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[提问] 在x^2+y^2+z^2=1的条件下,如何求得f=x^3+y^3+z^3-3*x*y*z的最值分布情况?

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发表于 2019-1-9 14:07:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
在 \(x^2+y^2+z^2=1\) 的条件下,如何求得 \(f=x^3+y^3+z^3-3xyz\) 的最值分布情况?
哪些情况下可以求得最大值,最大值是哪些点?
哪些情况下可以求得最小值,最小值是哪些点?

注意:是所有的最大值点,也就是哪些情况下取最大值,哪些情况下取最小值

\[
\left(
\begin{array}{ccccc}
-1 & -1 & 0 & 0 & \frac{3}{2} \\
1 & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{3}{2} \\
-1 & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3} & \frac{3}{2} \\
-1 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{3}{2} \\
-1 & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{3}{2} \\
1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{3}{2} \\
1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3}+\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{3}-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{3}{2} \\
1 & 1 & 0 & 0 & -\frac{3}{2} \\
0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
-1 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{6} \left(-3^{3/4} \sqrt{2}+\sqrt{3}-3\right) & \frac{1}{6} \left(3^{3/4} \sqrt{2}+\sqrt{3}-3\right) & \frac{3}{2} \\
-1 & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{6} \left(3^{3/4} \sqrt{2}+\sqrt{3}-3\right) & \frac{1}{6} \left(-3^{3/4} \sqrt{2}+\sqrt{3}-3\right) & \frac{3}{2} \\
0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
1 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{6} \left(-3^{3/4} \sqrt{2}-\sqrt{3}+3\right) & \sqrt{\frac{1}{3} \left(\sqrt{2 \sqrt{3}-3}+1\right)} & -\frac{3}{2} \\
1 & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{6} \left(3^{3/4} \sqrt{2}-\sqrt{3}+3\right) & \frac{1}{6} \left(-3^{3/4} \sqrt{2}-\sqrt{3}+3\right) & -\frac{3}{2} \\
\end{array}
\right)
\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-9 14:59:40 | 显示全部楼层
穷举法万岁!数值解万岁!

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-9 15:19:41 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2019-1-9 14:59
穷举法万岁!数值解万岁!


$x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)^3-3 (x+y+z) (x y+x z+y z)$
看你怎么秒破?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-9 15:28:28 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-1-9 15:19
$x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)^3-3 (x+y+z) (x y+x z+y z)$
看你怎么秒破?
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f=x^3+y^3+z^3-3*x*y*z+a*(x^2+y^2+z^2-1)
  3. fx=D[f,x]
  4. fy=D[f,y]
  5. fz=D[f,z]
  6. fa=D[f,a]
  7. out=NSolve[{fx==0,fy==0,fz==0,fa==0},{x,y,z,a}]
  8. f/.out
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mathematica对这个问题无能为力
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-9 15:41:32 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-1-9 15:28
mathematica对这个问题无能为力

  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. f1=ContourPlot3D[x^3+y^3+z^3-3*x*y*z==1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1}]
  3. f2=ContourPlot3D[x^2+y^2+z^2==1,{x,-1,1},{y,-1,1},{z,-1,1},Mesh->Mone]
  4. Show[f1,f2]
复制代码

此处是把两个都画出来,谁能把共同部分画出来?
可以使用软件求出最大值是1
谁能把共同部分画出来?

QQ截图20190109154026.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-9 15:47:03 | 显示全部楼层
  1. {x^2+y^2+z^2,x^3+y^3+z^3-3 x y z}//SymmetricReduction[#,{x,y,z},{a,b,c}][[1]]&/@#&//#[[2]]/.Solve[#[[1]]==1][[1]]&//Simplify//(Print[{#,#/.{a->x+y+z}}];Plot[#,{a,-3,3}])&
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Mathematica当VB写的mathematica当然对这个问题无能为力,因为不懂三次多项式根本就没有最大值最小值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-1-9 15:57:06 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-1-9 15:41
此处是把两个都画出来,谁能把共同部分画出来?
可以使用软件求出最大值是1
谁能把共同部分画出来 ...

