如何把x^3+y^3+z^3-3*x*y*z=1这个曲面的Z轴建立在(1,1,1)这个方向上

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. f1=ContourPlot3D[x^3+y^3+z^3-3*x*y*z==1,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3},Mesh->None]
   

复制代码

这个曲面关于xyz是对称的，
对称轴是是直线x=y=z 向量是（1,1,1）
有没有办法把这个曲面的对称轴建立在z轴上，也就是把z轴建立在（1,1,1）这个向量上。
我觉得不难，就是不知道怎么搞

可以参考的函数RotationMatrix

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. (*z轴是0 0 1，对称轴是1 1 1，计算矢量积得到-1 1 0，得到旋转轴，计算旋转角度*)
   
3. (*沿着向量-1 1 0旋转ArcCos[1/3^0.5],点a、b、c旋转后就在了方程上*)
   
4. out=RotationMatrix[ArcCos[1/Sqrt[3]],{-1,1,0}].{a,b,c}
   
5. (*化简出来的点在方程上,逐项替换,c轴就是z轴*)
   
6. xyz=x^3+y^3+z^3-3*x*y*z/.Thread[{x,y,z}->out]
   
7. xyz=FullSimplify@xyz
   

复制代码

点(a,b,c)旋转后的点是\(\left\{\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}+3\right) a+\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}-3\right) b+\frac{c}{\sqrt{3}},\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}-3\right) a+\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}+3\right) b+\frac{c}{\sqrt{3}},-\frac{a}{\sqrt{3}}-\frac{b}{\sqrt{3}}+\frac{c}{\sqrt{3}}\right\}\)
这个点在曲线上，带入曲线，然后化简！
真是个漂亮的方程
最后结果是
\[\frac{3}{2} \sqrt{3} c \left(a^2+b^2\right)=1\]

可以画图验证！

1. ContourPlot3D[
   
2. 3/2 Sqrt[3] (a^2 + b^2) c == 1, {a, -3, 3}, {b, -3, 3}, {c, -3, 30},
   
3. Mesh -> None]

复制代码

没想到函数图形就是\(y=\frac{c}{\sqrt{x}}\)沿着x轴旋转而成的曲面，其中c是正的常数
一个看起来很复杂的曲面，居然旋转后变得那么简单！

.·.·.

mathematica 发表于 2019-1-11 13:36
点(a,b,c)旋转后的点是\(\left\{\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}+3\right) a+\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}-3 ...

$x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(ω_0^1x+ω_0^2y+ω_0^3z)(ω_1^1x+ω_1^2y+ω_1^3z)(ω_2^1x+ω_2^2y+ω_2^3z)$
这里$(ω_0,ω_1,ω_2)$是三次方程$x^3=1$的三个根
这大约就是为什么这玩意可以化简成这样子的原因吧

mathematica

.·.·. 发表于 2019-1-11 20:35
$x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(ω_0^1x+ω_0^2y+ω_0^3z)(ω_1^1x+ω_1^2y+ω_1^3z)(ω_2^1x+ω_2^2y+ω_2^3z)$ ...

你怎么知道这个关系的存在的
为什么二次根就没这种关系？

mathematica

.·.·. 发表于 2019-1-11 20:35
$x^3+y^3+z^3-3xyz$
$=(ω_0^1x+ω_0^2y+ω_0^3z)(ω_1^1x+ω_1^2y+ω_1^3z)(ω_2^1x+ω_2^2y+ω_2^3z)$ ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. ww=x/.Solve[x^4 == 1, x]
   
3. w1=ww[[1]]
   
4. w2=ww[[2]]
   
5. w3=ww[[3]]
   
6. w4=ww[[4]]
   
7. abcd=
   
8. (w1*a+w1^2*b+w1^3*c+w1^4*d)*
   
9. (w2*a+w2^2*b+w2^3*c+w2^4*d)*
   
10. (w3*a+w3^2*b+w3^3*c+w3^4*d)*
    
11. (w4*a+w4^2*b+w4^3*c+w4^4*d)
    
12. FullSimplify[abcd]
    

复制代码

\[-a^4+4 a^2 b d+2 a^2 c^2-4 a b^2 c-4 a c d^2+b^4-2 b^2 d^2+4 b c^2 d-c^4+d^4\]

mathematica

mathematica 发表于 2019-1-12 10:07
\[-a^4+4 a^2 b d+2 a^2 c^2-4 a b^2 c-4 a c d^2+b^4-2 b^2 d^2+4 b c^2 d-c^4+d^4\]

