在x^2+y^2+z^2=1的条件下，如何求得f=x^3+y^3+z^3-3*x*y*z的最值分布情况？

mathe

首先如果一个数为0得出最大值为1，而三个数都相等情况结果为0.
而一般情况对x求导有
3x^2-3yz=2rx
两边同时乘上x得
3x^3-3xyz-2rx^2=0
所以x,y,z是三次方程
X^3-2r/3X^2-xyz=0的根
于是可有xy+yz+zx=0目标函数取值1或-1.
所以最大值为1，在x+y+z=1时取到

mathe

知道结果后就容易多了
$x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)^3-3 (x+y+z) (x y+x z+y z)=(x+y+z)^3-3(x+y+z)((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))/2=-1/2 (x+y+z)^3+3/2(x+y+z)$
这是一个关于$x+y+z$的三次函数，而$-sqrt(3)<=x+y+z<=sqrt(3)$

mathematica

mathe 发表于 2019-1-9 18:10
知道结果后就容易多了
$x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)^3-3 (x+y+z) (x y+x z+y z)=(x+y+z)^3-3(x+y+z)((x+y ...

把x^3+y^3+z^3-3*x*y*z=1这个曲面，如果把Z轴建立在(1,1,1)这个方向上，
那么这个曲线的表达式又是什么样子呢？

mathe

这个不难，比如我们选择X=x+y+z,Y=x-y, Z=x+y-2z (三个方向正交，但是长度做了伸缩，自己可以再调整回来，但是表达式会比较难看），得出
$4X^3 - 12X^2 + (18Y^2 + 6Z^2 - 12Z + 12)X + (9Z + 27)Y^2 -Z^3 - 3Z^2 - 12Z=36$

mathematica

mathe 发表于 2019-1-10 21:38
这个不难，比如我们选择X=x+y+z,Y=x-y, Z=x+y-2z (三个方向正交，但是长度做了伸缩，自己可以再调整回来， ...

这题在旋转坐标系后就变成
在\(a^2+b^2+c^2=1\)的条件下，求
\(\frac{3}{2} \sqrt{3} c \left(a^2+b^2\right)\)
的最大值最小值，
问题一下子弱爆了！！！！！！！！！

如何旋转参见
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 072&fromuid=865

mathematica

mathe 发表于 2019-1-10 21:38
这个不难，比如我们选择X=x+y+z,Y=x-y, Z=x+y-2z (三个方向正交，但是长度做了伸缩，自己可以再调整回来， ...

了解了这个曲面的性质，
x^3+y^3+z^3-3*x*y*z是绕着(1,1,1)这个向量旋转的，
约数条件x^2+y^2+z^2也是绕着(1,1,1)这个向量旋转的，
那么取最值的条件肯定也是绕着这个向量旋转的，那只可能是圆了，
与球面相交为圆的只可能是一个平面

.·.·.

mathe 发表于 2019-1-9 17:45
首先如果一个数为0得出最大值为1，而三个数都相等情况结果为0.
而一般情况对x求导有
3x^2-3yz=2rx

脑子抽筋了……
假装没说这段话












其实，如果用复数，这道题会好看很多
如果用
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x+\omega y+\omega^2z)(x+\omega^2 y+\omega z)$
$(\omega^3=1)$
直接得到$|x^3+y^3+z^3-3xyz|=|(x+y+z)(x+\omega y+\omega^2z)(x+\omega^2 y+\omega z)|$
而$|(x+y+z)(x+\omega y+\omega^2z)(x+\omega^2 y+\omega z)|=|x+y+z||x+\omega y+\omega^2z||x+\omega^2 y+\omega z|$
外加$|x+\omega y+\omega^2z|\le|x|+|\omega y|+|\omega^2z|=|x|+|y|+|z|$
直接得到$|x^3+y^3+z^3-3xyz|\le(|x|+|y|+|z|)^3$
然后就没难度了