兔子问题

王守恩

王守恩 发表于 2019-2-10 17:53
64, 128, 192, 320, 512, 832, 1344, 2176, 3520, 5696, 9216

\(\D f(1)=\sum_{k=0}^{1}\frac{(1+ ...

                  这 20 楼与 24 楼怎么就相通了呢？   A000045        
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,
6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,
832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817,
39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296,433494437, 701408733,
      
\(\D f(n+1)=\sum_{k=n}^{n}\sum_{m=0}^{k/2}\frac{(k-m+1)*(k-2m)!*2^{k-3m}\ }{(k-3m+1)!*m!*\cos(m\pi)}=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{(1+\sqrt{5})^{k}+(1-\sqrt{5})^{k}}{2^{n+2}}\)   

王守恩

王守恩 发表于 2019-2-11 10:48
这 20 楼与 24 楼怎么就相通了呢？   A000045        
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

\[\D\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{8+\sqrt{13+\sqrt{21+\sqrt{34+\sqrt{55+\sqrt{89+\cdots\cdots\sqrt{n}}}}}}}}}}}=?\]

dlpg070

王守恩 发表于 2019-2-11 10:48
这 20 楼与 24 楼怎么就相通了呢？   A000045        
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

通项公式可以进一步化简
左边公式 可以用通用的通项公式：
f(n,k)= \(\sum _{m=0}^{\frac{k}{n}} \frac{\sec (\pi  m) 2^{k-m (n+1)} (k-m (n-1)+1) (k-m n)!}{m! (k-m (n+1)+1)!}\) n>=2,k>=0
此处取 n=2， k是序号
右边可以进一步简化
f(n+1)=\(\frac{2^{-n-1} \left(\left(\sqrt{5}-3\right) \left(1-\sqrt{5}\right)^n+\left(\sqrt{5}+3\right) \left(\sqrt{5}+1\right)^n\right)}{\sqrt{5}}\)   n>=0 是序号

dlpg070

32#题目很有趣 ：极值= 1.76218570508521556447357576174
这是我的结果，不知对错，只当做练习题
  n    f(n)
{1,  1.00000000000000000000000000000}
{11,1.76218570450529456249485829400}
{21,1.76218570508521556447357576160}
{31,1.76218570508521556447357576174}
{41,1.76218570508521556447357576174}
{51,1.76218570508521556447357576174}
{61,1.76218570508521556447357576174}
{71,1.76218570508521556447357576174}
{81,1.76218570508521556447357576174}
{91,1.76218570508521556447357576174}

n>=31 已经达极值

王守恩

王守恩 发表于 2019-2-12 18:54
\[\D\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{8+\sqrt{13+\sqrt{21+\sqrt{34+\sqrt{55+\ ...

\(\D\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{13}+\sqrt{\frac{1}{21}+\sqrt{\frac{1}{34}+\cdots+\sqrt{\frac{1}{n}}}}}}}}}}=?\)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-3-3 18:09
\(\D\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt ...

= 1.5192652115429556296136299974601069341986063521772292170532
供参考

王守恩

dlpg070 发表于 2019-3-3 21:01
= 1.5192652115429556296136299974601069341986063521772292170532
供参考

谢谢 dlpg070！我还是想问(很可能是个幼稚的问题)：
下面的不等号能不能成立？或者举个反例推翻，不胜感谢！
   
   A(0) < F(n) < B(0)
   A(1) < F(n) < B(1)
   A(2) < F(n) < B(2)
   A(3) < F(n) < B(3)
   A(4) < F(n) < B(4)
   A(5) < F(n) < B(5)
   A(6) < F(n) < B(6)
   A(7) < F(n) < B(7)
   A(8) < F(n) < B(8)
   A(9) < F(n) < B(9)


\(\D F(n)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{13}+\cdots\sqrt{\frac{1}{n}}}}}}}}
= 1.51926521154295562961...\)
\(\D A(0)=\sqrt{\frac{1+1}{1}}\)
\(\D A(1)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{2+1}{2}}}\)
\(\D A(2)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3+1}{3}}}}\)
\(\D A(3)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{5+1}{5}}}}}\)
\(\D A(4)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{8+1}{8}}}}}}\)
\(\D A(5)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{13+1}{13}}}}}}}\)
\(\D A(6)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{13}+\sqrt{\frac{21+1}{21}}}}}}}}\)

\(\D\cdots\cdots\)

\(\D B(0)=\sqrt{\frac{1+2}{1}}\)
\(\D B(1)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{2+2}{2}}}\)
\(\D B(2)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{3+2}{3}}}}\)
\(\D B(3)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{5+2}{5}}}}}\)
\(\D B(4)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{8+2}{8}}}}}}\)
\(\D B(5)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{13+2}{13}}}}}}}\)
\(\D B(6)=\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{5}+\sqrt{\frac{1}{8}+\sqrt{\frac{1}{13}+\sqrt{\frac{21+2}{21}}}}}}}}\)

\(\D\cdots\cdots\)

dlpg070

王守恩 发表于 2019-3-4 04:26
谢谢 dlpg070！我还是想问(很可能是个幼稚的问题)：
下面的不等号能不能成立？或者举个反例推翻，不胜 ...

手工按表达式计算，可能有笔误，
结论显然是不等式成立
an由下方接近Tn
bn由上方接近Tn

Tn= 1.51926521154295562961362999746

a0= 1.4142135623730950488
a1= 1.4915578672621418107
a2= 1.5120686620313605130
a3= 1.5172483996382512447
a4= 1.5186860232403721987
a5= 1.5190941335064211526
a6= 1.5192139191645409574
a7= 1.5192496575083794218
a8= 1.5192604627401542790
Tn= 1.51926521154295562961362999746
-------
b0= 1.7320508075688772935
b1= 1.5537739740300373073
b2= 1.5291436843424957979
b3= 1.5217943707949959899
b4= 1.5199969219778232517
b5= 1.5194776247451346267
b6= 1.5193288755336715681
b7= 1.5192844562782432070
b8= 1.5192710856310645578
Tn= 1.51926521154295562961362999746

王守恩

dlpg070 发表于 2019-3-4 11:27
手工按表达式计算，可能有笔误，
结论显然是不等式成立
an由下方接近Tn

谢谢dlpg070 ！
手工按表达式计算，可能有笔误，结论显然是不等式成立
an由下方接近Tn：an在慢慢增加，但好像又达不到Tn，永远比Tn要小。
bn由上方接近Tn：bn在慢慢减小，但好像又到不了Tn，永远比Tn要大。
an与bn永远不可能靠拢，更不会擦肩而过。
只要 Tn 是单位分数好像都有这个规律，譬如：
分母是1,2,3,4,5,6,7,8.............
分母是平方数，分母是立方数，.......
这可能是一件很简单的常识，只是我们暂时还不知道。
谢谢 dlpg070！ 不要在意结论，我是抱着 “玩” 的心态在享受解题的过程。