由三角形引导的一个几何变换——三坐标反演

hujunhua

上接@Isr314的求一个几何定理的名字

让我们推导一下那边八楼构造的那个变换的代数表达式。
由于要求对于给定的三角形ABC, 对于其内部任意一点P,连接PA,PB,PC分别交对边于D,E,F；找出D,E,F在对边上（关于对边中点的）对称点D',E',F'，
那么AD',AE',AF'必然交于一点P'。 P=>P'就构成了平面上除了三边所在直线上的点之间一种对合变换。

所构造的变换在仿射变换下保持不变，故可方便地在正三角形中讨论。所得结果作一仿射变换就是一般三角中的对应结果。
正三角形是三阶对称的，这在平面直角坐标系中不易体现，故我们把这个正三角形放在三维坐标系中的大斜面\[x+y+z=1\]上，三个顶点分别取`A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)`。

大斜面上的点用该点与原点的连线来代表，大斜面上的直线用该直线与原点决定的平面方程来代表，大斜面上的曲线用该曲线与原点决定的锥面方程来代表。
这其实就是射影几何中的齐次坐标。只不过我们所取的无穷远直线是\[x+y+z=0\]罢了。三角形的三条边分别是\[
BC:x=0,CA:y=0,AB:z=0
\]我们将直线`ax+by+cz=0`也取其线坐标`[a,b,c]`来表示，则无穷远线=`[1,1,1]`, `BC=[1,0,0], CA=[0,1,0], AB=[0,0,1]`.
（很凑巧，三角形ABC的顶点与对边正好构成对偶对应。当然，这样的自偶三角形是无穷多的。）

齐次坐标带有一个隐形的不定比例系数，我们总是假定这个不定系数自动使得坐标之和等于1（自动归一化）。
比如`BC`的中点为`(0,1,1)`,其实带有一个隐形系数`\frac12`, 乘入后为`(0,\frac12,\frac12)`.

记`(a_1,b_1,c_1)`与`(a_2,b_2,c_2)`的叉积为\[
\begin{vmatrix}a_1&&b_1&&c_1\\a_2&&b_2&&c_2\end{vmatrix}:=k(b_1c_2-b_2c_1,c_1a_2-c_2a_1,a_1b_2-a_2b_1)
\]这里`k`即是齐次坐标的隐形系数，以后我们仍然让它隐形。这是在齐次坐标下求两点连线线坐标和两线交点点坐标的公式。

点 `P` 与顶点 `A`  的连线线坐标为\[A\times P=\begin{vmatrix}u&&v&&w\\1&&0&&0\end{vmatrix}=[0,w,-v]
\]记连线`AP`与边`BC[1,0,0]`(线坐标）的交点为 `D`, \[
D=AP\times BC=\begin{vmatrix}0&&w&&-v\\1&&0&&0\end{vmatrix}=(0,v,w)
\]易得 `D` 关于`BC`边上的中点`(0,1,1)`的对称点即是`D'(0,w,v)`, 所以\[
AD'=\begin{vmatrix}0&&w&&v\\1&&0&&0\end{vmatrix}=[0,v,-w]
\]同理可得线坐标`BE'[-u,0,w],CF'[u,-v,0]`.
由`[0,v,-w]+[-u,0,w]+[u,-v,0]=[0,0, 0]`知三线共点。设该点为`P'(u',v',w')`,则\[
\begin{bmatrix}0&&-v&&w\\u&&0&&-w\\-u&&v&&0\end{bmatrix}
\begin{pmatrix}u'\\v'\\w'\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}
\]展开可得\[
uu'=vv'=ww'\]
此即`P\to P'`的代数关系式，按惯例作字符代换写为\[(x,y,z)\to(x',y',z'):xx'=yy'=zz'\]结果的对称性在意料之中，但简洁漂亮却出乎意料。根据这个表达式的特点，我们把这个变换称为三坐标反演。

hujunhua

【性质1】三坐标反演下恰有4个不动点为`(\pm1,\pm1,\pm1)`, 即`(1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)`.
注：正负号貌似有8种组合，但考虑齐次坐标的不定隐形系数，实际只有4种组合。
证明：解方程\[x^2=y^2=z^2\]即得。
四个不动点的位置如图

不动点与顶点分布的一个特点：任意两个不动点的连线通过一个顶点。
结合后面的性质3.2得到关于不变直线的性质定理
【性质1'】三坐标反演下恰有6条不变直线，为4个不动点的两两连线。

hujunhua

【性质2.1】除去三角形边上的点和顶点，三坐标反演是一个对合。
【性质2.2】三角形边上的点——顶点除外——都映射到相对顶点，包括边上的复点也不例外。
【性质2.3】三角形顶点的映像位于对边上，具体位置取决于逼近顶点的路径。即通过三角形的某顶点比如A的曲线，作图确定在曲线上的该顶点A的映像时，A与自身的连线即曲线在该点的切线。故顶点的像是曲线在该的切线像与对边的交点。

hujunhua

【性质3.1】一般直线映射为通过三个顶点的二次曲线。该曲线还通过原直线上的一对对合点。
证明：直线\[ax+by+cz=0\]映射为曲线\[ayz+bzx+cxy=0\]这是一条二次曲线，并且恒过三角形的三个顶点。
原直线上的一对对合点互为源像，故在像曲线上。
【性质3.1'】通过三个顶点的非退化二次曲线映射为一条一般直线。该直线经过原二次曲线上的一对对合点。
这是性质3.1的逆命题，容易证明，略。
推论：通过三个顶点和一个不动点非退化二次曲线映射为该曲线在该不动点的切线。

（偷个懒，@mathe在那边的图给我借用一哈）
【性质3.2】过一个顶点的直线仍然映射为通过该顶点的直线。
证明：以过顶点`C(0,0,1)`的直线，即`c=0`为例，其映像为\[ayz+bzx=0\]映像上的一般点`z\ne0`, 故一般点在直线\[ay+bx=0\]上，这仍然是过顶点`C`的直线。`z=0`的点应于顶点C的映像，按性质2.3可确定是上述直线与边AB的交点。

hujunhua

补充说明：
【定义】三角形的外接同心椭圆  三角形的诸外接椭圆中，中心与三角形重心重合者。

我们在那边8#曾说取三个交点的外接圆作为新生三交点的交成圆不佳，应该取一个仿射不变的二次曲线，然后实际取了一例，形成了现在此处讨论的这个变换。
但那里描述新生三点时没有显在地使用一条二次曲线，实际上我们使用的就是上面定义的三角形的外接同心椭圆，三个交点的。

hujunhua

特例：三角形的外接同心椭圆映射为无穷远线。

按性质3.1'，三角形ABC的外接同心椭圆映射为一条直线。由\[x^2+y^2+z^2=1\\x+y+z=1\]联立消得到这个外接同心椭圆（即正三角形的外接圆）的齐次方程为\[yz+zx+xy=0\]故它映射为直线\[x+y+z=0\]这正是前面已有交代的无穷远线。

wayne

老胡 很有创造性，赞赞赞

mathe

由于三坐标反演具有射影不变性，我们通过射影变换将B,C两点分别映射为虚无穷远点`(1,i,0), (1,-i,0)`, 而将A点变化为我们平时的平面坐标原点$(0,0,1)$, 这样变换以后最大的好处就是所有同时经过B,C两点的非退化二次曲线都变成了圆。
于是，现在在此意义上，所有经过原点A的圆经过映射以后都变成了直线，所有经过A点的直线经过映射以后还是过A点的直线，而所有不经过A点的直线映射以后都变成了经过A点的圆，这能让我们想到什么了呢？
所以我猜测原题中，经过三角形两个顶点的非退化圆锥经过三坐标反演后还是经过那两个顶点的非退化圆锥曲线

hujunhua

【性质4.1】通过两个顶点但不通过第三个顶点的二次曲线簇在变换下封闭。
              换种说法：通过两个顶点但不通过第三个顶点的二次曲线仍然映射为通过这两个顶点的二次曲线。
证明：以通过顶点`B(0,1,0)`和`C(0,0,1)`的二次曲线为例，将顶点坐标代入二次曲线一般方程\[ax^2+by^2+cz^2+2dyz+2ezx+2fxy=0\]得`b=c=0`, 即过顶点`B,C`的二次曲线一般方程为\[ax^2+2dyz+2ezx+2fxy=0\]其映像为\[ayz/x+2dx+2ey+2fz=0\]即\[ayz+2dx^2+2exy+2fzx=0\]与原方程比较可知这仍然是一条过顶点 `B` 和 `C`的二次曲线。

【性质4.2】不恰好通过两个顶点的非退化二次曲线在变换下不能保持为非退化二次曲线。
证明：分情况讨论。
1、通过三个顶点的，按性质3.1‘是映射为一条一般直线的。
2、不通过任何顶点或者只通过一个顶点的，分类考察它与三角形三边相交的各种情况，都表明像曲线必通过三个顶点，故不可能是一条非退化的二次曲线，否则源曲线该是一条普通直线了。

hujunhua

【命题1】通过两个顶点和两个不动点（无三点共线）的二次曲线为变换下的不变曲线。

不变二次曲线

证明：沿袭上面的选择，以过B和C的曲线为例，方程为\[
ax^2+dyz+ezx+fxy=0
\]曲线再过两个不动点而无三点共线的组合有两种：
一、(1,1,1)和(-1,1,1)→a+d=0,e+f=0，方程为`ax^2-ayz+ezx-exy=0`.
二、(1,-1,1)和(1,1,-1)→a-d=0,e-f=0，方程为`ax^2+ayz+ezx+exy=0`.
容易验证两者皆为不变曲线。