请确定原来的灰色三角形

hujunhua

给美妙的作法找到一个美妙的证明了。可以给这个问题写一个结了。拟分四个部分来写：

一、问题的提出
      问题的发端及约束分析
二、美妙的作图
      包括作图及一个简单粗糙的审美准则：无一点无来处。
三、美妙的证明
      证明的美妙也要符合相同的审美准则
四、相关的命题

hujunhua

一、问题的提出

      最近论坛上在热烈讨论的“三角形内三个四边形的内切圆 ，感觉其中的约束有点散，受其启发，便研究了下述构图：

要求在三角形中作三条直线，将三角形剖分成七个部分，使其中的三个五边形都有内切圆。
作出圆后一看，这三个圆不就是中心那个小三角形的旁切圆么，于是问题变成了主帖那样的描述。
稍加研究不难发现，七个部分中，四个小三角形是全等的，外围的三个三角形是中间三角形的镜像，镜像线即三圆的两两连心线。
由此可得推论：三条直线被大三角形所截的线段是等长的，正好是小三角形的全周长。
因此问题也可以这样的等价方式提出：在三角形中作如图所示的三条线段，要求它们等长，并且所得四个小三角形全等。

      关于解的存在性，约束与自由度，最早是引用二次曲线来定量计算的。每个五边形都有一个内切椭圆，要求这个椭圆是圆，可得两个约束方程。三个圆共得六个约束。
三条直线刚好六个自由度，所以仅有有限的解，不存在连续轨迹解，更不存在平面区域解。
      随后，mathe指出了位似作图法，虽然不是一个唯美的作图，但这确定了解的唯一性。

hujunhua

1、初步作图
作图思想主要还是mathe指出的位似作图法。显然，源的选择对于作图的简明和优美比较重要，不能像mathe的存在性陈述所说的任意选取。
选择大三角形的内切圆切点三角形为源显然不利，作图范围太大，但这个切点圆要作出来，作为源三角形各边的平行方向参照。
如图，选择大三角形的某个顶点为位似中心比较有利，源就在大三角形的该角内，该角的任一内切圆都可作该角内的那个旁切圆(视为像）的源，切于此圆不难作出源三角形。

有了源和位似中心，要作出像，还需要相似比。为此可以像 mathe 说的那样作出大三角形的源，从大三角形的源和像（已知）得到相似比。
但我们不这样做，这样作的图可想而知比较“脏”。我们在大三角形的三个角内各选一个源同时投射，以对应投射线（下图中的虚线）的交点来确定共同的像点。

当然，我们只需要在两个角内同时投射就行了，但我们相信对称有利于优化。

2、优化作图

3#@Isr314指出三个红色顶点所在的投射线相交于一点（黄色点），那么我们就可以选择让三个红色顶点重合在这个交点，并使得三个源三角形的相平行的彩色边接合共线，利于减少作图元素。
结果我们惊喜地发现剩下的三条黑色边端点相重合，正好构成大三角形内切圆切点三角形，即七#的图。这就让我们得到8#和10#的美妙作图，就在上页，不转于此地了。

古人论诗词之美，曰“无一字无来处”，论书法之美曰“无一笔无来处”，并不是不要创新，而是重在“有宗有趣”、“以故为新”、“点铁成金”。
吾今论几何作图之美，夸张言之，亦当“无一点无来处”。此处“点”为作图基本元素之代名词，亦包括直线和圆等。所谓有“来处”，就是要跟那些经典的、常见的元素有较直接的关联，而不是千转百回的关联。

hujunhua

我们要证明的是图中的三个天青色三角形是恰当的源，相应的位似中心在大三角形DEF的顶点。
这等价于：1、三条共点于 J 的红色线段分别平行于大三角形的切点三角形 PQR 的三边，并且
                2、大三角形三个角内的绿色内切圆分别是三个源三角形的旁切圆，并且
                3、三个绿色圆的圆心为大三角形的角平分线与大三角形内切圆的交点，并且
                4、三条红色的外公切线为切点三角形PQR与圆心三角形XYZ的公共六边形的三条大对角线。
证明：由于 X, Y, Z 分属三条角平分线，所以分别平分内切圆PQR的三段圆弧，故连线PX、QY、RZ为三角形PQR的角平分线，相交于三角形PQR的内心 J。
由圆的弦切角等于圆周角可知 YP 是角EPR的平分线，故 Y 是三角形EPR的内心。同理，X 是 三角形 DQR 的内心，Z 是三角形 FPQ 的内心。
由三角形全等的“ASA”判定定理可知`\triangle YPZ ≌\triangle YJZ`, 可知 J 与 P 关于 YZ 成镜像对称。同理可知 J 与 Q、R 关于 ZX、XY 成镜像对称。
现在，过 J 作切点三角形PQR三边的平行线，即图中三条红色线段，
显然倚角的平行四边形比如GPHJ为菱形，故G、H在P，J的镜像线——连心线YZ上，圆Y为所切源三角形的旁切圆。

hujunhua

2#指出大小三角形对应顶点的连线共点，即如13#图中所示的黄色中心点。
按迪萨格定理，它们对应边的交点共线。我们重新绘图如下：
将△ABC沿它的各外角平分线反射出去，在外围得到 3 个对顶三角形，可视作六边形`A_1A_2B_1B_2C_1C_2`.
上面萨格定理所述大、小三角形（大三角形DEF在本图中未画出）对应边交点共线，等价于六边形`A_1A_2B_1B_2C_1C_2` 的对边交点共线，则按帕斯卡六边形定理（的逆定理），六边形`A_1A_2B_1B_2C_1C_2`有一条外接二次曲线，即下图中的红色椭圆。

一个简单过程的逆往往很难，导致艰深的数学问题，我们这里也出现一个这样的小例。
就是，如果我们先有这个椭圆，如何找出它的三条等长弦`A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2`, 相交成这样的四个全等三角形。

关于这个问题，我给它另起了一贴，如果感兴趣的话，请到新主题下回复讨论。

iseemu2009

灰色三角形不止一个吧，有无穷多个。大三角形不变的情况下，任意改变一下某个圆的半径，作三个圆的公切线，总可以得到新的灰色三角形。