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楼主: hujunhua

[讨论] 由三角形引导的一个几何变换——三坐标反演

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发表于 2019-3-20 22:19:39 | 显示全部楼层
x^2/y^2 + x^2/z^2 + y^2/x^2 + y^2/z^2 + z^2/x^2 + z^2/y^2 == c 与 x + y + z == c的相交曲线只能出现在x + y + z == c平面上啊
除非投影

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再把整体旋转几下子,使得平面 x+y+z=1 变成 平面 z=0,再来看相交曲线  发表于 2019-3-20 22:39
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-20 22:34:00 | 显示全部楼层
根据18#的6个特殊点及三坐标反演不变性,我们可以取:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}=\frac{273}{8}\)

联立\(x+y+z=1\),并消元\(z\)得到:


\(16x^6+48x^5y-201x^4y^2-482x^3y^3-201x^2y^4+48xy^5+16y^6-48x^5-112x^4y+418x^3y^2+418x^2y^3-112xy^4-48y^5+56x^4+96x^3y-177x^2y^2+96xy^3+56y^4-32x^3-32x^2y-32xy^2-32y^3+8x^2+8y^2=0\)

画图得到:



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不是三阶对称的,应该不是  发表于 2019-3-20 22:41
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发表于 2019-3-21 00:28:41 | 显示全部楼层
  1. {x^2/y^2+x^2/z^2+y^2/x^2+y^2/z^2+z^2/x^2+z^2/y^2-c,x+y+z-c}/.({x,y,z}//{#,(*正交旋转*){{Sqrt[2/3],0,1/Sqrt[3]},{-(1/Sqrt[6]),1/Sqrt[2],1/Sqrt[3]},{-(1/Sqrt[6]),-(1/Sqrt[2]),1/Sqrt[3]}}.#}&//Transpose//Rule@@#&/@#&)//#[[1]]/.Solve[#[[2]]==0,z][[1]]&//Factor//Numerator//FactorTermsList[#][[2]]&//#/.{x->Cos[\[Theta]]r,y->Sin[\[Theta]]r}&//Collect[#,{r,c},TrigReduce]&
复制代码


\(4 c^7-24 c^6+81 c^3 r^4+r^5 \left(162 \sqrt{6} c \cos (3 \theta )-54 \sqrt{6} c^2 \cos (3 \theta )\right)+\left(-36 c^5-216 c^4\right) r^2+r^3 \left(12 \sqrt{6} c^4 \cos (3 \theta )+144 \sqrt{6} c^3 \cos (3 \theta )\right)+r^6 (27 c (\cos (6 \theta )+1)+81 (\cos (6 \theta )-8))\)

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拒绝点评!拒绝点评!拒绝点评!拒绝点评!拒绝点评!拒绝点评![c   发表于 2019-3-21 10:30
额,怎么画图,关于极坐标的隐函数 画图,我好像还没找到方法。。。  发表于 2019-3-21 09:52
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 楼主| 发表于 2019-3-21 02:28:07 | 显示全部楼层

