一阶差分为等比数列的任意长素数组

白新岭

等比数列至少是 3 项啦，所以我们要找的素数组至少是 4 项。例如：
1、四元组（5，7，11，19），
      一阶差分（2，4，8）为等比数列，公比2；
2、五元组（17，19，23，31，47），
      一阶差分（2，4，8，16）为等比数列，公比2；
3、六元组（17，19，23，31，47，79），
      一阶差分（2，4，8，16，32）为等比数列，公比2；
4、七元组（1607，1609，1613，1621，1637，1669，1773），
      一阶差分（2，4，8，16，32，64）为等比数列，公比2；
5、八元组（1607，1609，1613，1621，1637，1669，1773，1901）
      一阶差分（2，4，8，16，32，64，128）为等比数列，公比2；
6、九元组（19427,  19429, 19433, ..., 19681, 19937)，
      一阶差分（2，4，8，16，32，64，128，256）为等比数列，公比2。

在一亿内没有十元组，八元组也只有 3 个。

白新岭

一阶差分的公比只能是2，首项是2。现在发现的首项大于2的都是因为不完整，总可以向前扩展到2。

一阶差分亦可是降序的，公比为1/2，末项是2。如四元组（5，13，17，19），一阶差分（8，4，2）

这样的素数组就以其一阶差分的升、降分别称为差升组和差降组。

白新岭

十元组 (2397347207, 2397347209, ..., 2397347717, 2397348229)，一阶差分（2，4，8，16，32，64，128，256，512）
十元组 (2407977827, 2407977829, ..., 2407978337, 2407978849)，一阶差分（2，4，8，16，32，64，128，256，512）

mathe

这个题目不难，对于长度为k的序列，假设第一个数为b,那么相当于要求$b+2^h-2$,对于$1<=h<=k$都是素数
于是对于任意素数p,如果$p<=k+1$,那么必然可以得出唯一的b使得$b+2^h-2$不是p的倍数，比如p=2,要求$b-=1(mod 2)$, 对于p=3,由于h=1,2分别要求$b,b+2$不是3的倍数，得出$b-=2(mod 3)$, 而对于p=5,h=1,2,3,4分别要求$b,b+2,b+6,b+14$都不是5的倍数，所以$b-=2(mod 5)$等等。
设M是不超过k+1的所有素数乘积，上面方法可以利用中国剩余定理计算出唯一的N使得$b-=N(mod M)$,
于是我们可以假设$b=uM+N$,其中u为待定系数。
接下去我们需要对u采用筛选法，再选择一批大于k+1但是不是太大的素数，设它们乘积构成$M_2$,分别查看$u=0,1,2,...,M_2-1$时，$b+2^h-2,1<=h<=k$是不是都和$M_2$互素，只要有一个不符合互素条件就去除。$M_2$的选择标准是我们至少可以将$M_2$个整数高效的保存在一个表格里面。
现在我们已经有一个关于u的大小为$M_2$的表格，告诉我们u除以$M_2$的余数为多少时，才可能有解，这个可能的集合设为X,其中X中每个元素都在0和$M_2-1$之间。
接下去，我们就可以依次判断$b=(M_2*v+x)*M+N$是否符合条件，其中v是任意整数，x是X中的元素，这一步就可以按照定义来做了

mathe

可以参考
https://bbs.emath.ac.cn/thread-182-1-1.html

白新岭

在相同范围内，相同长度的差升组和差降组的频数基本持平。

白新岭

差降组除（5，13，17，19）以数字9结尾外，其余的都是以数字3结尾，下一个是（29，37，41，43），在一亿零六百万左找到6592组。

白新岭

差降组的搜索
在106682203以内有1415个5元组，第一个为（13，29，37，41，43）；
在106682203以内有304组6元组，第一个为（11，43，59，67，71，73）；
在106682203以内有50个7元组，第一个为（337，401，433，449，457，461，463）；
在106682203以内有11个8元组，第一个为（1889，2017，2081，2113，2129，2137，2141，2143）；
在106682203以内有唯一9元组，第一个为（25793653，25793909，25794037，25794101，25794133，25794149，25794157，25794161，257941；
在一亿左没有找到十元组。

白新岭

差降组的搜索
找到的第一个10组元最大素数为  18585338803，一阶差分（512，256，128，64，32，16，8，4，2）；
找到的第二个10组元最大素数为115049596693，
比起差升组，它们的出现范围都较大。

葡萄糖

好像没什么关系，先贴上吧！
如下长度为26的素数等差数列, 是由 Benoat Perichon 和 PrimeGrid 在 2010年四月份发现的:
\[ 43142746595714191+23681770
223092870n,\quad  n = 0, 1,\ldots, 25 \]
截至2019年2月为止, 已知的最长的素数等差数列的长度是 435054, 是由 David Broadhurst, David Abrahmi, David Metcalfe, PrimeGrid 在2016年发现的:
\[ (2723880039837\cdot2^{1290000}&#8722;1)+(4125\cdot2^{1445205}&#8722; 2723880039837\cdot2^{1290000})n,\quad  n = 0, 1,\ldots, 435053 \]
2019年2月，Norman Luhn, Gerd Lamprecht发现了长度为300的素数等差数列
\[ 1+\big(3843864037 + 35500601n\big)\prod_\limits{k}^{125}\operatorname{prime}[\,k\,],\quad  n = 0, 1,\ldots, 299 \]

https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression