由三角形引导的一个几何变换——三坐标反演

数学星空

仿照18#给的6个不动点，可以算出下面6个不动点：

\([\frac{9a^2-b^2+c^2}{18a}, \frac{2s}{9a}]\)

\([\frac{3a^2-b^2+c^2}{12a}, \frac{s}{3a}]\)

\([\frac{3a^2-2b^2+2c^2}{9a}, \frac{8s}{9a}]\)

\([\frac{3a^2-2b^2+2c^2}{6a}, \frac{4s}{3a}]\)

\([\frac{2(3a^2-b^2+c^2)}{9a}, \frac{8s}{9a}]\)

\([\frac{9a^2-b^2+c^2}{12a}, \frac{s}{3a}]\)

根据49#提到的hujunhua得到的不变曲线方程:（因有6个不动点，所以设了6个未知数求解）

\(a_1x_1y_1^2-a_2x_1z_1^2+a_3y_1z_1^2-a_4y_1x_1^2+a_5z_1x_1^2-a_6z_1y_1^2=0\)

\(a_1x_1y_1^2+a_2x_1z_1^2+a_3y_1x_1^2+a_4y_1z_1^2+a_5z_1x_1^2+a_6z_1y_1^2-x_1y_1z_1=0\)

我们将下面重心坐标的反转公式代入上面不变曲线方程

\(\lambda_1=\frac{ya}{2s}=x_1, \mu_1=-\frac{a^2y+b^2y-c^2y-4as+4sx}{4as}=y_1, \nu_1=-\frac{a^2y-b^2y+c^2y-4sx}{4as}=z_1\)

上面两个方程化简得到：

然后将上面的6个不动点代入上面第一个方程 可以得到

第一个方程

\(4a_1-4a_2+16a_3-a_4+a_5-16a_6=0\)

\(16a_1-a_2+4a_3-4a_4+a_5-16a_6=0\)

\(16a_1-a_2+a_3-16a_4+4a_5-4a_6=0\)

\(4a_1-4a_2+a_3-16a_4+16a_5-a_6=0\)

\(a_1-16a_2+4a_3-4a_4+16a_5-a_6=0\)

\(a_1-16a_2+16a_3-a_4+4a_5-4a_6=0\)

第一个方程：\(a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=1\)

此不变曲线为

\(-3a^8y+6a^7xy+7a^6b^2y+5a^6c^2y-18a^5b^2xy-6a^5c^2xy-5a^4b^4y+6a^4b^2c^2y+6a^4b^2x^2y+18a^4b^2y^3-a^4c^4y-6a^4c^2x^2y-18a^4c^2y^3+18a^3b^4xy-12a^3b^2c^2xy-6a^3c^4xy+a^2b^6y-3a^2b^4c^2y-12a^2b^4x^2y+3a^2b^2c^4y-a^2c^6y+12a^2c^4x^2y-6ab^6xy+18ab^4c^2xy-18ab^2c^4xy+6ac^6xy+6b^6x^2y-2b^6y^3-18b^4c^2x^2y+6b^4c^2y^3+18b^2c^4x^2y-6b^2c^4y^3-6c^6x^2y+2c^6y^3+4a^6sx-12a^5sx^2-36a^5sy^2-8a^4b^2sx-8a^4c^2sx+8a^4sx^3+72a^4sxy^2+24a^3b^2sx^2-24a^3b^2sy^2+24a^3c^2sx^2+24a^3c^2sy^2+4a^2b^4sx-8a^2b^2c^2sx-16a^2b^2sx^3+4a^2c^4sx-16a^2c^2sx^3-12ab^4sx^2+12ab^4sy^2+24ab^2c^2sx^2-24ab^2c^2sy^2-12ac^4sx^2+12ac^4sy^2+8b^4sx^3-24b^4sxy^2-16b^2c^2sx^3+48b^2c^2sxy^2+8c^4sx^3-24c^4sxy^2=0\)

此时第一个方程可以分解为三条直线（分别过一个顶点及一个不动点）

然后将上面的6个不动点代入上面第二个方程 可以得到

第二个方程

\(4a_1+4a_2+16a_3+a_4+a_5+16a_6-4=0\)

\(16a_1+a_2+4a_3+4a_4+a_5+16a_6-4=0\)

\(16a_1+a_2+a_3+16a_4+4a_5+4a_6-4=0\)

\(4a_1+4a_2+a_3+16a_4+16a_5+a_6-4=0\)

\(a_1+16a_2+4a_3+4a_4+16a_5+a_6-4=0\)

\(a_1+16a_2+16a_3+a_4+4a_5+4a_6-4=0\)

第一个方程：\(a_1=a_2=a_3=a_4=a_5=a_6=\frac{2}{21}\)

此时不变曲线为：(这就是老胡得到的3次不变曲线称为“胡子3次曲线”

\(a^7y-27a^6xy-a^5b^2y-3a^5c^2y+27a^5x^2y+27a^5y^3+52a^4b^2xy+56a^4c^2xy-a^3b^4y-2a^3b^2c^2y-54a^3b^2x^2y+3a^3c^4y-54a^3c^2x^2y-23a^2b^4xy+54a^2b^2c^2xy-31a^2c^4xy+ab^6y-3ab^4c^2y+27ab^4x^2y-27ab^4y^3+3ab^2c^4y-54ab^2c^2x^2y+54ab^2c^2y^3-ac^6y+27ac^4x^2y-27ac^4y^3-2b^6xy+6b^4c^2xy-6b^2c^4xy+2c^6xy+4a^5sx-4a^4sx^2-96a^4sy^2-8a^3b^2sx-8a^3c^2sx+8a^2b^2sx^2+108a^2b^2sy^2+8a^2c^2sx^2-108a^2c^2sy^2+4ab^4sx-8ab^2c^2sx-216ab^2sxy^2+4ac^4sx+216ac^2sxy^2-4b^4sx^2+4b^4sy^2+8b^2c^2sx^2-8b^2c^2sy^2-4c^4sx^2+4c^4sy^2=0\)

例：\(a = 3, b = 4, c = 5, s = 6\)不动点及不变曲线图（绿色为第一种不变曲线分成三条直线，红色为胡子3次曲线）

\(-46656x^2y+34992xy^2+13824x^2+129600xy-97200y^2-41472x=0\)



\(a = 6, b = 5, c = 4, s =\frac{15\sqrt{7}}{4}\)不动点及胡子3次曲线

\(-115725.1623xy^2+1.55925010^6xy-255150.x^2y-425250.y-375035.2483x+62505.87472x^2-884011.6568y^2+196830.y^3=0\)



\(a = 6, b = 5, c = 8, s =\frac{3\sqrt{399}}{4}\)不动点及胡子3次曲线

\(3.21035410^6xy-581742.x^2y-1.29114303910^6x+215190.5065x^2-4.04439500810^6y^2+64638.y+757211.7071xy^2-36450.y^3=0\)

数学星空

对于39# https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 70&fromuid=1455 提到的对称变换（即作关于三边对称点构成新三角形圆心的轨迹）

\(P\)与\(P'\)的对应关系：

\(a^5y_0-2a^4x_{00}y_0-2a^3b^2y_0-2a^3c^2y_0+2a^2b^2x_0y_0+2a^2b^2x_{00}y_0+2a^2c^2x_0y_0+2a^2c^2x_{00}y_0+ab^4y_0-2ab^2c^2y_0+ac^4y_0-2b^4x_0y_0+4b^2c^2x_0y_0-2c^4x_0y_0-4a^3sx_0+4a^2sx_0^2+8a^2sx_0x_{00}+4a^2sy_0^2+4ab^2sx_0-4ac^2sx_0-8asx_0^2x_{00}-8asx_{00}y_0^2-4b^2sx_0^2+4b^2sy_0^2+4c^2sx_0^2-4c^2sy_0^2=0\)