1. Clear["Global`*"];
   
2. ww=x/.Solve[x^5 == 1, x]
   
3. w1=ww[[1]]
   
4. w2=ww[[2]]
   
5. w3=ww[[3]]
   
6. w4=ww[[4]]
   
7. w5=ww[[5]]
   
8. abcd=
   
9. (w1*a+w1^2*b+w1^3*c+w1^4*d+w1^5*e)*
   
10. (w2*a+w2^2*b+w2^3*c+w2^4*d+w2^5*e)*
    
11. (w3*a+w3^2*b+w3^3*c+w3^4*d+w3^5*e)*
    
12. (w4*a+w4^2*b+w4^3*c+w4^4*d+w4^5*e)*
    
13. (w5*a+w5^2*b+w5^3*c+w5^4*d+w5^5*e)
    
14. Expand@FullSimplify[abcd]
    

复制代码

a^5-\sqrt[5]{-1} b a^4+(-1)^{2/5} b a^4-(-1)^{3/5} b a^4+(-1)^{4/5} b a^4+b a^4-\sqrt[5]{-1} c a^4+(-1)^{2/5} c a^4-(-1)^{3/5} c a^4+(-1)^{4/5} c a^4+c a^4-\sqrt[5]{-1} d a^4+(-1)^{2/5} d a^4-(-1)^{3/5} d a^4+(-1)^{4/5} d a^4+d a^4-\sqrt[5]{-1} e a^4+(-1)^{2/5} e a^4-(-1)^{3/5} e a^4+(-1)^{4/5} e a^4+e a^4-2 \sqrt[5]{-1} b^2 a^3+2 (-1)^{2/5} b^2 a^3-2 (-1)^{3/5} b^2 a^3+2 (-1)^{4/5} b^2 a^3+2 b^2 a^3-2 \sqrt[5]{-1} c^2 a^3+2 (-1)^{2/5} c^2 a^3-2 (-1)^{3/5} c^2 a^3+2 (-1)^{4/5} c^2 a^3+2 c^2 a^3-2 \sqrt[5]{-1} d^2 a^3+2 (-1)^{2/5} d^2 a^3-2 (-1)^{3/5} d^2 a^3+2 (-1)^{4/5} d^2 a^3+2 d^2 a^3-2 \sqrt[5]{-1} e^2 a^3+2 (-1)^{2/5} e^2 a^3-2 (-1)^{3/5} e^2 a^3+2 (-1)^{4/5} e^2 a^3+2 e^2 a^3-4 \sqrt[5]{-1} b c a^3+4 (-1)^{2/5} b c a^3-4 (-1)^{3/5} b c a^3+4 (-1)^{4/5} b c a^3+4 b c a^3-4 \sqrt[5]{-1} b d a^3+4 (-1)^{2/5} b d a^3-4 (-1)^{3/5} b d a^3+4 (-1)^{4/5} b d a^3+4 b d a^3-5 \sqrt[5]{-1} c d a^3+5 (-1)^{2/5} c d a^3-5 (-1)^{3/5} c d a^3+5 (-1)^{4/5} c d a^3-5 \sqrt[5]{-1} b e a^3+5 (-1)^{2/5} b e a^3-5 (-1)^{3/5} b e a^3+5 (-1)^{4/5} b e a^3-4 \sqrt[5]{-1} c e a^3+4 (-1)^{2/5} c e a^3-4 (-1)^{3/5} c e a^3+4 (-1)^{4/5} c e a^3+4 c e a^3-4 \sqrt[5]{-1} d e a^3+4 (-1)^{2/5} d e a^3-4 (-1)^{3/5} d e a^3+4 (-1)^{4/5} d e a^3+4 d e a^3-2 \sqrt[5]{-1} b^3 a^2+2 (-1)^{2/5} b^3 a^2-2 (-1)^{3/5} b^3 a^2+2 (-1)^{4/5} b^3 a^2+2 b^3 a^2-2 \sqrt[5]{-1} c^3 a^2+2 (-1)^{2/5} c^3 a^2-2 (-1)^{3/5} c^3 a^2+2 (-1)^{4/5} c^3 a^2+2 c^3 a^2-2 \sqrt[5]{-1} d^3 a^2+2 (-1)^{2/5} d^3 a^2-2 (-1)^{3/5} d^3 a^2+2 (-1)^{4/5} d^3 a^2+2 d^3 a^2-2 \sqrt[5]{-1} e^3 a^2+2 (-1)^{2/5} e^3 a^2-2 (-1)^{3/5} e^3 a^2+2 (-1)^{4/5} e^3 a^2+2 e^3 a^2-5 \sqrt[5]{-1} b c^2 a^2+5 (-1)^{2/5} b c^2 a^2-5 (-1)^{3/5} b c^2 a^2+5 (-1)^{4/5} b c^2 a^2+10 b c^2 a^2-6 \sqrt[5]{-1} b d^2 a^2+6 (-1)^{2/5} b d^2 a^2-6 (-1)^{3/5} b d^2 a^2+6 (-1)^{4/5} b d^2 a^2+6 b d^2 a^2-6 \sqrt[5]{-1} c d^2 a^2+6 (-1)^{2/5} c d^2 a^2-6 (-1)^{3/5} c d^2 a^2+6 (-1)^{4/5} c d^2 a^2+6 c d^2 a^2-6 \sqrt[5]{-1} b e^2 a^2+6 (-1)^{2/5} b e^2 a^2-6 (-1)^{3/5} b e^2 a^2+6 (-1)^{4/5} b e^2 a^2+6 b e^2 a^2-5 \sqrt[5]{-1} c e^2 a^2+5 (-1)^{2/5} c e^2 a^2-5 (-1)^{3/5} c e^2 a^2+5 (-1)^{4/5} c e^2 a^2+10 c e^2 a^2-6 \sqrt[5]{-1} d e^2 a^2+6 (-1)^{2/5} d e^2 a^2-6 (-1)^{3/5} d e^2 a^2+6 (-1)^{4/5} d e^2 a^2+6 d e^2 a^2-6 \sqrt[5]{-1} b^2 c a^2+6 (-1)^{2/5} b^2 c a^2-6 (-1)^{3/5} b^2 c a^2+6 (-1)^{4/5} b^2 c a^2+6 b^2 c a^2-5 \sqrt[5]{-1} b^2 d a^2+5 (-1)^{2/5} b^2 d a^2-5 (-1)^{3/5} b^2 d a^2+5 (-1)^{4/5} b^2 d a^2+10 b^2 d a^2-6 \sqrt[5]{-1} c^2 d a^2+6 (-1)^{2/5} c^2 d a^2-6 (-1)^{3/5} c^2 d a^2+6 (-1)^{4/5} c^2 d a^2+6 c^2 d a^2-12 \sqrt[5]{-1} b c d a^2+12 (-1)^{2/5} b c d a^2-12 (-1)^{3/5} b c d a^2+12 (-1)^{4/5} b c d a^2+12 b c d a^2-6 \sqrt[5]{-1} b^2 e a^2+6 (-1)^{2/5} b^2 e a^2-6 (-1)^{3/5} b^2 e a^2+6 (-1)^{4/5} b^2 e a^2+6 b^2 e a^2-6 \sqrt[5]{-1} c^2 e a^2+6 (-1)^{2/5} c^2 e a^2-6 (-1)^{3/5} c^2 e a^2+6 (-1)^{4/5} c^2 e a^2+6 c^2 e a^2-5 \sqrt[5]{-1} d^2 e a^2+5 (-1)^{2/5} d^2 e a^2-5 (-1)^{3/5} d^2 e a^2+5 (-1)^{4/5} d^2 e a^2+10 d^2 e a^2-12 \sqrt[5]{-1} b c e a^2+12 (-1)^{2/5} b c e a^2-12 (-1)^{3/5} b c e a^2+12 (-1)^{4/5} b c e a^2+12 b c e a^2-12 \sqrt[5]{-1} b d e a^2+12 (-1)^{2/5} b d e a^2-12 (-1)^{3/5} b d e a^2+12 (-1)^{4/5} b d e a^2+12 b d e a^2-12 \sqrt[5]{-1} c d e a^2+12 (-1)^{2/5} c d e a^2-12 (-1)^{3/5} c d e a^2+12 (-1)^{4/5} c d e a^2+12 c d e a^2-\sqrt[5]{-1} b^4 a+(-1)^{2/5} b^4 a-(-1)^{3/5} b^4 a+(-1)^{4/5} b^4 a+b^4 a-\sqrt[5]{-1} c^4 a+(-1)^{2/5} c^4 a-(-1)^{3/5} c^4 a+(-1)^{4/5} c^4 a+c^4 a-\sqrt[5]{-1} d^4 a+(-1)^{2/5} d^4 a-(-1)^{3/5} d^4 a+(-1)^{4/5} d^4 a+d^4 a-\sqrt[5]{-1} e^4 a+(-1)^{2/5} e^4 a-(-1)^{3/5} e^4 