几点重要的澄清

一、由一个特定三角形引导的这种几何变换基于中点和中心对称,故只在仿射变换下不变,在射影变换群下不能保持。
二、为什么1#要在仿射平面\(x+y+z=1\)而不在仿射平面\(z=1\)上进行推导?
        因为前者的三个单位点(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)是有穷远点,而在后者上面有两个是无穷远点。故在前者上面推导的关系式可通过仿射变换适用于所有有穷三角形,而在后者上面推导的关系式通过仿射变换只能囿于无穷三角形。可以预料,对于仿射平面\(z=1\)上的有穷三角形,变换的代数式不同于\(xx'=yy'=zz'\),究竟怎样,@数学星空 可以暴力一下看看。
三、仿射平面\(x+y+z=1\)上的两个共轭圆环点是\((1,\omega,\omega^2),(1,\omega^2,\omega)\). 通过这两点的非退化二次曲线都是圆。
           注:\(\omega\)是三次单位根。
四、变换的代数式的差别不是本质的,不影响变换的那些几何特性。前面在特殊仿射平面上的性质、命题等,在其它仿射平面上仍然成立。
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发表于 2019-3-21 08:07:04 | 显示全部楼层
在平面`z=1`上推导,那就取等腰直角三角形`X(1,0,1), Y(0,1,1),C(0,0,1)`,记由此三角形引导的这种几何变换为 `Q`,假定\[
Q(x,y,z)=(x',y',z')\]我们已经知道,如果取含无穷远点的三角形`A(1,0,0), B(0,1,0),C(0,0,1)`会得到三坐标反演`T`.
仿mathe在11#的推导符号,记三角形`\triangle XYC\to\triangle ABC`的一个射影变换为`P`, 由\[
P^{-1}=\begin{bmatrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\1&&1&&1\end{bmatrix}\to P=\begin{bmatrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\-1&&-1&&1\end{bmatrix}
\]由于这种几何变换在射影变换下得以保持,故有`PQ=TP`, 由\[PQ(x,y,z)^t=P(x',y',z')^t=(x',y',z'-x'-y')^t\\TP(x,y,z)^t=T(x,y,z-x-y)^t
\]得基于三角形XYC的几何变换的反演式为\[xx'=yy'=(z-x-y)(z'-x'-y')\]
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发表于 2019-3-21 09:06:06 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-3-21 02:28
一、由一个特定三角形引导的这种几何变换基于中点和中心对称,故只在仿射变换下不变,在射影变换群下不能保 ...

一条线段AB的中点M在射影中的意义就是和无穷点F一起,四个点共轭调和,或者说较比(A,B;M,F)=-1。
射影变换后,中点自然不再是中点了,但是我们只要找出一条相对直线,把这条直线和三角形三边交点关于这条边两个顶点的共轭调和找出来即可。

点评

11#的推导还是没有问题。我们可以把变换P看成面积坐标到另外一个普通射影平面坐标之间的变换。  发表于 2019-3-21 09:53
知道hujunhua的意思了,他的定义下圆经过的无穷远点不是$(1,+-i,0)$  发表于 2019-3-21 09:26
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发表于 2019-3-21 09:16:38 | 显示全部楼层

${x^2}/{y^2}+{y^2}/{x^2}+{x^2}/{z^2}+{z^2}/{x^2}+{y^2}/{z^2}+{z^2}/{y^2}=9$对应的平面图像如上图(我们把z=1代入)

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点评

我们也可以把这个方程看成平面曲线的齐次方程,z=0代表无穷远点,得到图像就是如此。  发表于 2019-3-21 10:55
这是曲面被平面z=1截得的曲线(在xoy坐标平面上的投影)。  发表于 2019-3-21 10:46
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发表于 2019-3-21 11:18:02 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2019-3-21 00:28
\(4 c^7-24 c^6+81 c^3 r^4+r^5 \left(162 \sqrt{6} c \cos (3 \theta )-54 \sqrt{6} c^2 \cos (3 \the ...

, 那我再复制一下:
这个方程该怎么画图,关于极坐标的隐函数 画图,我好像还没找到方法。。。
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发表于 2019-3-21 12:22:40 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2019-3-21 11:18
, 那我再复制一下:
这个方程该怎么画图,关于极坐标的隐函数 画图,我好像还没找到方法。。。


