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[猜想] 存在任意长素数差为等比的素数组

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发表于 2019-3-13 15:14:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如三生素数(5,7,11),(11,13,17),(17,19,23)等等,它们的前后素数差为(2,4),形成以2开头,以公比2的等比素数组;

四生素数(5,7,11,19)形成(2,4,8)的等比素数组;  (这里的k生素数不是它原指的最密k生素数,最密k生素数,素数与素数之间没有其它素数,最前与最后的素数差值最小)

五生素数(17,19,23,31,47)形成(2,4,8,16)的素数差等比数列,这个长度为4

六生素数(17,19,23,31,47,79)形成(2,4,8,16,32)的素数差等比数列,这个长度为5

七生素数(1607,1609,1613,1621,1637,1669,1773)形成(2,4,8,16,32,64)的素数差等比数列,这个长度为6

八生素数(1607,1609,1613,1621,1637,1669,1773,1901)形成(2,4,8,16,32,64,128)的素数差等比数列,这个长度为7
九生素数19937最末的一个素数,形成(2,4,8,16,32,64,128,256)的素数差等比数列,这个长度为8

在一亿内没有十生素数,素数差为等比的素数组。长度为8的也只有3组。




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参与人数 1金币 +1 收起 理由
.·.·. + 1 没记错M19937是梅森素数,不知有没有关系

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-13 15:18:38 | 显示全部楼层
在这样的素数数列中,公比只能是2或0.5,都是以2开头的,当然你非得从中间某个地方掐断,那数列就不是以2开头了,它们的反序也有,第一个差值为2^K,k为长度。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-13 16:28:10 | 显示全部楼层
十生素数2397348229最末的一个素数,形成(2,4,8,16,32,64,128,256,512)的素数差等比数列,这个长度为9
还有一个离的不远2407978849
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-13 22:07:45 | 显示全部楼层
这个题目不难,对于长度为k的序列,假设第一个数为b,那么相当于要求$b+2^h-2$,对于$1<=h<=k$都是素数
于是对于任意素数p,如果$p<=k+1$,那么必然可以得出唯一的b使得$b+2^h-2$不是p的倍数,比如p=2,要求$b-=1(mod 2)$, 对于p=3,由于h=1,2分别要求$b,b+2$不是3的倍数,得出$b-=2(mod 3)$, 而对于p=5,h=1,2,3,4分别要求$b,b+2,b+6,b+14$都不是5的倍数,所以$b-=2(mod 5)$等等。
设M是不超过k+1的所有素数乘积,上面方法可以利用中国剩余定理计算出唯一的N使得$b-=N(mod M)$,
于是我们可以假设$b=uM+N$,其中u为待定系数。
接下去我们需要对u采用筛选法,再选择一批大于k+1但是不是太大的素数,设它们乘积构成$M_2$,分别查看$u=0,1,2,...,M_2-1$时,$b+2^h-2,1<=h<=k$是不是都和$M_2$互素,只要有一个不符合互素条件就去除。$M_2$的选择标准是我们至少可以将$M_2$个整数高效的保存在一个表格里面。
现在我们已经有一个关于u的大小为$M_2$的表格,告诉我们u除以$M_2$的余数为多少时,才可能有解,这个可能的集合设为X,其中X中每个元素都在0和$M_2-1$之间。
接下去,我们就可以依次判断$b=(M_2*v+x)*M+N$是否符合条件,其中v是任意整数,x是X中的元素,这一步就可以按照定义来做了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-13 22:10:47 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2019-3-14 10:42:01 | 显示全部楼层
以0.5作为公比的在相同范围内和相同长度下其数量基本一致。如4生素数(5,13,17,19)素数差(8,4,2),长度3,公比0.5
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-14 10:47:04 | 显示全部楼层
在任意长等差数列中,公差随长度的改变而改变,在等比数列中,只能有公比是0.5或2的两种情况,其它的公比不存在,但是第一项或最后一项是任意2^K是成立的,那只不过是截取素数组(不是完整的),完整的以2开头或以2结尾。
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 楼主| 发表于 2019-3-14 16:43:13 | 显示全部楼层
公比是0.5的除举例那一个是末尾素数的个位以9结束以外,其余的都是以末尾素数的个位数字3结尾,下一个是(29,37,41,43),在一亿零六百万左找到6592组这样的素数组。
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 楼主| 发表于 2019-3-14 18:20:55 | 显示全部楼层
在106682203以内有1415组5生素数等比数组,公比0.5,第一个为(13,29,37,41,43)形成(16,8,4,2)等比数列,长度为4;
在106682203以内有304组6生素数等比数组,公比0.5,第一个为(11,43,59,67,71,73)形成(32,16,8,4,2)等比数列,长度为5;
在106682203以内有50组7生素数等比数组,公比0.5,第一个为(337,401,433,449,457,461,463)形成(64,32,16,8,4,2)等比数列,长度为6;
在106682203以内有11组8生素数等比数组,公比0.5,第一个为(1889,2017,2081,2113,2129,2137,2141,2143)形成(128,64,32,16,8,4,2)等比数列,长度为7;
在106682203以内有1组9生素数等比数组,公比0.5,第一个为(25793653,25793909,25794037,25794101,25794133,25794149,25794157,25794161,25794163)形成(256,128,64,32,16,8,4,2)等比数列,长度为8; 在一亿左没有找到十生素数等比数组。
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 楼主| 发表于 2019-3-16 09:39:35 | 显示全部楼层
找到的第一个逆十生素数等比数组为:18585338803,它是最后一个素数,分别减2^m-2(m取值从1到10)得到其他素数,它形成(512,256,128,64,32,16,8,4,2)等比数列,长度为9;下一个为115049596693,它们的出现范围都大,比起公比是2的情况来说。
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