一个三角形三边边长是三个连续自然数，其中一个角是另外一个角的两倍，求三边长度

mathematica

一个三角形三边边长是三个连续自然数，其中一个角是另外一个角的两倍，求三边长度。初中数学题，怎么做？穷举法？

mathe

应该高中做吧，初中学过正弦余弦定理吗？结果应该是4，5，6?口算的，可能会计算错误

mathematica

估计是做角平分线的吧！

mathe

角平分线加相似能得出。不过向外扩充成等腰好像更方便

mathe

设B=2A.延迟AB到D使得三角形CAD等腰，其中A=D于是根据相似可得

mathematica

mathe 发表于 2019-1-19 10:53
设B=2A.延迟AB到D使得三角形CAD等腰，其中A=D于是根据相似可得

我只会用三角函数解方程！

mathe

如图

wayne

只做一根辅助线也可以，就做那个二倍角的角平分线。设角$B=2A$，$B$的对边$b$被分成$x,b-x$,运用相似三角形, 把三边的比都列上，得到$a/b ={b-x}/a=x/c =>    b/{a+c}$，最后一步直接用比例式的相加特点，就消去了未知数$x$,接下来跟mathe一样.分情况讨论。

mathematica

mathe 发表于 2019-1-19 15:25
如图

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*计算余弦值的函数*)
   
3. cos[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*计算三个角的余弦值*)
   
5. ca=cos[x,x-1,x+1]
   
6. cb=cos[x+1,x-1,x]
   
7. cc=cos[x,x+1,x-1]
   
8. (*分三种情况计算,利用余弦二倍角公式计算*)
   
9. Solve[ca==2*cb^2-1&&x>2,{x}]
   
10. Solve[ca==2*cc^2-1&&x>2,{x}]
    
11. Solve[cb==2*cc^2-1&&x>2,{x}]
    

复制代码

\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{2} \left(\sqrt{13}+3\right)\right\}\right\}\]
约等于3.30277563773199464
\[\{\{x\to 5\}\}\]

mathematica

mathe 发表于 2019-1-19 15:25
如图

是否存在三角形三边长度是等差数列，然后三角角度也是等差数列呢？
似乎是不存在的，但是如何证明呢？