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[讨论] 三次代数曲线的全家福

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发表于 2019-3-22 11:01:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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最近的帖子讨论发现, \((x+1)(x^2-3y^2-4x+4)=1 \)并没有被mathworld记录进去,其他数学网站也并没有搜到
该曲线的特点就是有四条分支:三条类似于双曲线的半分支,再加上这三个分支顶点附近挤兑着的一条封闭的曲线。
================
所以我的问题是三次代数曲线总共有多少种类型?
要回答这个问题,我们可能要先解决曲线分类标准的选择的问题。
1)渐近线的个数
2)分支的个数
3)奇点的个数
4)封闭还是开放
5)...................

========================
还是仿照二次圆锥曲线那样, 一个平面去截一个三维模型那样讨论呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-22 11:46:46 | 显示全部楼层
  1. ContourPlot[(x + 1) (x^2 - 3 y^2 - 4 x + 4) == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]
复制代码


我来给你补一张图,没图怎么行?
QQ截图20190322114514.png
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发表于 2019-3-22 12:29:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2019-3-22 12:30 编辑

先扔块砖头,我觉得可以换成极坐标,讨论\(f_3(\theta )r^3+f_2(\theta )r^2+f_1(\theta )r +f_0(\theta )=0\)的解
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-22 12:53:28 | 显示全部楼层

点评

赞,直击要害  发表于 2019-3-22 13:45
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-22 13:14:41 | 显示全部楼层

点评

已经删除,谢谢提醒  发表于 2019-3-22 14:06
漂亮,很完整~  发表于 2019-3-22 13:45
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发表于 2019-3-22 13:24:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2019-3-22 13:32 编辑

看起来像“Humbert cubic”
Humbert cubic.png

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你这个 图片太大了。 建议删除,或者用 网络链接引用进来  发表于 2019-3-22 13:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-22 14:10:30 | 显示全部楼层
我这里有一个平面三次曲线和四次曲线的电子文档,但是这里能上传的附件太小,上传不了

点评

四次都总结了,赞赞赞  发表于 2019-3-22 19:05
传到网盘,然后分享链接, 或者加入我们的qq群(主页有链接)...  发表于 2019-3-22 19:04
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-22 19:31:02 | 显示全部楼层
我以往研究三次曲线都是在射影变换群下,分类比文献中简单的多。
我不会留意渐近线,因为无穷远点也被视为普通点。
不会在意曲线被无穷远线分割成多少支,因为这些分支在无穷远点是连通的,被视为一支。

这种习惯导致了盲点。

点评

这个是新的视野,^_^  发表于 2019-3-24 09:34
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-3-1 09:39:38 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-3-22 19:31
我以往研究三次曲线都是在射影变换群下,分类比文献中简单的多。
我不会留意渐近线,因为无穷远点也被视为 ...

刚好 整整一年了,不算挖坟吧,哈哈哈 .
有没有 某种 指标或者特征,或者视角,方法论 能够把 代数曲线在 几何视觉上的 特征都 给分类了, 变成尽可能少的 等价类

点评

比如 双有理几何  发表于 2020-3-2 09:46
嗯,有没有 除了射影变换更好玩的变换群  发表于 2020-3-2 09:44
基于变换群呗。非奇线性变换,即射影变换群,已经足够大了,所划分的等价类已经足够少了。  发表于 2020-3-1 22:47
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-3-2 09:50:16 | 显示全部楼层
我昨天刚看到了一篇公众号文章, 提到了 双有理几何,研究代数簇在双有理等价之下不变的性质。 感觉很厉害的样子
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