- 注册时间
- 2009-6-9
- 最后登录
- 1970-1-1
- 威望
- 星
- 金币
- 枚
- 贡献
- 分
- 经验
- 点
- 鲜花
- 朵
- 魅力
- 点
- 上传
- 次
- 下载
- 次
- 积分
- 19898
- 在线时间
- 小时
|
发表于 2019-4-19 19:07:28
|
显示全部楼层
为了计算方便,我们先设三角形\(ABC,A[x_1,y_1],B[0,0],C[a,0]\),及定点\(G[x_0,y_0]\)反向解析外切的圆锥曲线:
\(a_1x^2+2a_2xy+a_3y^2+2a_4x+2a_5y+a_6=0\)
由于圆锥曲线的切线为AB,AC,BC,及过G点的任何三线\(L_1: y-y_0=k_1(x-x_0) ,L_2: y-y_0=k_2(x-x_0) ,L_3: y-y_0=k_3(x-x_0)\) 的关于各边中点的对称线,主要是针对任意的\(k_1,k_2,k_3\)成立;我们求出满足条件的圆锥曲线:
\(-2a^5y^2y_0-2a^5yy_0^2+2ab^4y^2y_0+2ab^4yy_0^2-4ab^2c^2y^2y_0-4ab^2c^2yy_0^2+2ac^4y^2y_0+2ac^4yy_0^2-a^4sy^2+6a^4syy_0-a^4sy_0^2-4a^3sxyy_0+4a^3sxy_0^2+4a^3sx_0y^2-4a^3sx_0yy_0-2a^2b^2sy^2-12a^2b^2syy_0-2a^2b^2sy_0^2+2a^2c^2sy^2+12a^2c^2syy_0+2a^2c^2sy_0^2-4a^2sx^2y_0^2+8a^2sxx_0yy_0-4a^2sx_0^2y^2+12ab^2sxyy_0+4ab^2sxy_0^2+4ab^2sx_0y^2+12ab^2sx_0yy_0-12ac^2sxyy_0-4ac^2sxy_0^2-4ac^2sx_0y^2-12ac^2sx_0yy_0-b^4sy^2-2b^4syy_0-b^4sy_0^2+2b^2c^2sy^2+4b^2c^2syy_0+2b^2c^2sy_0^2-c^4sy^2-2c^4syy_0-c^4sy_0^2+8a^3s^2y+8a^3s^2y_0-8a^2s^2xy-24a^2s^2xy_0-24a^2s^2x_0y-8a^2s^2x_0y_0+8ab^2s^2y+8ab^2s^2y_0-8ac^2s^2y-8ac^2s^2y_0+16as^2x^2y_0+16as^2xx_0y+16as^2xx_0y_0+16as^2x_0^2y-8b^2s^2xy-8b^2s^2xy_0-8b^2s^2x_0y-8b^2s^2x_0y_0+8c^2s^2xy+8c^2s^2xy_0+8c^2s^2x_0y+8c^2s^2x_0y_0-16a^2s^3+32as^3x+32as^3x_0-16s^3x^2-32s^3xx_0-16s^3x_0^2=0\)
我们分别取
\(a=5,b=4,c=3,s=6,x_0=2,y_0=2,k_1=\frac{1}{5},k_2=\frac{1}{3},k_3=-\frac{1}{4}\)
\(-96x^2+384xy-12384y^2+384x+4032y-384=0\)
画图得到:
\(a=5,b=4,c=3,s=6,x_0=-2,y_0=2,k_1=\frac{1}{5},k_2=\frac{1}{3},k_3=-\frac{1}{4}\)
\(-96x^2-20736xy-27744y^2+4992x+102336y-64896=0\)
画图得到:
我们利用重心坐标反演公式:
\(x=-\frac{a^2x_1+2a^2y_1+b^2x_1-c^2x_1-2a^2}{2a},x_0=-\frac{a^2x_2+2a^2y_2+b^2x_2-c^2x_2-2a^2}{2a}, y=\frac{2x_1s}{a}, y_0=\frac{2x_2s}{a},x_1+y_1+z_1=1,x_2+y_2+z_2=1\)
代入上面圆锥曲线方程得到:
\(x_1^2y_2^2-2x_1x_2y_1y_2+x_2^2y_1^2-2x_1^2y_2-2x_1x_2y_1-2x_1x_2y_2-2x_1y_1y_2-2x_1y_2^2-2x_2^2y_1-2x_2y_1^2-2x_2y_1y_2+x_1^2+2x_1x_2+2x_1y_1+4x_1y_2+x_2^2+4x_2y_1+2x_2y_2+y_1^2+2y_1y_2+y_2^2-2x_1-2x_2-2y_1-2y_2+1=0\)
进一步简化得到:
\(x_1^2x_2^2+y_1^2y_2^2+z_1^2z_2^2-2x_1x_2y_1y_2-2x_1x_2z_1z_2-2y_1y_2z_1z_2=0\)
|
|