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[提问] 三角形内三个四边形的内切圆

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发表于 2018-11-29 20:38:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,给定三角形ABC,点P在三角形内部,PD、PE、PF将三角形划分为三个有内切圆的四边形(PD、PE、PF两两不共线),求P的轨迹。
1.jpg


毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-11-30 10:39:52 | 显示全部楼层
不知道用这个结论是否有用:凸四边形有内切圆的充要条件是对边长度之和相等。

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对凹四边形也成立。  发表于 2018-12-2 23:38
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发表于 2018-11-30 16:04:59 | 显示全部楼层
hejoseph 发表于 2018-11-30 10:39
不知道用这个结论是否有用:凸四边形有内切圆的充要条件是对边长度之和相等。


当然有用。由此可得P是三条双曲线\[PD-PE=CD-CE\\PE-PF=AE-AF\\PF-PD=BF-BD\]的交点。将以上3式相加得
\[(AF+BD+CE)-(BF+CD+AE)=0\]又\[(AF+BD+CE)+(BF+CD+AE) =a+b+c=:2p\]所以\[AF+BD+CE=BF+CD+AE=p\]这是三条双曲线共点的必要条件。
        设`BD=x,CE=y,AF=z`, 则`(D,E,F)`对应于三维坐标系o-xyz中平面区域\[x+y+z= p\\(0\le x\le a,0\le y\le a,0\le z\le c)\]上的点`(x,y,z)`。这个区域且记为 `\Omega`。
由于三条双曲线的交点最多为两点,这就确定了对应关系\[(D,E,F)\to(x,y,z)\to P\]除了前述必要条件,三条双曲线交点的存在性中仅受一些不等式型判别式的约束,所以`P`点的的轨迹是平面区域 ` \Omega`的一个映射,故也是一个平面区域,而不是一条平面曲线。

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发表于 2018-11-30 19:10:30 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2018-11-30 20:51:49 | 显示全部楼层
P的分布区域画出来大概是这样的,那么是否总存在一个点P,使得三个内切圆半径相等?这个半径等于多少?
理论上P的坐标有两个变量,刚好是两个二元方程的解,所以P是存在的,而且个数是有限的,但不知是否唯一。

2.jpg
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发表于 2018-11-30 21:24:42 | 显示全部楼层
把点p的分布区域边界曲线找出来是个有趣的问题
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发表于 2018-12-3 00:14:27 | 显示全部楼层
不是满足`AF+BD+CE=AE+BF+CD=p`的`(D,E,F)`都有对应的`P`存在。
3#定义的双曲线其实都是“单”曲线,即完整双曲线的一支。
`PD-PE=CD-CE`是双曲线`|PD-PE|=|CD-CE|`的过三角形顶点`C`的一支。
`PE-PF=AE-AF`是双曲线`|PE-PF|=|AE-AF|`的过三角形顶点`A`的一支。
`PF-PD=BF-BD`是双曲线`|PF-PD|=|BF-BD|`的过三角形顶点`B`的一支。
虽然三条双曲线必共两点,但必须其中至少有一点是以上三支所共,`P`点才存在。
以边长为`3,4,5`的三角形作图显示,至少有一点是其它三支的公共点。
所以对于给定的`(D,E,F)`, `P`点若存在,貌似唯一。
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发表于 2018-12-3 15:39:38 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2018-12-3 00:14
不是满足`AF+BD+CE=AE+BF+CD=p`的`(D,E,F)`都有对应的`P`存在。
3#定义的双曲线其实都是“单”曲线,即完 ...

4定点确定的6个长度有一个关系式的,根据这个关系式和其中两个对边长度和相等的条件,解方程组就可以确定所有长度了,然后点P就确定了
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发表于 2018-12-3 20:36:45 | 显示全部楼层
对于给定P点,我们可以试着判断一下是否可以唯一确定D,E,F的位置。
由于F,E在以P,A为焦点的双曲线一个分支上;AB为从焦点A发出的一条射线。从几何意义上容易看出,从焦点发出的射线和双曲线任意一个分支最多只有一个交点。
这个说明了F点在射线AB上的位置和|AF|-|FP|是单调关系。这个说明关系|AF|-|FP|=|AE|-|EP|将线段AC上的部分点单调映射到AB上部分点,其中A映射到A,而C映射到AB上一个点或AC上某个点映射到B.
而决定因素是判断|AC|-|CP|和|AB|-|BP|到底哪个更大。
同样以B,P为焦点判断可以将BA的一部分映射到BC的一部分,而以C,P为焦点可以将CB的一部分映射到CA的一部分。
如果我们把这种映射关系走一圈,即先利用A,P为焦点将AC的部分映射到AB的部分,然后再利用B,P为焦点把AB上这部分继续映射到BC,最后利用C,P为焦点的关系把余下BC这部分继续映射到AC的部分,这部分如果和开始AC的部分相交,那么就表示可以找到唯一确定的D,E,F(只要把上面映射过程一直继续下去就应该会收敛);而如果不相交,就无解。
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发表于 2018-12-4 01:58:19 | 显示全部楼层
以边长3,4,5的三角形为例计算的P的区域边界。下面左图是M10计算的,右图是用几何画板画的。
将三角形划分为3个 有内切圆的四边形.PNG 将三角形划分为3个 有内切圆的四边形().png
边界是一个曲边三角形ABC,每条曲边是一条双曲线的一支的一部分。
三条曲边彼此相切(因此曲边三角形的三个内角都是零),并与三角形的角平分线相切于顶点。
三角形的一边是其焦点弦,边上的焦点是边与内切圆的切点,另一焦点是第3个顶点。
这显然符合双曲线的光学性质。

使 3 个四边形皆凸的边界却很复杂。

点评

嗯,我明白了,多谢  发表于 2018-12-17 20:59
AC-CD=AC-CE=AE, AB-BD=AB-BF=AF=AE  发表于 2018-12-16 02:25
若BC边上的(内切圆切点)焦点为D,另一焦点为顶点A,按双曲线定义有AC-CD=AB-BD,但是AC-CD=b-ba/(a+b),AB-BD=c-ca/(a+b),两者差值并不相等啊?  发表于 2018-12-15 11:09

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