CSDNer是怎么死的？

mathe

多方博弈还有一个问题就是部分参与者在不影响自己收益的前提下可以影响他人的收益。比如本题中前面我选择让奇数号选手选择大于5000的素数。但是估计改成大于6000或大于4000的素数对于他们都是安全的。但是他们的不同选择会立即影响0号选手的死亡率。

KeyTo9_Fans

由于实战模拟时，奇数号死得太少，导致策略调整的效率太低，很多数字都无法区分好坏。

于是我们采取如下方法来改进策略调整的效率。

奇数号不再通过统计【实际死亡次数】来调整策略，而是通过统计【潜在死亡次数】来调整策略，具体要统计的量如下。

每个奇数号不论选择了什么数字，死还是没死，他都假定其余$9$个人选的数字不变，

然后他把$1$到$10000$各选$1$遍，看看在其余$9$个人选的数字不变的情况下，选哪些数会死。

这样一下子就得到了$10000$个样本，于是样本收集的效率就提高了$10000$倍。

不仅如此，每个奇数号还可以将别人的数重选，把$1$到$10000$各选$1$遍，

然后假设其余$9$个人选的数字不变，看看自己会死多少次。

这样一下子又得到了$9*10000=90000$个样本，一共$100000$个样本。

于是样本收集的效率又提高了$10$倍，一共提高$100000$倍。

第$11$次迭代：

重复$200$亿次试验，得到$0$号的死亡率为$77.02%$。

偶数号通过统计实际死亡次数调整策略，奇数号通过统计潜在死亡次数调整策略。

调整后，$1$号最常用的$25$个数字如下。

1. 数字 选取概率 分解
   
2. 1741 0.00010875 1741
   
3. 2531 0.00010875 2531
   
4. 2543 0.00010875 2543
   
5. 2593 0.00010875 2593
   
6. 2999 0.00010875 2999
   
7. 3067 0.00010875 3067
   
8. 3118 0.00010875 2*1559
   
9. 3251 0.00010875 3251
   
10. 3301 0.00010875 3301
    
11. 3323 0.00010875 3323
    
12. 3418 0.00010875 2*1709
    
13. 3637 0.00010875 3637
    
14. 3709 0.00010875 3709
    
15. 3761 0.00010875 3761
    
16. 3778 0.00010875 2*1889
    
17. 3793 0.00010875 3793
    
18. 3989 0.00010875 3989
    
19. 4157 0.00010875 4157
    
20. 4174 0.00010875 2*2087
    
21. 4177 0.00010875 4177
    
22. 4231 0.00010875 4231
    
23. 4243 0.00010875 4243
    
24. 4253 0.00010875 4253
    
25. 4327 0.00010875 4327
    
26. 4409 0.00010875 4409

复制代码

$3$号最常用的$25$个数字如下。

1. 数字 选取概率 分解
   
2. 2194 0.00010873 2*1097
   
3. 2287 0.00010873 2287
   
4. 2521 0.00010873 2521
   
5. 2621 0.00010873 2621
   
6. 2819 0.00010873 2819
   
7. 2851 0.00010873 2851
   
8. 2953 0.00010873 2953
   
9. 3329 0.00010873 3329
   
10. 3371 0.00010873 3371
    
11. 3391 0.00010873 3391
    
12. 3457 0.00010873 3457
    
13. 3547 0.00010873 3547
    
14. 3583 0.00010873 3583
    
15. 3613 0.00010873 3613
    
16. 3673 0.00010873 3673
    
17. 3739 0.00010873 3739
    
18. 3761 0.00010873 3761
    
19. 3847 0.00010873 3847
    
20. 3929 0.00010873 3929
    
21. 4057 0.00010873 4057
    
22. 4127 0.00010873 4127
    
23. 4129 0.00010873 4129
    
24. 4153 0.00010873 4153
    
25. 4211 0.00010873 4211
    
26. 4241 0.00010873 4241

复制代码

$5$号最常用的$25$个数字如下。

1. 数字 选取概率 分解
   
2. 5783 0.00011402 5783
   
3. 7433 0.00011399 7433
   
4. 7793 0.00011398 7793
   
5. 7691 0.00011398 7691
   
6. 6673 0.00011398 6673
   
7. 9431 0.00011398 9431
   
8. 8147 0.00011398 8147
   
9. 8377 0.00011398 8377
   
10. 7753 0.00011398 7753
    
11. 7639 0.00011398 7639
    
12. 6343 0.00011398 6343
    
13. 8837 0.00011397 8837
    
14. 7603 0.00011397 7603
    
15. 8753 0.00011397 8753
    
16. 5651 0.00011397 5651
    
17. 6427 0.00011397 6427
    
18. 5851 0.00011397 5851
    
