .·.·. 于 2018-12-9 19:31 编辑

https://baike.baidu.com/item/%E8 ... 9%E9%98%B5/14752141
软件是这个
https://mran.blob.core.windows.n ... ft-r-open-3.5.1.exe
或者,这是原版的官网:
https://cran.r-project.org/

状态:
上次命中(A)
连续1次未命中(B)
连续2次未命中(C)
连续3次未命中(D)
(满足连续4次未命中条件,已经不用接着计算这个问题了)(E)

转移概率矩阵
  1. 0.6 0.4 0 0 0
  2. 0.6 0 0.4 0 0
  3. 0.6 0 0 0.4 0
  4. 0.6 0 0 0 0.4
  5. 0 0 0 0 1
复制代码
矩阵的第一行分别是
A->A,A->B,A->C,A->D,A->E的概率

剩下的分别是B,C,D,E的

剩下的就是送给R了
  1. m=t(matrix(scan(),5))
  2. (粘贴上面那个矩阵)
  3. m2=m%*%m
  4. m4=m2%*%m2
  5. m5=m4%*%m
  6. m10=m5%*%m5
  7. m20=m10%*%m10
  8. m25=m20%*%m5
  9. m50=m25%*%m25
  10. m100=m50%*%m50
  11. (c(1,0,0,0,0)%*%m100)[5]
复制代码


得到答案
0.800787528506405

另外,在这里附上一个“优雅”解法的第一步
  1. > eigen(m)
  2. eigen() decomposition
  3. values`
  4. [1]  1.0000000+0.000000i  0.9835889+0.000000i -0.0278213+0.343907i -0.0278213-0.343907i -0.3279463+0.000000i

  5. $vectors
  6.              [,1]          [,2]                  [,3]                  [,4]          [,5]
  7. [1,] 0.4472136+0i -0.5746696+0i -0.2249128+0.1488045i -0.2249128-0.1488045i  0.3179705+0i
  8. [2,] 0.4472136+0i -0.5510922+0i  0.2250753-0.4269293i  0.2250753+0.4269293i -0.7376489+0i
  9. [3,] 0.4472136+0i -0.4931162+0i  0.6887743+0.0000000i  0.6887743+0.0000000i  0.1278172+0i
  10. [4,] 0.4472136+0i -0.3505547+0i  0.2894626+0.3689789i  0.2894626-0.3689789i -0.5817487+0i
  11. [5,] 0.4472136+0i  0.0000000+0i  0.0000000+0.0000000i  0.0000000+0.0000000i  0.0000000+0i
复制代码



点评

我用的print((c(1,0,0,0,0)%*%m100)[5],20)输出了这个数字的全部有效位数,有幸下一位是0,所有误差都被抹掉了……R的精度只是double的精度而已  发表于 2018-12-11 19:08
R怎么 数值计算的精度也这么高。。。  发表于 2018-12-10 12:27
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-12-9 20:44:58 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-12-9 19:14
https://baike.baidu.com/item/%E8 ... 9%E9%98%B5/14752141
软件是这个
https://mran.blob.core.windows ...

这个过程我回头再研究了,只是这个结果,,,出现4连以上不中的概率有80%这么高的吗?单纯计算连射5次不中的概率只有1%啊。。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-10 09:13:00 | 显示全部楼层
673024707 发表于 2018-12-9 20:44
这个过程我回头再研究了,只是这个结果,,,出现4连以上不中的概率有80%这么高的吗?单纯计算连射5次不 ...


我计算的是连续四次不中的概率是$\frac{6317099746272594835134600551382825210036128552567972602809068661470224}{7888609052210118054117285652827862296732064351090230047702789306640625}=0.800787528506405050060204746431$
100次射击,连续五次不中的概率是 $\frac{1158864877772894552456551088152452139516127504818389994730310525248}{2524354896707237777317531408904915934954260592348873615264892578125} =0.459073674341319837696230093112$ , 你计算的1%该不会是数值计算引入的误差吧。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-10 23:20:20 | 显示全部楼层
连续射击$n$次,中间不会出现连续4次以上没射中的概率 的代数表达就是
  1. 1+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,2]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,1]+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,1]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,2]+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,3]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,3]+Root[-24-60 #1-150 #1^2-375 #1^3+625 #1^4&,4]^(1+n) Root[10+150 #1+810 #1^2+1755 #1^3+1053 #1^4&,4]
复制代码


$p_n = 1 - 0.215124 (-0.327946)^(1+ n) - (0.195974 + 0.0570639 I) (-0.0278213 - 0.343907 I)^(1 + n) - (0.195974 - 0.0570639 I) (-0.0278213 + 0.343907 I)^( 1 + n) - 1.05959 * 0.983589^(1+ n)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-12-11 19:07:42 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2018-12-10 09:13
我计算的是连续四次不中的概率是$\frac{63170997462725948351346005513828252100361285525679726028090 ...

LZ说的连续五次不中的概率应该是
前五次无一命中的概率
这个概率是0.01024
看上去是不太高
然而LZ可能忽略掉了
连续五次不中的概率可以看成是:
第1-5次无一命中
第6-10次无一命中
……
所以概率会比简单地计算前五次无一命中的可能高很多
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发表于 2018-12-12 09:26:44 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-12-11 19:07
LZ说的连续五次不中的概率应该是
前五次无一命中的概率
这个概率是0.01024


只计算前五次就跟后面95次无关,那么也不必说100次。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-12-12 13:37:19 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2018-12-12 09:26
只计算前五次就跟后面95次无关,那么也不必说100次。

然而这是1%的唯一解释……
LZ并不是统计方向的
这意味着LZ可能会犯这种错误
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 楼主| 发表于 2018-12-12 15:19:59 | 显示全部楼层
.·.·. 发表于 2018-12-12 13:37
然而这是1%的唯一解释……
LZ并不是统计方向的
这意味着LZ可能会犯这种错误

向你分享一下我从别的地方问来的答案

設第n次射擊時连續射中m次且未出現連續4次以上不中的概率是A(n,m)
A(n+1,0)=0.6[A(n,0)+A(n,1)+A(n,2)+A(n,3)+A(n,4)]
A(n+1,m+1)=0.4A(n,m)
所以A(n,0)=0.6A(n-1,0)+0.6*0.4A(n-2,0)+...+0.6*0.4^4 A(n-5,0)
而A(0,0)=1,A(1,0)=A(2,0)=A(3,0)=A(4,0)=0.6
解方程x^5-0.6x^4-0.6*0.4x^3-0.6*0.4^2 x^2-0.6*0.4^3 x-0.6*0.4^4=0

结果0.5409

我感觉这个才是对的,您在楼中回复的意思我都懂,我只是觉得80%的概率有些偏高了

点评

……你这里说的是连续未命中至少五次,我把“连续四次未命中”这一事件设置成了终点,自然答案不一样  发表于 2018-12-13 17:52
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