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楼主: mathematica

[提问] 在x^2+y^2+z^2=1的条件下,如何求得f=x^3+y^3+z^3-3*x*y*z的最值分布情况?

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发表于 2019-1-9 17:45:46 来自手机 | 显示全部楼层
首先如果一个数为0得出最大值为1,而三个数都相等情况结果为0.
而一般情况对x求导有
3x^2-3yz=2rx
两边同时乘上x得
3x^3-3xyz-2rx^2=0
所以x,y,z是三次方程
X^3-2r/3X^2-xyz=0的根
于是可有xy+yz+zx=0目标函数取值1或-1.
所以最大值为1,在x+y+z=1时取到
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-1-9 18:10:34 | 显示全部楼层
知道结果后就容易多了
$x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)^3-3 (x+y+z) (x y+x z+y z)=(x+y+z)^3-3(x+y+z)((x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2))/2=-1/2 (x+y+z)^3+3/2(x+y+z)$
这是一个关于$x+y+z$的三次函数,而$-sqrt(3)<=x+y+z<=sqrt(3)$
f3.png

点评

从七楼的计算结果也能知道x+y+z=1  发表于 2019-1-10 10:56
给你点个赞  发表于 2019-1-9 20:11
凑答案也是一种本事!  发表于 2019-1-9 20:11
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 楼主| 发表于 2019-1-10 10:58:32 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-1-9 18:10
知道结果后就容易多了
$x^3+y^3+z^3-3 x y z=(x+y+z)^3-3 (x+y+z) (x y+x z+y z)=(x+y+z)^3-3(x+y+z)((x+y ...

把x^3+y^3+z^3-3*x*y*z=1这个曲面,如果把Z轴建立在(1,1,1)这个方向上,
那么这个曲线的表达式又是什么样子呢?
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发表于 2019-1-10 21:38:54 | 显示全部楼层
这个不难,比如我们选择X=x+y+z,Y=x-y, Z=x+y-2z (三个方向正交,但是长度做了伸缩,自己可以再调整回来,但是表达式会比较难看),得出
$4X^3 - 12X^2 + (18Y^2 + 6Z^2 - 12Z + 12)X + (9Z + 27)Y^2 -Z^3 - 3Z^2 - 12Z=36$

点评

问题我自己已经解决了,没想到化简后的表达式那么简单!真的是惊呆了我  发表于 2019-1-11 13:48
确实很难看,至少xy应该对称的。  发表于 2019-1-11 12:56
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 楼主| 发表于 2019-1-11 14:04:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2019-1-11 14:06 编辑
mathe 发表于 2019-1-10 21:38
这个不难,比如我们选择X=x+y+z,Y=x-y, Z=x+y-2z (三个方向正交,但是长度做了伸缩,自己可以再调整回来, ...


这题在旋转坐标系后就变成
在\(a^2+b^2+c^2=1\)的条件下,求
\(\frac{3}{2} \sqrt{3} c \left(a^2+b^2\right)\)
的最大值最小值,
问题一下子弱爆了!!!!!!!!!

如何旋转参见
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 072&fromuid=865
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 楼主| 发表于 7 天前 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-1-10 21:38
这个不难,比如我们选择X=x+y+z,Y=x-y, Z=x+y-2z (三个方向正交,但是长度做了伸缩,自己可以再调整回来, ...

了解了这个曲面的性质,
x^3+y^3+z^3-3*x*y*z是绕着(1,1,1)这个向量旋转的,
约数条件x^2+y^2+z^2也是绕着(1,1,1)这个向量旋转的,
那么取最值的条件肯定也是绕着这个向量旋转的,那只可能是圆了,
与球面相交为圆的只可能是一个平面
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