19. 7577 0.00011397 7577
    
20. 7237 0.00011397 7237
    
21. 6221 0.00011397 6221
    
22. 7789 0.00011396 7789
    
23. 6323 0.00011396 6323
    
24. 6247 0.00011396 6247
    
25. 8941 0.00011396 8941
    
26. 8893 0.00011396 8893

复制代码

$7$号最常用的$25$个数字如下。

1. 数字 选取概率 分解
   
2. 2239 0.00010863 2239
   
3. 2447 0.00010863 2447
   
4. 2579 0.00010863 2579
   
5. 2677 0.00010863 2677
   
6. 3671 0.00010863 3671
   
7. 3673 0.00010863 3673
   
8. 3677 0.00010863 3677
   
9. 3769 0.00010863 3769
   
10. 4111 0.00010863 4111
    
11. 4139 0.00010863 4139
    
12. 4231 0.00010863 4231
    
13. 4261 0.00010863 4261
    
14. 4271 0.00010863 4271
    
15. 4357 0.00010863 4357
    
16. 4397 0.00010863 4397
    
17. 4441 0.00010863 4441
    
18. 4519 0.00010863 4519
    
19. 4547 0.00010863 4547
    
20. 4567 0.00010863 4567
    
21. 4618 0.00010863 2*2309
    
22. 4801 0.00010863 4801
    
23. 4943 0.00010863 4943
    
24. 5023 0.00010863 5023
    
25. 5087 0.00010863 5087
    
26. 5099 0.00010863 5099

复制代码

$9$号最常用的$25$个数字如下。

1. 数字 选取概率 分解
   
2. 2801 0.00010858 2801
   
3. 2833 0.00010858 2833
   
4. 2969 0.00010858 2969
   
5. 3167 0.00010858 3167
   
6. 3181 0.00010858 3181
   
7. 3359 0.00010858 3359
   
8. 3391 0.00010858 3391
   
9. 3407 0.00010858 3407
   
10. 3469 0.00010858 3469
    
11. 3697 0.00010858 3697
    
12. 3877 0.00010858 3877
    
13. 3889 0.00010858 3889
    
14. 3929 0.00010858 3929
    
15. 3947 0.00010858 3947
    
16. 4051 0.00010858 4051
    
17. 4093 0.00010858 4093
    
18. 4219 0.00010858 4219
    
19. 4241 0.00010858 4241
    
20. 4339 0.00010858 4339
    
21. 4357 0.00010858 4357
    
22. 4397 0.00010858 4397
    
23. 4409 0.00010858 4409
    
24. 4421 0.00010858 4421
    
25. 4481 0.00010858 4481
    
26. 4666 0.00010858 2*2333

复制代码

我们发现，奇数号通过统计潜在死亡次数后，一下子筛选掉了大量的数字，

其中，$5$号选手最常用的$25$个数字已经是$5000$以上的大素数了，已经符合我们的猜测了。

尽管如此，奇数号的策略还是没有调整到位，

因为$1$、$3$、$7$、$9$号最常用的$25$个数字的潜在死亡次数仍然全为$0$，还是无法区分好坏。

我们继续进行更多的迭代，看看结果如何。

第$12$次迭代：

重复$200$亿次试验，得到$0$号的死亡率为$77.03%$。

偶数号通过统计实际死亡次数调整策略，奇数号通过统计潜在死亡次数调整策略。

调整后，$1$、$3$、$7$、$9$号最常用的$25$个数字均为$3300$以上的大素数，

由于这些数字的潜在死亡次数仍然全为$0$，所以选取概率仍然是相等的，仍然无法区分好坏。

第$13$次迭代：

重复$280$亿次试验，得到$0$号的死亡率为$77.07%$。

偶数号通过统计实际死亡次数调整策略，奇数号通过统计潜在死亡次数调整策略。

调整后，$1$、$3$、$7$号最常用的$25$个数字均为$5000$以上的大素数，

唯独$9$号最常用的$25$个数字还有$1$个合数$7402=2*3701$。

由于这些数字的潜在死亡次数仍然全为$0$，所以选取概率仍然是相等的，仍然无法区分好坏。

第$14$次迭代：

重复$280$亿次试验，得到$0$号的死亡率为$77.12%$。

偶数号通过统计实际死亡次数调整策略，奇数号通过统计潜在死亡次数调整策略。

调整后，所有奇数号最常用的$25$个数字均为$5000$以上的大素数，

其中，$5$号所有的数字都有或多或少的潜在死亡记录，选取概率已经各不相等了。

而$1$、$3$、$7$、$9$号大概还各有$10$个数字的潜在死亡次数仍然为$0$，

所以这些数字的选取概率仍然是相等的，仍然无法区分好坏。

第$15$次迭代：

重复$360$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.771951$
$1$        $1.395603*10^{-10}$
$2$        $0.057012$
