口口相传的民间数学难题

dlpg070

口口相传的民间数学难题
东北方言版2段顺口溜，激励一生
给研究数学史的人添加一点趣事
讲个亲历的故事：
上个世纪五十年代初，
在老奶奶讲的故事中，十一二岁的小学生，
听到两个顺口溜，
被好奇心吸引，
组织了课外学习小组，
几个星期的算来算去，终于得到答案，
兴奋不已，激励一生，
至今对当时的解答记忆犹新

1 一段顺口溜(鸡兔同笼) ---与算经类似，更有趣
公鸡兔子四十九，一百条腿还要有，问公鸡多少？兔子多少？

2 另一段顺口溜（百马百砖) --- 百鸡变百马，活灵活现
一百块砖，一百匹马，大马拉仨（sā），中马拉俩（liǎ），小马拉半拉(lǎ）,
问：大马多少中马多少小马多少？

虽然解出来了，但使用的是土掉渣的凑数法，一直在思索
1 有什么好方法？
2 哪来的趣题？
现在才有一点深入l理解

wayne

都是线性方程。问题就是求线性方程组的解。
第一个是 二元一次方程，有两个方程，能确定唯一解。
第二个是三元一次方程，有两个方程，是不定解。

In[3]:= {x,y,z}/.Solve[x+y+z==100&&3x+2y+z/2==100&&0<x&&0<y&&0<z,Integers]
Out[3]= {{2,30,68},{5,25,70},{8,20,72},{11,15,74},{14,10,76},{17,5,78}}

northwolves

现在网上的流行做法：

假设鸡和兔都训练有素，吹一声哨，抬起一只脚，100-49=51。再吹哨，又抬起一只脚，51-49=2，这时鸡都一屁股坐地上了，兔子还两只脚立着。所以，兔子有2÷2=1只，鸡有49-1=48只。

northwolves

49过于特殊了，添加一只鸡即可得出结论

mathematica

1. (*穷举法解决公鸡兔子问题*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. Do[y=49-x;(*由公鸡数量得到兔子的数量*)
   
4.    leg=2*x+4*y;(*公鸡与兔子的腿的数量*)
   
5.    If[leg==100,Print[{"公鸡数量:",x,"兔子数量:",y}];Break[]],
   
6.    {x,1,100}
   
7. ]
   

复制代码

我只会穷举法

mathematica

1. Reduce[x + y + z == 100 && 3 x + 2 y + z/2 == 100 && 0 <= x &&
   
2.   0 <= y && 0 <= z, Integers]

复制代码

(x == 2 && y == 30 && z == 68) ||
(x == 5 && y == 25 && z == 70) ||
(x == 8 && y == 20 && z == 72) ||
(x == 11 && y == 15 &&z == 74) ||
(x == 14 && y == 10 && z == 76) ||
(x == 17 && y == 5 && z == 78) ||
(x == 20 && y == 0 && z == 80)

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wayne 发表于 2018-12-27 18:13
都是线性方程。问题就是求线性方程组的解。
第一个是 二元一次方程，有两个方程，能确定唯一解。
第二个 ...

都是不定方程，不是一般的线性方程
第一个最多一个解，也可能无解
第二个可能有多个解，也可能无解

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我在讲民间数学趣题的历史故事
时间：20世纪50年代初
人物：十一二岁小学生
那时不仅没有 Wolfram语言
Stephen Wolfram本人还没有出生呢
他生于20世纪50年代末（生于1959年8月29日）

这两个题对小学生很难，对成人不难，但耗时间
利用专业数学软件，在21世纪10年代，真是小菜一碟
难度为现在小学奥数题水平
因其趣味性，更多用来做c，c++，java入门例题

关于鸡兔同笼问题太简单问题
我想说，如果不简单，恐怕不一定在民间流传下来
设想，如果做了几天还没有结果，
一个小学生还能坚持做下去吗？
第二个问题复杂多了
但是有了鸡兔的解题经验，
可以转化为49个类似鸡兔问题（小马2匹为一组，给定小马组数，求大马数，中马数）
利用49张答题纸，每张解一道类似鸡兔问题（大马数，中马数）
49张纸，只有6个有解，其余无解
这样一个小学生就解决了2个趣题
要知道在算经中百钱买百鸡，只给出答案，并无解题方法或口诀

wayne

那时不仅没有 Wolfram语言
Stephen Wolfram本人还没有出生呢
他生于20世纪50年代末（生于1959年8月29日）

哈哈哈。我们前面扯出数学软件是搞着玩的，莫笑。  我在2楼说过，问题本质都是线性方程组的求解。那我再多说几句，免得你不清楚我在表达什么内容。

线性方程组 根据方程的个数和未知数的个数 初步判定为 确定，不定，超定。 深入的话，还得分析方程之间的线性相关性，算出秩是多少，最终才能决定 解之间的 不定 的程度有多高 [用多少个自由参数才能表达通解]。
就拿第二题来说，三个未知数，两个线性无关的方程，那么通解可以用一个自由参数来表达。我现在来手算一下：

$x+y+z==100,3x+2y+z/2==100$, 不妨引入自由参数$t$，其中$z=2t$，解得通解就是:
\[x=3t-100, y=200-5t, z = 2t \]
然后根据$x,y$都大于0，都是整数，得到自由参数$t$的约束就是$34<=t<40$，$t$为整数。 这跟楼上的Mathematica的计算结果完全吻合。

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大家可能会说，小学的课程教纲里是没有线性方程的，对，确实是，但是小学奥数是有多元一次方程的[好像还有一元二次方程]，而且是基本技能。
至少我那个年代就是，而且我还记得我当时的奥数书就是 单遵教授 写的。

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dlpg070

wayne 发表于 2018-12-28 10:59
哈哈哈。我们前面扯出数学软件是搞着玩的，莫笑。  我在2楼说过，问题本质都是线性方程组的求解。那我再 ...

这跟楼上的Mathematica的计算结果完全吻合???
好笑吗？没仔细看吧？
Mathematica的计算好像有bug，他得到7个解，
有一个应剔除
你算的很好，何必扯上他
莫笑