a+(-1)^{4/5} e^4 a+e^4 a-4 \sqrt[5]{-1} b c^3 a+4 (-1)^{2/5} b c^3 a-4 (-1)^{3/5} b c^3 a+4 (-1)^{4/5} b c^3 a+4 b c^3 a-5 \sqrt[5]{-1} b d^3 a+5 (-1)^{2/5} b d^3 a-5 (-1)^{3/5} b d^3 a+5 (-1)^{4/5} b d^3 a-4 \sqrt[5]{-1} c d^3 a+4 (-1)^{2/5} c d^3 a-4 (-1)^{3/5} c d^3 a+4 (-1)^{4/5} c d^3 a+4 c d^3 a-4 \sqrt[5]{-1} b e^3 a+4 (-1)^{2/5} b e^3 a-4 (-1)^{3/5} b e^3 a+4 (-1)^{4/5} b e^3 a+4 b e^3 a-4 \sqrt[5]{-1} c e^3 a+4 (-1)^{2/5} c e^3 a-4 (-1)^{3/5} c e^3 a+4 (-1)^{4/5} c e^3 a+4 c e^3 a-5 \sqrt[5]{-1} d e^3 a+5 (-1)^{2/5} d e^3 a-5 (-1)^{3/5} d e^3 a+5 (-1)^{4/5} d e^3 a-6 \sqrt[5]{-1} b^2 c^2 a+6 (-1)^{2/5} b^2 c^2 a-6 (-1)^{3/5} b^2 c^2 a+6 (-1)^{4/5} b^2 c^2 a+6 b^2 c^2 a-6 \sqrt[5]{-1} b^2 d^2 a+6 (-1)^{2/5} b^2 d^2 a-6 (-1)^{3/5} b^2 d^2 a+6 (-1)^{4/5} b^2 d^2 a+6 b^2 d^2 a-5 \sqrt[5]{-1} c^2 d^2 a+5 (-1)^{2/5} c^2 d^2 a-5 (-1)^{3/5} c^2 d^2 a+5 (-1)^{4/5} c^2 d^2 a+10 c^2 d^2 a-12 \sqrt[5]{-1} b c d^2 a+12 (-1)^{2/5} b c d^2 a-12 (-1)^{3/5} b c d^2 a+12 (-1)^{4/5} b c d^2 a+12 b c d^2 a-5 \sqrt[5]{-1} b^2 e^2 a+5 (-1)^{2/5} b^2 e^2 a-5 (-1)^{3/5} b^2 e^2 a+5 (-1)^{4/5} b^2 e^2 a+10 b^2 e^2 a-6 \sqrt[5]{-1} c^2 e^2 a+6 (-1)^{2/5} c^2 e^2 a-6 (-1)^{3/5} c^2 e^2 a+6 (-1)^{4/5} c^2 e^2 a+6 c^2 e^2 a-6 \sqrt[5]{-1} d^2 e^2 a+6 (-1)^{2/5} d^2 e^2 a-6 (-1)^{3/5} d^2 e^2 a+6 (-1)^{4/5} d^2 e^2 a+6 d^2 e^2 a-12 \sqrt[5]{-1} b c e^2 a+12 (-1)^{2/5} b c e^2 a-12 (-1)^{3/5} b c e^2 a+12 (-1)^{4/5} b c e^2 a+12 b c e^2 a-12 \sqrt[5]{-1} b d e^2 a+12 (-1)^{2/5} b d e^2 a-12 (-1)^{3/5} b d e^2 a+12 (-1)^{4/5} b d e^2 a+12 b d e^2 a-12 \sqrt[5]{-1} c d e^2 a+12 (-1)^{2/5} c d e^2 a-12 (-1)^{3/5} c d e^2 a+12 (-1)^{4/5} c d e^2 a+12 c d e^2 a-5 \sqrt[5]{-1} b^3 c a+5 (-1)^{2/5} b^3 c a-5 (-1)^{3/5} b^3 c a+5 (-1)^{4/5} b^3 c a-4 \sqrt[5]{-1} b^3 d a+4 (-1)^{2/5} b^3 d a-4 (-1)^{3/5} b^3 d a+4 (-1)^{4/5} b^3 d a+4 b^3 d a-4 \sqrt[5]{-1} c^3 d a+4 (-1)^{2/5} c^3 d a-4 (-1)^{3/5} c^3 d a+4 (-1)^{4/5} c^3 d a+4 c^3 d a-12 \sqrt[5]{-1} b c^2 d a+12 (-1)^{2/5} b c^2 d a-12 (-1)^{3/5} b c^2 d a+12 (-1)^{4/5} b c^2 d