$3$        $1.435233*10^{-10}$
$4$        $0.057013$
$5$        $7.488109*10^{-9}$
$6$        $0.057011$
$7$        $1.421638*10^{-10}$
$8$        $0.057012$
$9$        $1.438545*10^{-10}$

偶数号通过统计实际死亡次数调整策略，奇数号通过统计潜在死亡次数调整策略。

调整后，所有奇数号最常用的$25$个数字均为$5000$以上的大素数，

而且$3$、$5$、$9$号的所有数字均存在或多或少的潜在死亡记录，选取概率已经各不相等了。

而$1$号和$7$号选手最常用的$2$个数字还没有潜在死亡记录，选取概率还是相等的。

第$16$次迭代：

重复$360$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.772777$
$1$        $1.059308*10^{-10}$
$2$        $0.056805$
$3$        $1.113417*10^{-10}$
$4$        $0.056805$
$5$        $5.771526*10^{-9}$
$6$        $0.056806$
$7$        $1.095944*10^{-10}$
$8$        $0.056807$
$9$        $1.056708*10^{-10}$

偶数号通过统计实际死亡次数调整策略，奇数号通过统计潜在死亡次数调整策略。

调整后，所有奇数号最常用的$25$个数字均为$5000$以上的大素数，

而且所有数字均存在或多或少的潜在死亡记录，选取概率已经各不相等了。

第$17$次迭代：

重复$360$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.773524$
$1$        $8.039123*10^{-11}$
$2$        $0.056617$
$3$        $8.992034*10^{-11}$
$4$        $0.056620$
$5$        $4.590711*10^{-9}$
$6$        $0.056622$
$7$        $8.664236*10^{-11}$
$8$        $0.056617$
$9$        $8.756082*10^{-11}$

第$18$次迭代：

重复$360$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.774309$
$1$        $6.719805*10^{-11}$
$2$        $0.056421$
$3$        $7.103495*10^{-11}$
$4$        $0.056421$
$5$        $3.787543*10^{-9}$
$6$        $0.056425$
$7$        $7.050820*10^{-11}$
$8$        $0.056423$
$9$        $7.061226*10^{-11}$

第$19$次迭代：

重复$380$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.775116$
$1$        $6.117630*10^{-11}$
$2$        $0.056222$
$3$        $6.108424*10^{-11}$
$4$        $0.056221$
$5$        $3.268261*10^{-9}$
$6$        $0.056223$
$7$        $6.259572*10^{-11}$
$8$        $0.056217$
$9$        $6.187787*10^{-11}$

第$20$次迭代：

重复$400$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.775931$
$1$        $5.073399*10^{-11}$
$2$        $0.056019$
$3$        $5.313456*10^{-11}$
$4$        $0.056017$
$5$        $2.896874*10^{-9}$
$6$        $0.056015$
$7$        $5.023227*10^{-11}$
$8$        $0.056018$
$9$        $5.189439*10^{-11}$

第$21$次迭代：

重复$420$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.776901$
$1$        $5.214562*10^{-11}$
$2$        $0.055775$
$3$        $4.924659*10^{-11}$
$4$        $0.055776$
$5$        $2.721101*10^{-9}$
$6$        $0.055774$
$7$        $5.101168*10^{-11}$
$8$        $0.055774$
$9$        $5.145353*10^{-11}$

第$22$次迭代：

重复$430$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.777705$
$1$        $4.212430*10^{-11}$
$2$        $0.055573$
$3$        $4.424658*10^{-11}$
$4$        $0.055573$
$5$        $2.451464*10^{-9}$
$6$        $0.055574$
$7$        $4.482291*10^{-11}$
$8$        $0.055574$
$9$        $4.162548*10^{-11}$

