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[猜想] a^2 + b^2 - a*b = c^2

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发表于 2019-3-12 20:40:21 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 王守恩 于 2019-3-13 06:58 编辑

猜想一: a,b,c是三角形的三条边, a,b,c是整数,a <  c  < b,
c 对应的角是 60°,根据余弦定理:a^2 + b^2 - a*b = c^2,
猜想: a 可以是 > 4 的所有整数; b 肯定是合数。 会有反例吗?
  猜想二:a,b,c是三角形的三条边, a,b,c是整数,a <  c  < b,
c 对应的角是 120°,根据余弦定理:a^2 + b^2 + a*b = c^2,
猜想: a 可以是 > 4 的所有整数; b 肯定是合数。 会有反例吗?


补充内容 (2019-3-15 18:48):
朴素的想法(-):把边长是 b 的正三角形分成左右两个三角形,公共边是 c,两个短边 a 合起来是一个完整的 b,设想两个三角形六条边(c,c,b,b,a,a)都是整数时,a (取较小) 可以是 > 4 的所有整数; b 肯定是合数。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-13 01:13:09 | 显示全部楼层
A,C,B= 5,8,7
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发表于 2019-3-13 01:17:28 | 显示全部楼层
5,7,8之中,b=8不是反例。a 可以为3啊,3,7,8 也是60度角。试了一下a=5-300,未找到反例
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发表于 2019-3-13 02:05:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2019-3-13 07:11 编辑

$m>1$

$a=2m+1$
$b=m^2+2m$
$c=m^2+m+1$

满足题目要求
1.  $a+b>c,a+c>b,b+c>a$
2.  $a^2+b^2-c^2=ab$
3.  $a<c<b$

此时

         $a=2m+1$ 表示所有大于1的奇数。
         $b=m(m+2) $是个合数。
         $2a,2b,2c$代表所有最小边大于4的偶数。

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旋着右边的“评分”  发表于 2019-3-14 22:16
谢谢 northwolves!献上鲜花(是怎么按出来的?),我们是朋友!  发表于 2019-3-14 09:46
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发表于 2019-3-13 07:49:01 | 显示全部楼层
题目可以改写为
$(2c)^2-3b^2=(2a-b)^2$
对于Pell方程$X^2-3Y^2=1$的任意一组解$X_0,Y_0$和参数$u$
那么我们可以选择$2c=uX_0, b=uY_0, 2a-b=u$
于是我们得出$a={u(1+Y_0)}/2, b=uY_0, c={uX_0}/2$
比如选择$X_0=2,Y_0=1$,那么可以得出一组解$a=u,b=u,c=u$
由于$(2-\sqrt(3))^2=7-4\sqrt(3)$,我们得出另外一组$X_0=7,Y_0=4$,这时u需要选择为偶数$2v$,得出通解
$a=5v, b=8v,c=7v$

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谢谢mathe!  发表于 2019-3-14 09:37
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发表于 2019-3-13 08:04:05 | 显示全部楼层
上面的方法应该无法得到所有整数解,我们可以继续变换上面方程为
$(2c)^2-(2a-b)^2=3b^2$
所以
$(2c+2a-b)(2c-2a+b)=3b^2$
下面我们只寻找满足(a,b,c)=1的解,而上面Pell方程的方法相当于只找出这种互质条件下c=1或c=2的解
我们不妨设(改变3的位置相当于同时改变a,b的符号,这种情况我们也看成等价的解)
$2c+2a-b=3du^2, 2c-2a+b=dv^2$,
于是得出
\(\begin{cases}a=\frac{(2uv+3u^2-v^2)d}4\\b=duv\\c=\frac{(3u^2+v^2)d}4\end{cases}\)
对于任意互素的u,v,在上面选择适当的d(等于1,2,4之一),就可以得到一组互素的基本解。
比如选择u=3,v=5,这时需要选择d=1,可得a=8,b=15,c=13
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发表于 2019-3-13 08:15:07 | 显示全部楼层
为了排除b是合数的情况,我们需要选择d=1,而且u,v一个为1,另外一个为素数,
不妨选择u=7,v=1,d=1,得出a=40,b=7,c=37,排除b是合数的判断。

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谢谢mathe ! b 好像必须是合数。a < c < b,更严格一点:a < b/2 < c < b,因为 b 是正三角形的边。  发表于 2019-3-14 19:39
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发表于 2019-3-13 08:29:00 | 显示全部楼层
由于上面表达式中$a={(2uv+3u^2-v^2)d}/4={(3u-v)(u+v)d}/4$
对于$a=2k+1$,我们可以选择
$3u-v=2,u+v=4k+2,d=1$,也就是$u=k+1,v=3k+1,a=2k+1,b=3k^2+4k+1,c=3k^2+3k+1$
而对于偶数的解,只要在上面奇数解的基础上a,b,c同时乘上2的幂即可,所以对于所有的整数a有解

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发表于 2019-3-14 22:15:52 | 显示全部楼层
根据6#公式
\(\begin{cases}a=\frac{(2uv+3u^2-v^2)d}4\\b=duv\\c=\frac{(3u^2+v^2)d}4\end{cases}\)
如果你一定要$0\lt a\lt c\lt b$,那么$4uv>3u^2+v^2$,得出$(3u-v)(u-v)<0$,所以$v/3<u<v$
如果还要求b是素数,那么必然$d=u=1$,于是$1<v<3$,于是$v=2$,最后可以发现这个解还是不符合条件,即可排除b是素数。

P.S. 你题目描述的不清楚,需要清楚说明哪些是前提,哪些是结论

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谢谢mathe !  发表于 2019-3-15 18:56
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-14 23:30:52 | 显示全部楼层

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王守恩 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 很给力!

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