三角形内三个四边形的内切圆

hujunhua

P在角A的平分线上时，D必为内切圆与对边的切点。于是容易作图。上图一凹两凸。

hujunhua

P位于凹凸临界线上，EPF共线。这个位置还不清楚几何特征，没找到确定作法。

hujunhua

P下行到三凸区。

hujunhua

P处于下临界线，DPE共线。这个位置还不清楚几何特征，没找到确定作法。

hujunhua

P下行出下临界线，一凹两凸。

lsr314

hujunhua 发表于 2018-12-4 17:40
P下行出下临界线，一凹两凸。

当有一个四边形退化为三角形时，随便画一条线L，将三角形分成一个四边形和一个小三角形，然后在四边形内做两个圆和三角形两边以及划出的那条线L相切，只要这两个圆不想交，作它们的内公切线和L的交点，就可以作为点P，这时小三角形的内切圆是一定存在的。如果这种极限情况可以对推导最后的结论有帮助，倒也可以尝试。
当有一个四边形是凹的时，图片中的内切圆不是与四边相切，而是有一个顶点在圆上，这种情况就不在题目最开始的考虑范围了。

hujunhua

当P在DEF中的两点连线上时，退化为三角形的四边形的内切圆必须与那条合成边相切于P，见12#和14#，这样严格外推的退化图不是随便可得，对应的P点轨迹为平面曲线（即凹凸临界线），不是一个区域。
遗憾的是，计算发现三条临界线很复杂，可能至少是6次曲线。

hujunhua

P在边界上，比如在曲边BC上时，D必位于内切圆与直边BC的切点，E、F则与A重合，一个四边形退化成两条重合线段，内切圆退化为点A。
即对应的 (D, E, F)是不动的。

左凹右凸

hujunhua

APD共线，两个四边形都退化成三角形角。内切圆在公共边相切于Ｐ。这里应该是凹凸临界线的一个端点。

hujunhua

左凸右凹

以上三图。都存在以下性质：两四边形的内心连线与曲边BC相切。