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楼主: hujunhua

[讨论] 请确定原来的灰色三角形

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 楼主| 发表于 2019-1-3 14:22:28 | 显示全部楼层
给美妙的作法找到一个美妙的证明了。可以给这个问题写一个结了。拟分四个部分来写:

一、问题的提出
      问题的发端及约束分析
二、美妙的作图
      包括作图及一个简单粗糙的审美准则:无一点无来处。
三、美妙的证明
      证明的美妙也要符合相同的审美准则
四、相关的命题

点评

^_^  发表于 2019-1-3 16:25
为不负君一赞,不得不加个目录  发表于 2019-1-3 15:33
赞  发表于 2019-1-3 14:25
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-3 15:32:56 | 显示全部楼层
一、问题的提出

      最近论坛上在热烈讨论的“三角形内三个四边形的内切圆 ,感觉其中的约束有点散,受其启发,便研究了下述构图:

要求在三角形中作三条直线,将三角形剖分成七个部分,使其中的三个五边形都有内切圆。
作出圆后一看,这三个圆不就是中心那个小三角形的旁切圆么,于是问题变成了主帖那样的描述。
稍加研究不难发现,七个部分中,四个小三角形是全等的,外围的三个三角形是中间三角形的镜像,镜像线即三圆的两两连心线。
由此可得推论:三条直线被大三角形所截的线段是等长的,正好是小三角形的全周长。
因此问题也可以这样的等价方式提出:在三角形中作如图所示的三条线段,要求它们等长,并且所得四个小三角形全等。

      关于解的存在性,约束与自由度,最早是引用二次曲线来定量计算的。每个五边形都有一个内切椭圆,要求这个椭圆是圆,可得两个约束方程。三个圆共得六个约束。
三条直线刚好六个自由度,所以仅有有限的解,不存在连续轨迹解,更不存在平面区域解。
      随后,mathe指出了位似作图法,虽然不是一个唯美的作图,但这确定了解的唯一性。

点评

灰色三角形任两个顶点重合并移至切点似乎就变成"三角形内三个四边形的内切圆"问题中的特殊情况了  发表于 2019-1-3 21:33
老大总是能平地起高楼,造出新的发现~  发表于 2019-1-3 16:09
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 楼主| 发表于 2019-1-4 13:12:26 | 显示全部楼层

二、美妙的作图

1、初步作图
作图思想主要还是mathe指出的位似作图法。显然,源的选择对于作图的简明和优美比较重要,不能像mathe的存在性陈述所说的任意选取。
选择大三角形的内切圆切点三角形为源显然不利,作图范围太大,但这个切点圆要作出来,作为源三角形各边的平行方向参照。
如图,选择大三角形的某个顶点为位似中心比较有利,源就在大三角形的该角内,该角的任一内切圆都可作该角内的那个旁切圆(视为像)的源,切于此圆不难作出源三角形。
第1个位似源.PNG
有了源和位似中心,要作出像,还需要相似比。为此可以像 mathe 说的那样作出大三角形的源,从大三角形的源和像(已知)得到相似比。
但我们不这样做,这样作的图可想而知比较“脏”。我们在大三角形的三个角内各选一个源同时投射,以对应投射线(下图中的虚线)的交点来确定共同的像点。
初步作图.PNG
当然,我们只需要在两个角内同时投射就行了,但我们相信对称有利于优化。

2、优化作图

3#@Isr314指出三个红色顶点所在的投射线相交于一点(黄色点),那么我们就可以选择让三个红色顶点重合在这个交点,并使得三个源三角形的相平行的彩色边接合共线,利于减少作图元素。
结果我们惊喜地发现剩下的三条黑色边端点相重合,正好构成大三角形内切圆切点三角形,即七#的图。这就让我们得到8#和10#的美妙作图,就在上页,不转于此地了。

古人论诗词之美,曰“无一字无来处”,论书法之美曰“无一笔无来处”,并不是不要创新,而是重在“有宗有趣”、“以故为新”、“点铁成金”。
吾今论几何作图之美,夸张言之,亦当“无一点无来处”。此处“点”为作图基本元素之代名词,亦包括直线和圆等。所谓有“来处”,就是要跟那些经典的、常见的元素有较直接的关联,而不是千转百回的关联。
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 楼主| 发表于 2019-1-6 11:37:50 | 显示全部楼层

三、作图的证明

美妙的证明.PNG
我们要证明的是图中的三个天青色三角形是恰当的源,相应的位似中心在大三角形DEF的顶点。
这等价于:1、三条共点于 J 的红色线段分别平行于大三角形的切点三角形 PQR 的三边,并且
                2、大三角形三个角内的绿色内切圆分别是三个源三角形的旁切圆,并且
                3、三个绿色圆的圆心为大三角形的角平分线与大三角形内切圆的交点,并且
                4、三条红色的外公切线为切点三角形PQR与圆心三角形XYZ的公共六边形的三条大对角线。
证明:由于 X, Y, Z 分属三条角平分线,所以分别平分内切圆PQR的三段圆弧,故连线PX、QY、RZ为三角形PQR的角平分线,相交于三角形PQR的内心 J。
由圆的弦切角等于圆周角可知 YP 是角EPR的平分线,故 Y 是三角形EPR的内心。同理,X 是 三角形 DQR 的内心,Z 是三角形 FPQ 的内心。
由三角形全等的“ASA”判定定理可知`\triangle YPZ ≌\triangle YJZ`, 可知 J 与 P 关于 YZ 成镜像对称。同理可知 J 与 Q、R 关于 ZX、XY 成镜像对称。
现在,过 J 作切点三角形PQR三边的平行线,即图中三条红色线段,
显然倚角的平行四边形比如GPHJ为菱形,故G、H在P,J的镜像线——连心线YZ上,圆Y为所切源三角形的旁切圆。
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