\(a^5x_0-a^4x_0^2-a^4y_0^2-2a^4y_0y_{00}-2a^3b^2x_0-2a^3c^2x_0+2a^2b^2x_0^2+2a^2b^2y_0y_{00}+2a^2c^2x_0^2+2a^2c^2y_0y_{00}+ab^4x_0-2ab^2c^2x_0+ac^4x_0-b^4x_0^2+b^4y_0^2+2b^2c^2x_0^2-2b^2c^2y_0^2-c^4x_0^2+c^4y_0^2+4a^3sy_0+8a^2sx_0y_{00}-4ab^2sy_0+4ac^2sy_0-8asx_0^2y_{00}-8asy_0^2y_{00}+8b^2sx_0y_0-8c^2sx_0y_0=0\)

作重心坐标反转变换结果为：

\(a^4\lambda\lambda_1\mu_1+a^4\lambda\mu_1^2+2a^4\lambda_1\mu\mu_1+2a^4\mu\mu_1^2+a^2b^2\lambda\lambda_1^2+2a^2b^2\lambda\lambda_1\mu_1+a^2b^2\lambda\mu_1^2+2a^2b^2\lambda_1^2\mu+2a^2b^2\lambda_1\mu\mu_1-2a^2c^2\lambda\lambda_1\mu_1-a^2c^2\lambda\mu_1^2-2a^2c^2\lambda_1\mu\mu_1+b^4\lambda\lambda_1^2+b^4\lambda\lambda_1\mu_1-b^2c^2\lambda\lambda_1^2-2b^2c^2\lambda\lambda_1\mu_1+c^4\lambda\lambda_1\mu_1-a^4\lambda\mu_1-a^4\lambda_1\mu_1-2a^4\mu\mu_1-a^4\mu_1^2-a^2b^2\lambda\lambda_1-a^2b^2\lambda\mu_1-2a^2b^2\lambda_1^2-2a^2b^2\lambda_1\mu-3a^2b^2\lambda_1\mu_1-a^2b^2\mu_1^2+a^2c^2\lambda\mu_1+a^2c^2\lambda_1\mu_1+a^2c^2\mu_1^2-b^4\lambda\lambda_1+b^2c^2\lambda\lambda_1+a^4\mu_1+2a^2b^2\lambda_1+a^2b^2\mu_1-a^2c^2\mu_1=0\)

\(a^2\lambda\lambda_1\mu_1+a^2\lambda\mu_1^2+b^2\lambda\lambda_1^2+b^2\lambda\lambda_1\mu_1-c^2\lambda\lambda_1\mu_1-a^2\lambda\mu_1-a^2\lambda_1\mu_1-a^2\mu_1^2-b^2\lambda\lambda_1+a^2\mu_1=0\)

由于此关系也是对合变换（二次迭代后还原)

不知有什么办法来求不变曲线？

mathe

我们可以先尝试a=b=c情况，这时的方程应该关于三个变量全对称才对，不然就是没有简化

mathe

根据数学星空的计算式: \(a^2\lambda\lambda_1\mu_1+a^2\lambda\mu_1^2+b^2\lambda\lambda_1^2+b^2\lambda\lambda_1\mu_1-c^2\lambda\lambda_1\mu_1-a^2\lambda\mu_1-a^2\lambda_1\mu_1-a^2\mu_1^2-b^2\lambda\lambda_1+a^2\mu_1=0\)
把\(a=b=c=1\)代入得出\(\lambda=\frac{\mu_1(\mu_1+\lambda_1-1)}{\mu_1^2+\mu_1\lambda_1+\lambda_1^2-\mu_1-\lambda_1}\)
于是根据对称性就应该有\(\mu=\frac{\lambda_1(\mu_1+\lambda_1-1)}{\mu_1^2+\mu_1\lambda_1+\lambda_1^2-\mu_1-\lambda_1}\)
所以显然有\(\mu\mu_1=\lambda\lambda_1\),也就是正三角形时，两中变换是完全相同的

