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[求助] 如何求解pell方程x^2-d*y^2=M

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发表于 2019-3-19 14:06:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x^2-d*y^2=M
其中M的绝对值大于d的平方根,
要是M的绝对值小于d的平方根,这个只要连分数就可以了!
但是大于怎么办?
比如
x^2-15y^2=61
我要的不是穷举法,我就是想知道如何求解


https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-19 18:18:41 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-19 20:48:49 | 显示全部楼层
对于方程 `x^2-15y^2=61`,因为 `25^2\equiv 15 \pmod {61}`,故取二次无理分式展开 `\D\frac{25+\sqrt{15}}{61}=[0,2,8,\overline{1,6}]`,容易检验发现第三个完全商 `[8,\overline{1,6}]=5+\sqrt{15}`,其分母为1,故取第二个渐近分数 `p_2/q_2=[0,2]=1/2`,于是有 `(25q_2-61p_1)^2-15q_2^2=(-1)^261`.
因此得到最小解 `x_0=|25q_2-61p_1|=11,\;y=q_2=2`.
然后求标准形式 `x^2-15y^2=1` 的最小解,连分式展开 `\sqrt{15}=[3,\overline{1,6}]`,因为 `6=2\times 3`,故取渐近分数 `p_1/q_1=[3,1]=4`,得到最小解`x=p_1=4,\;y=q_1=1`,再根据上面链接中5楼的公式,可得通解。

点评

确实,上面输入有误,应该是 `p_1`  发表于 2019-3-21 13:33
应该是25q2−61p2,而不是25q2−61p1  发表于 2019-3-21 13:28
我发现虽然你是力学毕业的,但是你很牛  发表于 2019-3-21 12:11
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 楼主| 发表于 2019-3-21 08:30:56 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2019-3-19 20:48
对于方程 `x^2-15y^2=61`,因为 `25^2\equiv 15 \pmod {61}`,故取二次无理分式展开 `\D\frac{25+\sqrt{15} ...

我今天看华罗庚文集第274页,
感觉算看懂了,与你这个类似,
但是感觉他的办法似乎比你的好!

点评

但是他的办法似乎是穷举法!  发表于 2019-3-21 09:36
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