第$23$次迭代：

重复$480$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.778463$
$1$        $3.768623*10^{-11}$
$2$        $0.055383$
$3$        $3.950190*10^{-11}$
$4$        $0.055385$
$5$        $2.195604*10^{-9}$
$6$        $0.055385$
$7$        $3.801864*10^{-11}$
$8$        $0.055384$
$9$        $3.895297*10^{-11}$

第$24$次迭代：

重复$540$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.779311$
$1$        $3.619715*10^{-11}$
$2$        $0.055172$
$3$        $3.555563*10^{-11}$
$4$        $0.055173$
$5$        $2.010026*10^{-9}$
$6$        $0.055171$
$7$        $3.542090*10^{-11}$
$8$        $0.055172$
$9$        $3.741380*10^{-11}$

第$25$次迭代：

重复$540$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.780195$
$1$        $3.191716*10^{-11}$
$2$        $0.054950$
$3$        $3.404127*10^{-11}$
$4$        $0.054951$
$5$        $1.883126*10^{-9}$
$6$        $0.054951$
$7$        $3.282204*10^{-11}$
$8$        $0.054953$
$9$        $3.188985*10^{-11}$

第$26$次迭代：

重复$560$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.781042$
$1$        $2.925270*10^{-11}$
$2$        $0.054739$
$3$        $3.021091*10^{-11}$
$4$        $0.054740$
$5$        $1.747988*10^{-9}$
$6$        $0.054738$
$7$        $3.027332*10^{-11}$
$8$        $0.054740$
$9$        $3.079486*10^{-11}$

调整了这么多轮仍不见收敛（而且$0$号选手的死亡率一直呈线性增长），

说明每位选手的策略调整得太保守了。

我们接下来将每位选手的策略调整得更激进一点，看看结果如何。

第$27$次迭代：

重复$840$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.785700$
$1$        $2.597473*10^{-11}$
$2$        $0.053576$
$3$        $2.801610*10^{-11}$
$4$        $0.053574$
$5$        $1.579855*10^{-9}$
$6$        $0.053575$
$7$        $2.696235*10^{-11}$
$8$        $0.053575$
$9$        $2.565324*10^{-11}$

第$28$次迭代：

重复$560$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.791293$
$1$        $2.073234*10^{-11}$
$2$        $0.052176$
$3$        $2.140438*10^{-11}$
$4$        $0.052176$
$5$        $1.397814*10^{-9}$
$6$        $0.052177$
$7$        $2.193498*10^{-11}$
$8$        $0.052177$
$9$        $2.174245*10^{-11}$

第$29$次迭代：

重复$580$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.797906$
$1$        $1.844984*10^{-11}$
$2$        $0.050522$
$3$        $1.752809*10^{-11}$
$4$        $0.050525$
$5$        $1.292958*10^{-9}$
$6$        $0.050523$
$7$        $1.814397*10^{-11}$
$8$        $0.050524$
$9$        $1.813212*10^{-11}$

第$30$次迭代：

重复$600$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.805471$
$1$        $1.562614*10^{-11}$
$2$        $0.048633$
$3$        $1.617910*10^{-11}$
$4$        $0.048633$
$5$        $1.199316*10^{-9}$
$6$        $0.048631$
$7$        $1.670300*10^{-11}$
$8$        $0.048632$
$9$        $1.614907*10^{-11}$

第$31$次迭代：

重复$620$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.813861$
$1$        $1.254349*10^{-11}$
$2$        $0.046534$
$3$        $1.417980*10^{-11}$
$4$        $0.046536$
$5$        $1.137529*10^{-9}$
$6$        $0.046535$
$7$        $1.266786*10^{-11}$
$8$        $0.046534$
$9$        $1.374424*10^{-11}$

第$32$次迭代：

重复$640$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.822776$
$1$        $1.066750*10^{-11}$
$2$        $0.044307$
$3$        $1.039643*10^{-11}$
$4$        $0.044306$
$5$        $1.057229*10^{-9}$
$6$        $0.044307$
$7$        $9.898631*10^{-12}$
$8$        $0.044304$
$9$        $1.114298*10^{-11}$

