兔子问题

倪举鹏

第一年有1对兔子，以后每一年活着的兔子都能繁殖出一倍兔子来（活着的兔子乘以2）。兔子寿命都是10年。第n年有多少对兔子

倪举鹏

第一年的第一对兔子是1岁，以后不许10岁的兔子存在

lsr314

第一只兔子是第二年才开始繁殖吗？每一只兔子9岁那一年是最后一次繁殖，也就是说每一只兔子都繁殖8次（2~9岁），对嘛？

倪举鹏

lsr314 发表于 2019-1-29 09:41
第一只兔子是第二年才开始繁殖吗？每一只兔子9岁那一年是最后一次繁殖，也就是说每一只兔子都繁殖8次（2~9 ...

繁殖9次，第一年就繁殖

282842712474

$$\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\ a_2\\ \vdots\\a_9\end{pmatrix}^{(r+1)}=\begin{pmatrix}1 & 1 & \dots & 1 & 0\\1 & 0 & \dots & 0 & 0\\ 0 & 1 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\ a_2\\\vdots\\a_9\end{pmatrix}^{(r)}$$

那就是
$$\begin{aligned}&a_0^{(r+1)} = a_0^{(r)} + \dots + a_8^{(r)}\\
&a_1^{(r+1)} = a_0^{(r)}\\
&a_2^{(r+1)} = a_1^{(r)}\\
&\vdots\\
&a_9^{(r+1)} = a_8^{(r)}\\
\end{aligned}$$
记
$$S_8^{(r)}=\sum_{i=0}^8 a_i^{(r)},\quad S^{(r)}=\sum_{i=0}^9 a_i^{(r)}$$
则
$$S^{(r+1)} = 2 S_8^{(r)}$$
以及
$$\begin{aligned}2 S_8^{(r)}=S^{(r+1)} =& S_8^{(r+1)}+a_9^{(r+1)}\\
=& S_8^{(r+1)}+a_8^{(r)}\\
=& S_8^{(r+1)}+a_7^{(r-1)}\\
=&\dots\\
=& S_8^{(r+1)}+a_0^{(r-8)}\\
=& S_8^{(r+1)}+S_8^{(r-9)}\\
\end{aligned}$$
这表明
$$S^{(r+1)}=2S^{(r)} - S^{(r-9)}$$

倪举鹏

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(n-9)

dlpg070

5#公式很棒
我采取一简化的递推数值计算公式，得20个数值结果如下表：不知对否
1岁  2岁  3岁  4岁  5岁  6岁  7岁  8岁  9岁 10岁  总数量(对数)
a[0] a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]  S
第1年 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S= 1
第2年 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 S= 2
第3年 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 S= 4
第4年 4 2 1 1 0 0 0 0 0 0 S= 8
第5年 8 4 2 1 1 0 0 0 0 0 S= 16
第6年 16 8 4 2 1 1 0 0 0 0 S= 32
第7年 32 16 8 4 2 1 1 0 0 0 S= 64
第8年 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 S= 128
第9年 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 S= 256
第10年 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 S= 512
第11年 511 256 128 64 32 16 8 4 2 1 S= 1022
第12年 1021 511 256 128 64 32 16 8 4 2 S= 2042
第13年 2040 1021 511 256 128 64 32 16 8 4 S= 4080
第14年 4076 2040 1021 511 256 128 64 32 16 8 S= 8152
第15年 8144 4076 2040 1021 511 256 128 64 32 16 S= 16288
第16年 16272 8144 4076 2040 1021 511 256 128 64 32 S= 32544
第17年 32512 16272 8144 4076 2040 1021 511 256 128 64 S= 65024
第18年 64960 32512 16272 8144 4076 2040 1021 511 256 128 S= 129920
第19年 129792 64960 32512 16272 8144 4076 2040 1021 511 256 S= 259584
第20年 259328 129792 64960 32512 16272 8144 4076 2040 1021 511 S= 518656

王守恩

dlpg070 发表于 2019-2-3 12:20
5#公式很棒
我采取一简化的递推数值计算公式，得20个数值结果如下表：不知对否
1岁  2岁  3岁  4岁  5岁  ...

倪举鹏网友！补充点资料，看能不能往前走一走。
由  f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(n-9)  倒推：

f(0)=1
f(1)=2
f(2)=4
f(3)=8
f(4)=16
f(5)=32
f(6)=64
f(7)=128
f(8)=256
f(9)=511
f(10)=1021
f(11)=2040
f(12)=4076
f(13)=8144
f(14)=16272
f(15)=32512
f(16)=64960
f(17)=129792
f(18)=259328
f(19)=518145

\(f(n)=[2^n-\frac{2^{(n-10)}\times (n-7)}{1!}+\frac{2^{(n-20)}\times (n-15)(n-18)}{2!}-\frac{2^{(n-30)}\times (n-23)(n-27)(n-28)}{3!}......]\)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-2-3 12:46
倪举鹏网友！补充点资料，看能不能往前走一走。
由  f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(n-9)  倒推：

f(n)是什么意义？和S并不完全一致
n>=9 不等 f !=S
因为你主动删除了，我没有提及它

王守恩

倪举鹏 发表于 2019-1-29 11:21
f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(n-9)

倪举鹏网友！补充点资料，看能不能往前走一走。
由  f(n)=f(n-1)+f(n-2)+……f(n-9)  倒推：
可知  f(n)表示出生数列

第 n 年：原有 + 出生  - 死亡 = 现有
第00年：0000+ 0001 - 0000 = 0001
第01年：0001+ 0001 - 0000 = 0002
第02年：0002+ 0002 - 0000 = 0004
第03年：0004+ 0004 - 0000 = 0008
第04年：0008+ 0008 - 0000 = 0016
第05年：0016+ 0016 - 0000 = 0032
第06年：0032+ 0032 - 0000 = 0064
第07年：0064+ 0064 - 0000 = 0128
第08年：0128+ 0128 - 0000 = 0256
第09年：0256+ 0256 - 0001 = 0511
第10年：0511+ 0511 - 0001 = 1021
第11年：1021+ 1021 - 0002 = 2040
第12年：2040+ 2040 - 0004 = 4076
第13年：4076+ 4076 - 0008 = 8144
第14年：8144+ 8144 - 0016 = ........

A104144   
1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, 32512,
64960, 129792, 259328, 518145, 1035269, 2068498, 4132920, 8257696, 16499120,
32965728, 65866496, 131603200, 262947072, 525375999, 1049716729, 2097364960,
4190597000, 8372936304, 16729373488, 33425781248, 66785696000, 133439788800,...