a+12 b c^2 d a-12 \sqrt[5]{-1} b^2 c d a+12 (-1)^{2/5} b^2 c d a-12 (-1)^{3/5} b^2 c d a+12 (-1)^{4/5} b^2 c d a+12 b^2 c d a-4 \sqrt[5]{-1} b^3 e a+4 (-1)^{2/5} b^3 e a-4 (-1)^{3/5} b^3 e a+4 (-1)^{4/5} b^3 e a+4 b^3 e a-5 \sqrt[5]{-1} c^3 e a+5 (-1)^{2/5} c^3 e a-5 (-1)^{3/5} c^3 e a+5 (-1)^{4/5} c^3 e a-4 \sqrt[5]{-1} d^3 e a+4 (-1)^{2/5} d^3 e a-4 (-1)^{3/5} d^3 e a+4 (-1)^{4/5} d^3 e a+4 d^3 e a-12 \sqrt[5]{-1} b c^2 e a+12 (-1)^{2/5} b c^2 e a-12 (-1)^{3/5} b c^2 e a+12 (-1)^{4/5} b c^2 e a+12 b c^2 e a-12 \sqrt[5]{-1} b d^2 e a+12 (-1)^{2/5} b d^2 e a-12 (-1)^{3/5} b d^2 e a+12 (-1)^{4/5} b d^2 e a+12 b d^2 e a-12 \sqrt[5]{-1} c d^2 e a+12 (-1)^{2/5} c d^2 e a-12 (-1)^{3/5} c d^2 e a+12 (-1)^{4/5} c d^2 e a+12 c d^2 e a-12 \sqrt[5]{-1} b^2 c e a+12 (-1)^{2/5} b^2 c e a-12 (-1)^{3/5} b^2 c e a+12 (-1)^{4/5} b^2 c e a+12 b^2 c e a-12 \sqrt[5]{-1} b^2 d e a+12 (-1)^{2/5} b^2 d e a-12 (-1)^{3/5} b^2 d e a+12 (-1)^{4/5} b^2 d e a+12 b^2 d e a-12 \sqrt[5]{-1} c^2 d e a+12 (-1)^{2/5} c^2 d e a-12 (-1)^{3/5} c^2 d e a+12 (-1)^{4/5} c^2 d e a+12 c^2 d e a-25 \sqrt[5]{-1} b c d e a+25 (-1)^{2/5} b c d e a-25 (-1)^{3/5} b c d e a+25 (-1)^{4/5} b c d e a+20 b c d e a+b^5+c^5+d^5+e^5-\sqrt[5]{-1} b c^4+(-1)^{2/5} b c^4-(-1)^{3/5} b c^4+(-1)^{4/5} b c^4+b c^4-\sqrt[5]{-1} b d^4+(-1)^{2/5} b d^4-(-1)^{3/5} b d^4+(-1)^{4/5} b d^4+b d^4-\sqrt[5]{-1} c d^4+(-1)^{2/5} c d^4-(-1)^{3/5} c d^4+(-1)^{4/5} c d^4+c d^4-\sqrt[5]{-1} b e^4+(-1)^{2/5} b e^4-(-1)^{3/5} b e^4+(-1)^{4/5} b e^4+b e^4-\sqrt[5]{-1} c e^4+(-1)^{2/5} c e^4-(-1)^{3/5} c e^4+(-1)^{4/5} c e^4+c e^4-\sqrt[5]{-1} d e^4+(-1)^{2/5} d e^4-(-1)^{3/5} d e^4+(-1)^{4/5} d e^4+d e^4-2 \sqrt[5]{-1} b^2 c^3+2 (-1)^{2/5} b^2 c^3-2 (-1)^{3/5} b^2 c^3+2 (-1)^{4/5} b^2 c^3+2 b^2 c^3-2 \sqrt[5]{-1} b^2 d^3+2 (-1)^{2/5} b^2 d^3-2 (-1)^{3/5} b^2 d^3+2 (-1)^{4/5} b^2 d^3+2 b^2 d^3-2 \sqrt[5]{-1} c^2 d^3+2 (-1)^{2/5} c^2 d^3-2 (-1)^{3/5} c^2 d^3+2 (-1)^{4/5} c^2 d^3+2 c^2 d^3-4 \sqrt[5]{-1} b c d^3+4 (-1)^{2/5} b c d^3-4 (-1)^{3/5} b c d^3+4 (-1)^{4/5} b c d^3+4 b