第$33$次迭代：

重复$660$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.831969$
$1$        $8.538808*10^{-12}$
$2$        $0.042009$
$3$        $9.539246*10^{-12}$
$4$        $0.042007$
$5$        $1.004400*10^{-9}$
$6$        $0.042008$
$7$        $9.436494*10^{-12}$
$8$        $0.042007$
$9$        $9.009115*10^{-12}$

第$34$次迭代：

重复$680$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.841187$
$1$        $6.014600*10^{-12}$
$2$        $0.039706$
$3$        $6.591742*10^{-12}$
$4$        $0.039702$
$5$        $9.519614*10^{-10}$
$6$        $0.039702$
$7$        $6.711050*10^{-12}$
$8$        $0.039703$
$9$        $7.088424*10^{-12}$

第$35$次迭代：

重复$700$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.850232$
$1$        $4.909332*10^{-12}$
$2$        $0.037443$
$3$        $5.248688*10^{-12}$
$4$        $0.037441$
$5$        $8.988768*10^{-10}$
$6$        $0.037444$
$7$        $5.559128*10^{-12}$
$8$        $0.037440$
$9$        $5.073574*10^{-12}$

第$36$次迭代：

重复$720$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.859076$
$1$        $4.120787*10^{-12}$
$2$        $0.035231$
$3$        $4.292257*10^{-12}$
$4$        $0.035230$
$5$        $8.679699*10^{-10}$
$6$        $0.035233$
$7$        $4.154869*10^{-12}$
$8$        $0.035230$
$9$        $4.319119*10^{-12}$

第$37$次迭代：

重复$740$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.867836$
$1$        $4.998896*10^{-12}$
$2$        $0.033043$
$3$        $3.142661*10^{-12}$
$4$        $0.033040$
$5$        $8.360577*10^{-10}$
$6$        $0.033041$
$7$        $2.866555*10^{-12}$
$8$        $0.033040$
$9$        $2.758045*10^{-12}$

第$38$次迭代：

重复$760$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.876758$
$1$        $3.904711*10^{-12}$
$2$        $0.030812$
$3$        $2.657580*10^{-12}$
$4$        $0.030808$
$5$        $8.501756*10^{-10}$
$6$        $0.030813$
$7$        $2.287707*10^{-12}$
$8$        $0.030810$
$9$        $2.404530*10^{-12}$

第$39$次迭代：

重复$780$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.885924$
$1$        $1.778068*10^{-12}$
$2$        $0.028521$
$3$        $2.437702*10^{-12}$
$4$        $0.028517$
$5$        $8.603104*10^{-10}$
$6$        $0.028521$
$7$        $1.852792*10^{-12}$
$8$        $0.028517$
$9$        $2.152851*10^{-12}$

第$40$次迭代：

重复$800$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.895223$
$1$        $1.302716*10^{-12}$
$2$        $0.026196$
$3$        $1.235780*10^{-12}$
$4$        $0.026192$
$5$        $8.549189*10^{-10}$
$6$        $0.026197$
$7$        $1.363999*10^{-12}$
$8$        $0.026192$
$9$        $1.990099*10^{-12}$

mathe

前面的分析我们已经知道奇数号选手喜欢选择大素数。
而对于2,4,6,8号选手来说，他们最主要的目标就是让乘积中某个素因子的次数模5为4，从而可以嫁祸到0号(或极低概率的5号)选手。
显然越小的素因子可操控性越强，所以他们会倾向于只选择那些仅含小素因子的整数，使得对于这些小素因子，会有尽量大的概率使得其中某个在乘积中出现的次数模5为4.
比如对于素因子2，显然他们的目标要2出现次数模5为4的概率越大越好，不要小于某个接近1/5的目标值.而同样0号选手要对这些小素数做抵御，使得这个概率不会太大，所以目标就是这个概率不要大于某个接近1/5的目标值。同样对于其它小素数3,5,7等都会有类似的操作。但是对于越大的素因子，可操作性越弱，总次数能够达到4的概率会很低，所以目标值会很小。
比如如果双方仅操控只含2,3,5,7,11素因子的数字，在没有不大于10000的限制下，结果次数模5为4的概率应该和其它的都相同，达到维纳均衡时都是1/5,所以最后0号选手牺牲概率就是1-(1-1/5)^5=0.67232.而如果能够操控更多素因子，0号选手牺牲概率还要继续增加。

mathe

为了降低计算量，我们可以考虑1,3,5,7,9号选手总是平均概率选择大于5000的素数，而0,2,4,6,8号选手总是只以一定概率选择那些所有素因子小于20的数（这样需要考虑的数字就不会很多了），另外，如果某个素因子次数大于等5，那么把次数减去5后效果是相同的，所以我们总可以认为每个选定的数中每个素因子次数不大于4，然后计算出这种情况下0号选手的死亡率估计已经会离实际最佳结果很接近了

