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楼主: lsr314

[提问] 三角形内三个四边形的内切圆

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发表于 2018-12-4 17:31:18 | 显示全部楼层

P 位于角平分线上的作图

P在角平分线上1.png
P在角A的平分线上时,D必为内切圆与对边的切点。于是容易作图。上图一凹两凸。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-12-4 17:33:31 | 显示全部楼层

P位于角平分线上的作图

P在角平分线上2.png
P位于凹凸临界线上,EPF共线。这个位置还不清楚几何特征,没找到确定作法。
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发表于 2018-12-4 17:35:03 | 显示全部楼层

P在角平分线上的作图

P在角平分线上5.png
P下行到三凸区。
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发表于 2018-12-4 17:39:02 | 显示全部楼层

P在角平分线上时的作图

P在角平分线上3.png
P处于下临界线,DPE共线。这个位置还不清楚几何特征,没找到确定作法。
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发表于 2018-12-4 17:40:57 | 显示全部楼层

P在角平分线上时的作图

P在角平分线上4.png
P下行出下临界线,一凹两凸。
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 楼主| 发表于 2018-12-4 19:19:35 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2018-12-4 17:40
P下行出下临界线,一凹两凸。


当有一个四边形退化为三角形时,随便画一条线L,将三角形分成一个四边形和一个小三角形,然后在四边形内做两个圆和三角形两边以及划出的那条线L相切,只要这两个圆不想交,作它们的内公切线和L的交点,就可以作为点P,这时小三角形的内切圆是一定存在的。如果这种极限情况可以对推导最后的结论有帮助,倒也可以尝试。
当有一个四边形是凹的时,图片中的内切圆不是与四边相切,而是有一个顶点在圆上,这种情况就不在题目最开始的考虑范围了。

点评

11#分得比较开,不易看错。  发表于 2018-12-4 21:51
恩,看错了  发表于 2018-12-4 21:20
当有一个四边形是凹的时,图片中的内切圆不是与四边相切,而是有一个顶点在圆上,这种情况就不在题目最开始的考虑范围了. ---------------------------- 是推广到和延长线相切而不是过顶点  发表于 2018-12-4 19:41
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发表于 2018-12-4 21:48:52 | 显示全部楼层
当P在DEF中的两点连线上时,退化为三角形的四边形的内切圆必须与那条合成边相切于P,见12#和14#,这样严格外推的退化图不是随便可得,对应的P点轨迹为平面曲线(即凹凸临界线),不是一个区域。
遗憾的是,计算发现三条临界线很复杂,可能至少是6次曲线。
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发表于 2018-12-4 22:49:37 | 显示全部楼层

P在边界上

P在边界上,比如在曲边BC上时,D必位于内切圆与直边BC的切点,E、F则与A重合,一个四边形退化成两条重合线段,内切圆退化为点A。
即对应的 (D, E, F)是不动的。
P 在边界上.png
左凹右凸
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发表于 2018-12-4 22:56:58 | 显示全部楼层

P在边界上

P 在边界上1.png
APD共线,两个四边形都退化成三角形角。内切圆在公共边相切于P。这里应该是凹凸临界线的一个端点。
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发表于 2018-12-4 23:03:32 | 显示全部楼层

P在边界上

P 在边界上2.png
左凸右凹

以上三图。都存在以下性质:两四边形的内心连线与曲边BC相切。
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