  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. Solve[{x^3+y^3+z^3-3*x*y*z==1,x^2+y^2+z^2==1},{x,y}]//FullSimplify//MatrixForm
复制代码

看结果像是圆的方程
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-z-\sqrt{-z (3 z+4)-2}-2\right),y\to \frac{1}{2} \left(-z+\sqrt{-z (3 z+4)-2}-2\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-z+\sqrt{-z (3 z+4)-2}-2\right),y\to \frac{1}{2} \left(-z-\sqrt{-z (3 z+4)-2}-2\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-z-\sqrt{z (2-3 z)+1}+1\right),y\to \frac{1}{2} \left(-z+\sqrt{z (2-3 z)+1}+1\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{2} \left(-z+\sqrt{z (2-3 z)+1}+1\right),y\to \frac{1}{2} \left(-z-\sqrt{z (2-3 z)+1}+1\right)\right\}\right\}\]

点评

其实从这个结果,可以知道x+y=1-z,也就是x+y+z=1  发表于 2019-1-10 10:54
前两个结果是虚数,后面的结果z取值是-1/3到1  发表于 2019-1-9 15:58
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 楼主| 发表于 2019-1-9 16:01:26 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2019-1-9 15:47
把Mathematica当VB写的mathematica当然对这个问题无能为力,因为不懂三次多项式根本就没有最大值最小值。

谁告诉你这个问题没最大值最小值的?
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 楼主| 发表于 2019-1-9 16:34:03 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. out=FullSimplify@Solve[{x^3+y^3+z^3-3*x*y*z==1,x^2+y^2+z^2==1},{x,y}]
  3. f1=ParametricPlot[{x,y}/.out[[3]],{z,-1/3,1}]
  4. f2=ParametricPlot[{x,y}/.out[[4]],{z,-1/3,1}]
  5. Show[f1,f2,PlotRange->{{-1,1},{-1,1}}]
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由这个绘图结果,可以知道在xy平面上的投影是一个椭圆,
那么如何得到这个椭圆的方程呢?
QQ截图20190109163246.png

点评

一个三维的,在三个面的投影都是椭圆,那么这个三维的很可能是圆,再加上是与球面的交线构成的,那就是很可能是平面与球面的交面构成的  发表于 2019-1-10 10:56
-x + x^2 - y + x y + y^2=0似乎是这个方程  发表于 2019-1-9 16:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-1-9 17:32:38 | 显示全部楼层
以下参数解已经满足条件\(x^2+y^2+z^2=1\),f可以取任意大!
\(\left\{y\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{\frac{2 \left(\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{4/3}+1}{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2}+\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right),z\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\frac{2 \left(\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{4/3}+1}{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2}+\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right)\right\},\left\{y\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\frac{2 \left(\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{4/3}+1}{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2}+\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right),z\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{\frac{2 \left(\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{4/3}+1}{\left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2}+\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right)\right\},\left\{y\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{\frac{\left(-\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{\left(\sqrt{3}+i\right) i}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right),z\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\frac{\left(-\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{\left(\sqrt{3}+i\right) i}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right)\right\},\left\{y\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\frac{\left(-\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{\left(\sqrt{3}+i\right) i}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right),z\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{\frac{\left(-\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1+i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}-\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}+\frac{\left(\sqrt{3}+i\right) i}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right)\right\},\left\{y\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{\frac{\left(\left(\sqrt{3}+i\right) i \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{3}+i\right) i \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}-\frac{1+i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right),z\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\frac{\left(\left(\sqrt{3}+i\right) i \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{3}+i\right) i \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}-\frac{1+i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right)\right\},\left\{y\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{\frac{\left(\left(\sqrt{3}+i\right) i \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{3}+i\right) i \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}-\frac{1+i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right),z\to \frac{1}{2} \left(-\sqrt{\frac{\left(\left(\sqrt{3}+i\right) i \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}-i \sqrt{3}-1\right) x}{\sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-\frac{\left(\left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}+\sqrt{3} i+1\right)^2}{4 \left(\sqrt{f^2-1}-f\right)^{2/3}}-3 x^2+2}+\frac{1}{2} \left(\sqrt{3}+i\right) i \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}-\frac{1+i \sqrt{3}}{2 \sqrt[3]{\sqrt{f^2-1}-f}}-x\right)\right\}\)
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