a^2 + b^2 - a*b = c^2

王守恩

猜想一： a,b,c是三角形的三条边， a,b,c是整数，a <  c  < b，
c 对应的角是 60°，根据余弦定理：a^2 + b^2 - a*b = c^2，
猜想： a 可以是 > 4 的所有整数； b 肯定是合数。 会有反例吗？
  猜想二：a,b,c是三角形的三条边， a,b,c是整数，a <  c  < b，
c 对应的角是 120°，根据余弦定理：a^2 + b^2 + a*b = c^2，
猜想： a 可以是 > 4 的所有整数； b 肯定是合数。 会有反例吗？

补充内容 (2019-3-15 18:48):
朴素的想法(-)：把边长是 b 的正三角形分成左右两个三角形，公共边是 c，两个短边 a 合起来是一个完整的 b，设想两个三角形六条边(c,c,b,b,a,a)都是整数时，a (取较小) 可以是 > 4 的所有整数； b 肯定是合数。

northwolves

A,C,B= 5,8,7

northwolves

5,7,8之中，b=8不是反例。a 可以为3啊，3,7,8 也是60度角。试了一下a=5-300，未找到反例

northwolves

$m>1$

$a=2m+1$
$b=m^2+2m$
$c=m^2+m+1$

满足题目要求
1.  $a+b>c,a+c>b,b+c>a$
2.  $a^2+b^2-c^2=ab$
3.  $a<c<b$

此时

         $a=2m+1$ 表示所有大于1的奇数。
         $b=m(m+2) $是个合数。
         $2a,2b,2c$代表所有最小边大于4的偶数。

mathe

题目可以改写为
$(2c)^2-3b^2=(2a-b)^2$
对于Pell方程$X^2-3Y^2=1$的任意一组解$X_0,Y_0$和参数$u$
那么我们可以选择$2c=uX_0, b=uY_0, 2a-b=u$
于是我们得出$a={u(1+Y_0)}/2, b=uY_0, c={uX_0}/2$
比如选择$X_0=2,Y_0=1$，那么可以得出一组解$a=u,b=u,c=u$
由于$(2-\sqrt(3))^2=7-4\sqrt(3)$,我们得出另外一组$X_0=7,Y_0=4$，这时u需要选择为偶数$2v$，得出通解
$a=5v, b=8v,c=7v$

mathe

上面的方法应该无法得到所有整数解，我们可以继续变换上面方程为
$(2c)^2-(2a-b)^2=3b^2$
所以
$(2c+2a-b)(2c-2a+b)=3b^2$
下面我们只寻找满足(a,b,c)=1的解，而上面Pell方程的方法相当于只找出这种互质条件下c=1或c=2的解
我们不妨设(改变3的位置相当于同时改变a,b的符号，这种情况我们也看成等价的解)
$2c+2a-b=3du^2, 2c-2a+b=dv^2$,
于是得出
\(\begin{cases}a=\frac{(2uv+3u^2-v^2)d}4\\b=duv\\c=\frac{(3u^2+v^2)d}4\end{cases}\)
对于任意互素的u,v,在上面选择适当的d(等于1,2,4之一），就可以得到一组互素的基本解。
比如选择u=3,v=5,这时需要选择d=1,可得a=8,b=15,c=13

mathe

为了排除b是合数的情况，我们需要选择d=1,而且u,v一个为1，另外一个为素数，
不妨选择u=7,v=1,d=1,得出a=40,b=7,c=37,排除b是合数的判断。

mathe

由于上面表达式中$a={(2uv+3u^2-v^2)d}/4={(3u-v)(u+v)d}/4$
对于$a=2k+1$,我们可以选择
$3u-v=2,u+v=4k+2,d=1$,也就是$u=k+1,v=3k+1,a=2k+1,b=3k^2+4k+1,c=3k^2+3k+1$
而对于偶数的解，只要在上面奇数解的基础上a,b,c同时乘上2的幂即可，所以对于所有的整数a有解

mathe

根据6#公式
\(\begin{cases}a=\frac{(2uv+3u^2-v^2)d}4\\b=duv\\c=\frac{(3u^2+v^2)d}4\end{cases}\)
如果你一定要$0\lt a\lt c\lt b$,那么$4uv>3u^2+v^2$,得出$(3u-v)(u-v)<0$,所以$v/3<u<v$
如果还要求b是素数，那么必然$d=u=1$,于是$1<v<3$,于是$v=2$,最后可以发现这个解还是不符合条件，即可排除b是素数。

P.S. 你题目描述的不清楚，需要清楚说明哪些是前提，哪些是结论

wayne

翻到旧贴了～
https://bbs.emath.ac.cn/thread-2281-1-1.html