c d^3-2 \sqrt[5]{-1} b^2 e^3+2 (-1)^{2/5} b^2 e^3-2 (-1)^{3/5} b^2 e^3+2 (-1)^{4/5} b^2 e^3+2 b^2 e^3-2 \sqrt[5]{-1} c^2 e^3+2 (-1)^{2/5} c^2 e^3-2 (-1)^{3/5} c^2 e^3+2 (-1)^{4/5} c^2 e^3+2 c^2 e^3-2 \sqrt[5]{-1} d^2 e^3+2 (-1)^{2/5} d^2 e^3-2 (-1)^{3/5} d^2 e^3+2 (-1)^{4/5} d^2 e^3+2 d^2 e^3-5 \sqrt[5]{-1} b c e^3+5 (-1)^{2/5} b c e^3-5 (-1)^{3/5} b c e^3+5 (-1)^{4/5} b c e^3-4 \sqrt[5]{-1} b d e^3+4 (-1)^{2/5} b d e^3-4 (-1)^{3/5} b d e^3+4 (-1)^{4/5} b d e^3+4 b d e^3-4 \sqrt[5]{-1} c d e^3+4 (-1)^{2/5} c d e^3-4 (-1)^{3/5} c d e^3+4 (-1)^{4/5} c d e^3+4 c d e^3-2 \sqrt[5]{-1} b^3 c^2+2 (-1)^{2/5} b^3 c^2-2 (-1)^{3/5} b^3 c^2+2 (-1)^{4/5} b^3 c^2+2 b^3 c^2-2 \sqrt[5]{-1} b^3 d^2+2 (-1)^{2/5} b^3 d^2-2 (-1)^{3/5} b^3 d^2+2 (-1)^{4/5} b^3 d^2+2 b^3 d^2-2 \sqrt[5]{-1} c^3 d^2+2 (-1)^{2/5} c^3 d^2-2 (-1)^{3/5} c^3 d^2+2 (-1)^{4/5} c^3 d^2+2 c^3 d^2-6 \sqrt[5]{-1} b c^2 d^2+6 (-1)^{2/5} b c^2 d^2-6 (-1)^{3/5} b c^2 d^2+6 (-1)^{4/5} b c^2 d^2+6 b c^2 d^2-5 \sqrt[5]{-1} b^2 c d^2+5 (-1)^{2/5} b^2 c d^2-5 (-1)^{3/5} b^2 c d^2+5 (-1)^{4/5} b^2 c d^2+10 b^2 c d^2-2 \sqrt[5]{-1} b^3 e^2+2 (-1)^{2/5} b^3 e^2-2 (-1)^{3/5} b^3 e^2+2 (-1)^{4/5} b^3 e^2+2 b^3 e^2-2 \sqrt[5]{-1} c^3 e^2+2 (-1)^{2/5} c^3 e^2-2 (-1)^{3/5} c^3 e^2+2 (-1)^{4/5} c^3 e^2+2 c^3 e^2-2 \sqrt[5]{-1} d^3 e^2+2 (-1)^{2/5} d^3 e^2-2 (-1)^{3/5} d^3 e^2+2 (-1)^{4/5} d^3 e^2+2 d^3 e^2-6 \sqrt[5]{-1} b c^2 e^2+6 (-1)^{2/5} b c^2 e^2-6 (-1)^{3/5} b c^2 e^2+6 (-1)^{4/5} b c^2 e^2+6 b c^2 e^2-5 \sqrt[5]{-1} b d^2 e^2+5 (-1)^{2/5} b d^2 e^2-5 (-1)^{3/5} b d^2 e^2+5 (-1)^{4/5} b d^2 e^2+10 b d^2 e^2-6 \sqrt[5]{-1} c d^2 e^2+6 (-1)^{2/5} c d^2 e^2-6 (-1)^{3/5} c d^2 e^2+6 (-1)^{4/5} c d^2 e^2+6 c d^2 e^2-6 \sqrt[5]{-1} b^2 c e^2+6 (-1)^{2/5} b^2 c e^2-6 (-1)^{3/5} b^2 c e^2+6 (-1)^{4/5} b^2 c e^2+6 b^2 c e^2-6 \sqrt[5]{-1} b^2 d e^2+6 (-1)^{2/5} b^2 d e^2-6 (-1)^{3/5} b^2 d e^2+6 (-1)^{4/5} b^2 d e^2+6 b^2 d e^2-5 \sqrt[5]{-1} c^2 d e^2+5 (-1)^{2/5} c^2 d e^2-5 (-1)^{3/5} c^2 d e^2+5 (-1)^{4/5} c^2 d e^2+10 c^2 d e^2-12 \sqrt[5]{-1} b c d e^2+12 (-1)^{2/5} b c d e^2-12 (-1)^{3/5} b c d e^2+12 (-1)^{4/5} b c d e^2+12 b c d e^2-\sqrt[5]{-1} b^4 c+(-1)^{2/5} b^4 c-(-1)^{3/5} b^4 c+(-1)^{4/5} b^4 c+b^4 c-\sqrt[5]{-1} b^4 d+(-1)^{2/5} b^4 d-(-1)^{3/5} b^4 d+(-1)^{4/5} b^4 d+b^4 d-\sqrt[5]{-1} c^4 d+(-1)^{2/5} c^4 d-(-1)^{3/5} c^4 d+(-1)^{4/5} c^4 d+c^4 d-5 \sqrt[5]{-1} b c^3 d+5 (-1)^{2/5} b c^3 d-5 (-1)^{3/5} b c^3 d+5 (-1)^{4/5} b c^3 d-6 \sqrt[5]{-1} b^2 c^2 d+6 (-1)^{2/5} b^2 c^2 d-6 (-1)^{3/5} b^2 c^2 d+6 (-1)^{4/5} b^2 c^2 d+6 b^2 c^2 d-4 \sqrt[5]{-1} b^3 c d+4 (-1)^{2/5} b^3 c d-4 (-1)^{3/5} b^3 c d+4 (-1)^{4/5} b^3 c d+4 b^3 c d-\sqrt[5]{-1} b^4 e+(-1)^{2/5} b^4 e-(-1)^{3/5} b^4 e+(-1)^{4/5} b^4 e+b^4 e-\sqrt[5]{-1} c^4 e+(-1)^{2/5} c^4 e-(-1)^{3/5} c^4 e+(-1)^{4/5} c^4 e+c^4 e-\sqrt[5]{-1} d^4 e+(-1)^{2/5} d^4 e-(-1)^{3/5} d^4 e+(-1)^{4/5} d^4 e+d^4 e-4 \sqrt[5]{-1} b c^3 e+4 (-1)^{2/5} b c^3 e-4 (-1)^{3/5} b c^3 e+4 (-1)^{4/5} b c^3 e+4 b c^3 e-4 \sqrt[5]{-1} b d^3 e+4 (-1)^{2/5} b d^3 e-4 (-1)^{3/5} b d^3 e+4 (-1)^{4/5} b d^3 e+4 b d^3 e-5 \sqrt[5]{-1} c d^3 e+5 (-1)^{2/5} c d^3 e-5 (-1)^{3/5} c d^3 e+5 (-1)^{4/5} c d^3 e-5 \sqrt[5]{-1} b^2 c^2 e+5 (-1)^{2/5} b^2 c^2 e-5 (-1)^{3/5} b^2 c^2 e+5 (-1)^{4/5} b^2 c^2 e+10 b^2 c^2 e-6 \sqrt[5]{-1} b^2 d^2 e+6 (-1)^{2/5} b^2 d^2 e-6 (-1)^{3/5} b^2 d^2 e+6 (-1)^{4/5} b^2 d^2 e+6 b^2 d^2 e-6 \sqrt[5]{-1} c^2 d^2 e+6 (-1)^{2/5} c^2 d^2 e-6 (-1)^{3/5} c^2 d^2 e+6 (-1)^{4/5} c^2 d^2 e+6 c^2 d^2 e-12 \sqrt[5]{-1} b c d^2 e+12 (-1)^{2/5} b c d^2 e-12 (-1)^{3/5} b c d^2 e+12 (-1)^{4/5} b c d^2 e+12 b c d^2 e-4 \sqrt[5]{-1} b^3 c e+4 (-1)^{2/5} b^3 c e-4 (-1)^{3/5} b^3 c e+4 (-1)^{4/5} b^3 c e+4 b^3 c e-5 \sqrt[5]{-1} b^3 d e+5 (-1)^{2/5} b^3 d e-5 (-1)^{3/5} b^3 d e+5 (-1)^{4/5} b^3 d e-4 \sqrt[5]{-1} c^3 d e+4 (-1)^{2/5} c^3 d e-4 (-1)^{3/5} c^3 d e+4 (-1)^{4/5} c^3 d e+4 c^3 d e-12 \sqrt[5]{-1} b c^2 d e+12 (-1)^{2/5} b c^2 d e-12 (-1)^{3/5} b c^2 d e+12 (-1)^{4/5} b c^2 d e+12 b c^2 d e-12 \sqrt[5]{-1} b^2 c d e+12 (-1)^{2/5} b^2 c d e-12 (-1)^{3/5} b^2 c d e+12 (-1)^{4/5} b^2 c d e+12 b^2 c d e