笨办法

  1. {x^2/y^2 + x^2/z^2 + y^2/x^2 + y^2/z^2 + z^2/x^2 + z^2/y^2 - c,
  2.         x + y + z -
  3.          d(*截平面*)} /. ({x, y,
  4.             z} // {#,(*正交旋转*){{Sqrt[2/3], 0,
  5.                 1/Sqrt[3]}, {-(1/Sqrt[6]), 1/Sqrt[2],
  6.                 1/Sqrt[3]}, {-(1/Sqrt[6]), -(1/Sqrt[2]),
  7.                 1/Sqrt[3]}}.#} & // Transpose //
  8.          Rule @[url=home.php?mod=space&uid=6175]@[/url] # & /@ # &) // #[[1]] /.
  9.         Solve[#[[2]] == 0, z][[1]] & // Factor // Numerator //
  10.    FactorTermsList[#][[2]] & // # /. {x -> Cos[\[Theta]] r,
  11.      y -> Sin[\[Theta]] r} & // Collect[#, r, FullSimplify] &

  12. % // # /. {d -> 1, c -> 9}(*赋值*)& //
  13.     ParallelTable[{Cos[\[Theta]] r, Sin[\[Theta]] r} /.
  14.        NSolve[# == 0, r, Reals], {\[Theta], 10^-4 2 \[Pi], 2 \[Pi],
  15.        10^-4 2 \[Pi]}] & // Join @@ # & //
  16.   ListPlot[#, PlotStyle -> PointSize[Tiny], AspectRatio -> 1,
  17.     PlotRange -> All] & //
  18. Show[#, {{Sqrt[2/3], 0, 1/Sqrt[3]}, {-(1/Sqrt[6]), 1/Sqrt[2],
  19.          1/Sqrt[3]}, {-(1/Sqrt[6]), -(1/Sqrt[2]), 1/Sqrt[3]}}.{{1, 0,
  20.          0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} // #[[All, 1 ;; 2]] & //
  21.      Append[#, #[[1]]] & //
  22.     ListLinePlot[#, PlotStyle -> Red, AspectRatio -> 1] &,
  23.    AspectRatio -> 1] &
复制代码
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发表于 2019-3-21 13:18:02 | 显示全部楼层
终于画出来了。主要是旋转矩阵的计算。
参考Rodrigues变换: https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula
  1. from = {0, 0, 1}; to = {1/3, 1/3, 1/3};
  2. RotationTransform[VectorAngle[from, to], Cross[from, to]]
复制代码

\[\text{TransformationFunction}\left[\left(
\begin{array}{cccc}
\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}+3\right) & \frac{1}{6} \left(\sqrt{3}-3\right) & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
\frac{1}{6} \left(\sqrt{3}-3\right) & \frac{1}{6} \left(\sqrt{3}+3\right) & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\right]\]

  1. c = 10; n = 3; z = 5;
  2. from = {0, 0, 1}; to = {1/3, 1/3, 1/3};
  3. f = Function[{x, y, z}, x^2/y^2 + x^2/z^2 + y^2/x^2 + y^2/z^2 + z^2/x^2 + z^2/y^2];
  4. ContourPlot[ f @@ (RotationTransform[VectorAngle[from, to], Cross[from, to]][{x, y, z}]) == c, {x, -n, n}, {y, -n, n}]
复制代码



\[\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2} \]
经过旋转后的方程是
\[\frac{6 \left(4 x^6+4 y^6+4 z^6+3 x^5 y+3 x y^5+12 x^4 y^2-10 x^3 y^3+12 x^2 y^4+12 z^4 \left(x^2+y^2\right)-8 z^3 (x+y) \left(x^2-4 x y+y^2\right)-3 z (x+y) \left(x^2+y^2\right) \left(x^2-4 x y+y^2\right)\right)}{(x+y-z)^2 \left(x^2-2 z (x+y)-4 x y+y^2-2 z^2\right)^2}\]

这个可能 是新的六次曲线,在mathworld上没搜到:
http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicCurve.html

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这个不变六次曲线可能不如不变三次曲线有意思。可惜手头没电脑,连纸笔都没有,全靠心算。  发表于 2019-3-21 16:57
老大,你发现了新的六次曲线了  发表于 2019-3-21 14:09
直击庐山真面目  发表于 2019-3-21 13:39
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