mathe

而一般情况，根据星空的第二表达式我们有
\(\lambda=\frac{a^2\mu_1(\lambda_1+\mu_1-1)}{(a^2\mu_1+b^2\lambda_1)(\lambda_1+\mu_1-1)-c^2\lambda_1\mu_1}\)
所以根据对称性有
\(\mu=\frac{b^2\lambda_1(\lambda_1+\mu_1-1)}{(a^2\mu_1+b^2\lambda_1)(\lambda_1+\mu_1-1)-c^2\lambda_1\mu_1}\)
于是我们得出结论\(\frac{\lambda\lambda_1}{a^2}=\frac{\mu\mu_1}{b^2}\)
只是不知道这时对应的\(\nu\)的表达式是什么，理想情况应该上面结果还和\(\frac{\nu\nu_1}{c^2}\)相等

mathe

知道了，星空应该维持了关系式\(\lambda+\mu+\nu=1\)，
所以上面表达式简化后可以写成
\(\begin{cases}\lambda=\frac{a^2\mu_1\nu_1}{a^2\mu_1\nu_1+b^2\nu_1\lambda_1+c^2\lambda_1\mu_1}\\
\mu=\frac{b^2\nu_1\lambda_1}{a^2\mu_1\nu_1+b^2\nu_1\lambda_1+c^2\lambda_1\mu_1}\\
\nu=\frac{c^2\lambda_1\nu_1}{a^2\mu_1\nu_1+b^2\nu_1\lambda_1+c^2\lambda_1\mu_1}\end{cases}\)
于是我们可以得出\(\frac{\lambda\lambda_1}{a^2}=\frac{\mu\mu_1}{b^2}=\frac{\nu\nu_1}{c^2}\)
这个说明了两种变换关系就差了一个仿射变换

数学星空

mathe 在54#~56#通过巧妙的代数方法及对称变形的思想得到了对称变换满足下列关系（我们称仿射三坐标反演）

\(\frac{\lambda}{a}\frac{\lambda_1}{a}=\frac{\mu}{b}\frac{\mu_1}{b}=\frac{\nu}{c}\frac{\nu_1}{c}\)


可以代入上面的对应关系的确是成立的，那么我们是不是有如下类似结果：


上面仿射三坐标反演得到的不变曲线为：

\(a_1\frac{x_1}{a}((\frac{y_1}{a})^2-(\frac{z_1}{c})^2)+a_2\frac{y_1}{b}(-(\frac{x_1}{a})^2+(\frac{z_1}{c})^2)+a_3\frac{z_1}{c}((\frac{x_1}{a})^2-(\frac{y_1}{b})^2)=0\)

\(a_1\frac{x_1}{a}((\frac{y_1}{b})^2+(\frac{z_1}{c})^2)+a_2\frac{y_1}{b}((\frac{x_1}{a})^2+(\frac{z_1}{c})^2)+a_3\frac{z_1}{c}((\frac{x_1}{a})^2+(\frac{y_1}{b})^2)-a_4\frac{x_1}{a}\frac{y_1}{b}\frac{z_1}{c}=0\)

