三角形内三个四边形的内切圆

lsr314

如图，给定三角形ABC，点P在三角形内部，PD、PE、PF将三角形划分为三个有内切圆的四边形（PD、PE、PF两两不共线），求P的轨迹。

hejoseph

不知道用这个结论是否有用：凸四边形有内切圆的充要条件是对边长度之和相等。

hujunhua

hejoseph 发表于 2018-11-30 10:39
不知道用这个结论是否有用：凸四边形有内切圆的充要条件是对边长度之和相等。

当然有用。由此可得P是三条双曲线\[PD-PE=CD-CE\\PE-PF=AE-AF\\PF-PD=BF-BD\]的交点。将以上3式相加得
\[(AF+BD+CE)-(BF+CD+AE)=0\]又\[(AF+BD+CE)+(BF+CD+AE) =a+b+c=:2p\]所以\[AF+BD+CE=BF+CD+AE=p\]这是三条双曲线共点的必要条件。
        设`BD=x,CE=y,AF=z`, 则`(D,E,F)`对应于三维坐标系o-xyz中平面区域\[x+y+z= p\\(0\le x\le a,0\le y\le a,0\le z\le c)\]上的点`(x,y,z)`。这个区域且记为 `\Omega`。
由于三条双曲线的交点最多为两点，这就确定了对应关系\[(D,E,F)\to(x,y,z)\to P\]除了前述必要条件，三条双曲线交点的存在性中仅受一些不等式型判别式的约束，所以`P`点的的轨迹是平面区域 ` \Omega`的一个映射，故也是一个平面区域，而不是一条平面曲线。

数学星空

可以参考https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 90&fromuid=1455

lsr314

P的分布区域画出来大概是这样的，那么是否总存在一个点P，使得三个内切圆半径相等？这个半径等于多少？
理论上P的坐标有两个变量，刚好是两个二元方程的解，所以P是存在的，而且个数是有限的，但不知是否唯一。

数学星空

把点p的分布区域边界曲线找出来是个有趣的问题

hujunhua

不是满足`AF+BD+CE=AE+BF+CD=p`的`(D,E,F)`都有对应的`P`存在。
3#定义的双曲线其实都是“单”曲线，即完整双曲线的一支。
`PD-PE=CD-CE`是双曲线`|PD-PE|=|CD-CE|`的过三角形顶点`C`的一支。
`PE-PF=AE-AF`是双曲线`|PE-PF|=|AE-AF|`的过三角形顶点`A`的一支。
`PF-PD=BF-BD`是双曲线`|PF-PD|=|BF-BD|`的过三角形顶点`B`的一支。
虽然三条双曲线必共两点，但必须其中至少有一点是以上三支所共，`P`点才存在。
以边长为`3,4,5`的三角形作图显示，至少有一点是其它三支的公共点。
所以对于给定的`(D,E,F)`, `P`点若存在，貌似唯一。

hejoseph

hujunhua 发表于 2018-12-3 00:14
不是满足`AF+BD+CE=AE+BF+CD=p`的`(D,E,F)`都有对应的`P`存在。
3#定义的双曲线其实都是“单”曲线，即完 ...

4定点确定的6个长度有一个关系式的，根据这个关系式和其中两个对边长度和相等的条件，解方程组就可以确定所有长度了，然后点P就确定了

mathe

对于给定P点，我们可以试着判断一下是否可以唯一确定D,E,F的位置。
由于F,E在以P,A为焦点的双曲线一个分支上;AB为从焦点A发出的一条射线。从几何意义上容易看出，从焦点发出的射线和双曲线任意一个分支最多只有一个交点。
这个说明了F点在射线AB上的位置和|AF|-|FP|是单调关系。这个说明关系|AF|-|FP|=|AE|-|EP|将线段AC上的部分点单调映射到AB上部分点，其中A映射到A,而C映射到AB上一个点或AC上某个点映射到B.
而决定因素是判断|AC|-|CP|和|AB|-|BP|到底哪个更大。
同样以B,P为焦点判断可以将BA的一部分映射到BC的一部分，而以C,P为焦点可以将CB的一部分映射到CA的一部分。
如果我们把这种映射关系走一圈，即先利用A,P为焦点将AC的部分映射到AB的部分，然后再利用B,P为焦点把AB上这部分继续映射到BC,最后利用C,P为焦点的关系把余下BC这部分继续映射到AC的部分，这部分如果和开始AC的部分相交，那么就表示可以找到唯一确定的D,E,F(只要把上面映射过程一直继续下去就应该会收敛）；而如果不相交，就无解。

hujunhua

以边长3，4，5的三角形为例计算的P的区域边界。下面左图是M10计算的，右图是用几何画板画的。

边界是一个曲边三角形ABC，每条曲边是一条双曲线的一支的一部分。
三条曲边彼此相切（因此曲边三角形的三个内角都是零），并与三角形的角平分线相切于顶点。
三角形的一边是其焦点弦，边上的焦点是边与内切圆的切点，另一焦点是第3个顶点。
这显然符合双曲线的光学性质。

使 3 个四边形皆凸的边界却很复杂。