KeyTo9_Fans

第$41$次迭代，重复$100$万次试验，得到$0$号选手的死亡率已经高达$90.4%$了，

说明$0$号选手死得太多了，导致很多数字都无法区分好坏，策略调整的效率又大大降低了。

于是接下来$10$个成员全部采用【潜在死亡次数】来调整策略，

也就是每次试验不论选择了什么数字，死还是没死，都假定其中$9$个人选的数字不变，

然后剩下$1$人从$1$到$10000$各选$1$遍，看看选哪些数会把自己整死。

这样每次实验每人都可以得到$100000$个样本用于分析，效率会大大提高。

第$41$次迭代：

重复$0.5$亿次试验，得到各选手的死亡率如下。

$0$        $0.904004$
$1$        $9.580946*10^{-13}$
$2$        $0.024025$
$3$        $1.198199*10^{-12}$
$4$        $0.024178$
$5$        $8.687553*10^{-10}$
$6$        $0.024050$
$7$        $1.196017*10^{-12}$
$8$        $0.023969$
$9$        $1.125888*10^{-12}$

qianyb

.............

KeyTo9_Fans

再继续迭代下去，$0$号的死亡率会收敛到$1$。

这是因为目前能找到的所有的纳什均衡点都是$0$号必死。

例如，当
$1$号选$5717$
$2$号选$5*11*11*11$
$3$号选$2*3659$
$4$号选$2*2*13*13*13$
$5$号选$6661$
$6$号选$7*7*11*13$
$7$号选$7879$
$8$号选$5*5*5*7*7$
$9$号选$2*3821$时，

任何一个人单方面改变自己的策略，都无法获得更低的死亡率，所以这是该游戏的一个纳什均衡点。

而在这个纳什均衡点里，$0$号无论选什么都死，死亡率为$100%$。

所以如果这个游戏可以无限重复玩的话，

一开始大家会根据多次迭代后的策略选数，

于是每次游戏，$1$到$9$号都有一定的概率选中$0$号必死的纳什均衡点，

而一旦$1$到$9$号选中了该纳什均衡点后，

他们就必活了，就不会再改变策略了，

于是此后所有的游戏都是$0$号死，

所以该游戏无限重复后，$0$号的死亡率为$1$，$1$到$9$号的死亡率为$0$。

#####

如果该游戏只能玩$1$次，各选手又会如何选数呢？

mathe

你这个结论算合谋情况，9对1自然0号必然翘辫子了。我们还可以假设0号还可以拉到余下9人中8人，比如除5号以外，许诺采用保证8人不死的方案，让自己以更低的概率死亡。
当然本题正确的模型就是不存在合谋，每个人可以在自己脑海模拟无数局，但是各人得出结论不能交流，然后一局定结果

KeyTo9_Fans

博弈论里定义的【纳什均衡点】只是要求【任何一个人单方面改变自己的策略，都无法获得更低的死亡率】，

我感觉这个要求太弱了，在楼主设定的游戏里，这样的均衡点多如牛毛，无法知道到底哪个【纳什均衡点】才是最终的策略。

而通过迭代的方法，大家的策略会收敛到其中一个【纳什均衡点】上，

而一旦进入了一个【纳什均衡点】，大家的策略就稳定下来了，就很难再跳到别的纳什均衡点上了。

就好比通过局部调整法找到函数的一个极值后，局部调整就稳定下来了，就很难再跳到别的极值点上了，

所以无法保证局部调整得到的极值就是函数的最值。

所以我觉得【纳什均衡点】在这里并不适用，可能存在更强的均衡点，例如，

【任何$2$个人在其余$8$人都不改变策略的前提下进行$2$人博弈，他们仍然会继续使用自己当前的策略】。

【任何$3$个人在其余$7$人都不改变策略的前提下进行$3$人博弈，他们仍然会继续使用自己当前的策略】。

……

【任何$9$个人在剩余$1$人不改变策略的前提下进行$9$人博弈，他们仍然会继续使用自己当前的策略】。

不知道研究【多方博弈】的文献里有没有这样的定义和求解方法。