.·.·.

mathematica 发表于 2019-1-12 10:01
你怎么知道这个关系的存在的
为什么二次根就没这种关系？

你怎么知道这个关系的存在的

阿里巴巴数学竞赛，这是我唯一做出来的数论题
对一个统计系的人……或者对一个数论知识最高只到佩尔方程的人来讲，这可能已经是人生巅峰了……

为什么二次根就没这种关系？

(1^1*a+1^2*b)((-1)^2*a+(-1)^2*b)=b^2-a^2
比三次表现形式更简单

mathematica

.·.·. 发表于 2019-1-12 14:02
阿里巴巴数学竞赛，这是我唯一做出来的数论题
对一个统计系的人……或者对一个数论知识最高只到佩尔方程 ...

为什么二次就不是
a^2+b^2-2ab的样子呢？
我以前都没想到三次可以那么分解

.·.·.

mathematica 发表于 2019-1-12 10:11
a^5-\sqrt[5]{-1} b a^4+(-1)^{2/5} b a^4-(-1)^{3/5} b a^4+(-1)^{4/5} b a^4+b a^4-\sqrt[5]{-1} ...

1. ww = x /. Solve[x^5 == 1, x]
   
2. w1 = ww[[1]]
   
3. w2 = ww[[2]]
   
4. w3 = ww[[3]]
   
5. w4 = ww[[4]]
   
6. w5 = ww[[5]]
   
7. abcd = (w1*a + w1^2*b + w1^3*c + w1^4*d + w1^5*e)*(w2*a + w2^2*b +
   
8.     w2^3*c + w2^4*d + w2^5*e)*(w3*a + w3^2*b + w3^3*c + w3^4*d +
   
9.     w3^5*e)*(w4*a + w4^2*b + w4^3*c + w4^4*d + w4^5*e)*(w5*a +
   
10.     w5^2*b + w5^3*c + w5^4*d + w5^5*e)
    
11. FullSimplify[
    
12. Expand[abcd - ((a^5 + b^5 + c^5 + d^5 + e^5) -
    
13.      5 (a^3 (c d + b e) + b^3 (d e + c a) + c^3 (e a + d b) +
    
14.         d^3 (a b + c e) + e^3 (b c + d a)) +
    
15.      5 (a (c^2 d^2 + b^2 e^2) + b (d^2 e^2 + c^2 a^2) +
    
16.         c (e^2 a^2 + d^2 b^2) + d (a^2 b^2 + c^2 e^2) +
    
17.         e (b^2 c^2 + d^2 a^2)) - 5 a b c d e)]]

复制代码

别问我发生了什么
我也不知道……

wayne

借用 https://bbs.emath.ac.cn/thread-15842-3-1.html 29楼的代码，算得 旋转后的曲面方程是 ：

1. from={0,0,1};to={1,1,1};
   
2. f=Function[{x,y,z},x^3+y^3+z^3-3x y z-1];
   
3. FullSimplify[f@@(RotationTransform[VectorAngle[from,to],Cross[from,to]][{x,y,z}])]

复制代码

\[\frac{3}{2} \sqrt{3} z \left(x^2+y^2\right) = 1\]