勾股定理新证——八卦证法

hujunhua

今天偶然在CSDN博主laomai的Blog上看到其《勾股定理一日一证连载》1~183，跳着看了一些，大多是各种面积割补之法，鸡零狗碎，了无新意。blog写作日期是2016年，彼时说其新书《挑战思维极限--勾股定理的365个证法》即将出版。我虽不看好该书，但对作者能搞这么多，不得不佩服得紧。
我以前偶得过一个勾股定理证法——内切圆法，今日受laomai刺激，欲发出来，结果一搜索，前人已有。
于是又研究了一个斜边上的旁切圆证法。为了对称美观，又将旁切圆构图旋转拼接成一个八卦形，遂称之为“八卦证法”——哈哈，是不是够八卦的？
发出来搏大家一哂，顺便鉴定一下这八卦是否首创，反正我是没搜到。

如图，将毕达哥拉斯三角形ABC复制四个，放在一个正方形与其内切圆之间的四角。容易证明中间是一个等边八边形，边长即毕达哥拉斯三角形的斜边长。
正方形面积`=(a+b+c)^2`
八边形面积=内切圆半径乘以八边形半周长`=2(a+b+c)c`
由   正方形面积=八边形面积+4个三角形面积 得\[(a+b+c)^2=2(a+b+c)c+2ab\]两边展开即可消得\[a^2+b^2=c^2\]

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很巧妙。但是有点繁琐。

其实对于这类证明，包括大量的复杂的割补法证明，我都有一个疑惑：割补法本质上是基于三角形全等性的证明，当勾股定理不成立的时候，这些全等性的证明真的能保证吗？

wayne

我也跟你们一样，不看好这类证明。感觉都是循环论证，没啥意思。在这里，我的疑惑是 三角形面积的定义 是不是要 先于 勾股定理 出现的。

我们知道坐标系，解析几何是最晚出现的，所以这个毫无疑问应该禁止使用。那所有基于面积的概念的定义呢，我们要么应该回头看看数学史，要么梳理一下几何的公理系统

hujunhua

勾股定理的本质可能不是全等而是相似。

如图将直角三角形从斜边上的高分成两个与原三角形相似的直角三角形，由面积比等于相似比——比如对应的斜边之比的平方得\[\frac{c^2}{S_{\triangle ABC}}=\frac{a^2}{S_{\triangle CBD}}=\frac{b^2}{S_{\triangle ADB}}\]而面积是线性可加的\[S_{\triangle ABC}=S_{\triangle CBD}+S_{\triangle ADB}\]代以各自斜边的平方即得\(c^2=a^2+b^2\)。

也就是说，当我们不把边的平方按原始定义对应于正方形，而是基于相似关系对应于三角形本身时，勾股定理一目了然，那不过是直角三角形的自然划分。
所以当一种几何中不存在相似形时，勾股定理便不能成立了。

hujunhua

wayne 发表于 2018-12-19 09:52
我也跟你们一样，不看好这类证明。感觉都是循环论证，没啥意思。在这里，我的疑惑是 三角形面积的定义 是不 ...

解析几何不是不能用，而是两个坐标点间的距离公式不能用，那是基于勾股定理的。
与距离公式无关的部分是可以用的。比如从解方程组求直线交点坐标。

只是，距离公式不能用的话，解析几何基本上就哑火了。

wayne

嗯。面积的线性相加＋相似性  才是 勾股定理背后的本质。完全认同。
而相似性揭示的是几何形体的充分必要的决定元素，即几何体的自由参数。 再换种说法，就是几何形体的定义了，是对这种类型的几何体的泛化定义，由个别推至一般，是同一集合内不同元素之间的联结关系的定义。
所以问题又规约到了 长度，面积这种 测度层面的定义了

wayne

这么说来，面积我可以重新定义，比如用 一个二维向量来定义。，比用标量 乘积产生的新标量 更妥，因为反正 不同维度的东西定义加法没什么几何意义。

zeroieme

如此看来勾股定理等价于“臭名昭彰”的平行公理

kastin

hujunhua 发表于 2018-12-19 10:10
勾股定理的本质可能不是全等而是相似。

如图将直角三角形从斜边上的高分成两个与原三角形相似的直角三角 ...

确实，全等只是相似的特例，而许多勾股定理的证法最终还是用到了“相似比”和“面积相加”性质，缺一不可。因此，勾股定理反映了相似比性质以及面积可加性。

进一步深入分析可知，相似性质来源于三角形面积定义以及平行线的性质（平行线间垂线距离处处相等）；而面积可加性也是包含在面积（测度）定义中的。平行线性质则来源于平行线的定义和平行公理。

由于面积定义实际上是独立于几何本身的（注意，几何原本中的“面积”指的是平面图形的面积），它只需要满足测度定义的几条性质即可——比如无论是平面几何还是球面几何都存在“面积”的概念。因此面积只是几何量代数运算的载体，反映的是几何量的代数运算性。

再来看平行公理（同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的2个内角的和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交），它实质上给出的是“直”（进而维度扩张后则是“平”）的一种定义（从而才有），而不同的定义则给出了不同的几何体系。

由此可见，勾股定理反映的是几何测度的 代数运算性质 与 欧氏空间的平直性。由于代数运算本身独立于几何，故可认为，勾股定理本质反映的是欧氏空间的本质。

wayne

kastin的思维是现代人的思维，我们都是已经经过了现代理论的驯化了。 所以，我特地下载了《几何原本》，哈哈哈。http://vdisk.weibo.com/s/d1SFRI13u1oCv

由于没有书签，我是鼠标一页一页的翻的。翻了很久好像还是没看到关于线段，面积，体的明确定义。这方面比较粗放。

后来我幡然醒悟，那个年代的人是没有 几何对象 ( geometry object ) 的概念的，没有把 点，线，面，体当做几何对象 (object) 来研究。就是说没有集合的概念，而是大篇幅的谈数和量的关系。比如第五章大篇幅的讲了 比例数 。 后面还有繁杂晦涩的有理线段，无理线段，二项线段。

一句话，没有对象的概念，没有集合论的基础，所以才这么晦涩繁杂，
所以，我们后人又用现代的思维，回到历史出发点，是个问题。