但上面6个不动点如何变换？？

mathe

关于这个题目，我们也可以直接在普通平面坐标系上考虑一个无穷大的三角形，其中A在原点，B,C分别在x轴和y轴的无穷远点，于是对应的三坐标反演变换就是将点$(x,y)$变换为$(1/x,1/y)$（其几何意义就是变换前后两点的横纵坐标都关于-1,1调和共轭）,显然这个变换在横坐标和纵坐标是奇异的，只能将横坐标上的点变换到纵坐标的无穷远点，纵坐标上的点变换到横坐标的无穷远点，而且会将无穷远直线上的点都变换到原点。
首先我们考虑特殊的同时经过A,B,C三点的二次曲线，就是双曲线$(x-a)(y-b)=ab$（也可以写成齐次形式$1/z-a/x-b/y=0$）,它将被变换为$(1/x-a)(1/y-b)=ab$,即直线$1-ax-by=0$,所以同样符合我们前面得出的经过三个点的二次曲线被映射为一条不经过三个点的直线。反之，任意不经过原点和不平行于坐标轴的直线被映射为经过原点，渐近线平行坐标轴的双曲线。
其次，我们如果考虑任意经过B,C两点但是不经过A点的二次曲线，也就是渐近线平行坐标轴，但是不经过原点的双曲线$(x-a)(y-b)=c, c!=ab$,于是被映射为另外一条同样渐近线平行于坐标轴不经过原点的双曲线$(1/x-a)(1/y-b)=c$即$(x+b/{c-ab})(y+a/{c-ab})=c/{(c-ab)^2}$
所以如果是不变曲线，必然有$|c-ab|=1$,其中$c-ab=1$时，有$a=-b,c=1-a^2$,而$c-ab=-1$时$a=b,c=a^2-1$。所以对应双曲线$(x-a)(y-a)=a^2-1$或$(x-a)(y+a)=1-a^2$,前者经过不动点$(-1,1),(1,-1)$,后者经过不动点$(1,1),(-1,-1)$
当然，经过A,B两点或A,C两点也有不变曲线，形式稍微差些，这里就不关注了。

而如果我们通过复射影变换将x轴和y轴的无穷远点映射为圆的两个无穷远点$(1,i,0),(1,-i,0)$,那么上面的这些特殊双曲线就会被映射为圆，而这个三坐标反演就被映射为普通反演后在关于x轴做对称变换。而如果通过数值计算，那么使用特殊双曲线的三坐标变换显然比使用圆的反演变换要远远容易。

而上面变换的变换中心在原点，而且使用了特殊的纵横比。而更一般的，对于任意将$(x,y)$变换为$((ax+b)/(cx-a), (ey+f)/(gy-e))$,也就是将横纵坐标各自进行对合变换

mathe

原来三坐标反演就是等角共轭
我们这里的定义是关于边的中点和无穷远点共轭调和，而等角共轭是关于角平分线和外角平方线在边上交点共轭调和
从等角共轭的维基百科链接
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Isogonal_conjugate
我们可以找到胡说版的等分共轭https://en.m.wikipedia.org/wiki/Isotomic_conjugate
不过链接里坐标变换公式和我们不一致，要检查一下

mathe

在射影几何中，中点与调和共轭有着内在的联系。我们发现一个隐去中点、通过调和共轭来定义仿射平面上三坐标反演的方式。
对于给定的三角形和不在三角形边上任意一点P, P和三顶点连线与各自对边的交点关于对边俩顶点的调和共轭点三点共线。
共线是由迪萨格定理保证的，这条线称为P点对应的透视轴。对于原三角形来说，它也叫P点对应的梅涅劳斯线。
于是P点与其梅涅劳斯线（用线坐标表示）的对应就是一个三坐标反演。

三坐标反演的调和共轭定义

我们仍然取基于该三角形ABC的重心坐标（也称为面积坐标，即1#中大斜面上的三维坐标）。
如1#所见，`PA`、`PB`、`PC`与`BC`、`CA`、`AB`的对应交点为`(0,v,w), (u,0,w), (u,v,0)`, 显然相应的调和共轭点为`(0,-v,w), (u,0,-w), (-u,v,0)`。
由`(0,-v,w)+(u,0,-w)+(-u,v,0)=(0,0,0)`知三点共线。设这条线的线坐标为`(u',v',w')`, 则\[
\begin{bmatrix}0&&-v&&w\\u&&0&&-w\\-u&&v&&0\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}u'\\v'\\w'\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
\]展开即得\[
uu'=vv'=ww'\]
这个点到线的映射，当然也可以理解为点到线的对偶点的映射。