三次代数曲线的全家福

wayne

最近的帖子讨论发现， \((x+1)(x^2-3y^2-4x+4)=1 \)并没有被mathworld记录进去，其他数学网站也并没有搜到
该曲线的特点就是有四条分支：三条类似于双曲线的半分支，再加上这三个分支顶点附近挤兑着的一条封闭的曲线。
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所以我的问题是三次代数曲线总共有多少种类型？
要回答这个问题，我们可能要先解决曲线分类标准的选择的问题。
1）渐近线的个数
2）分支的个数
3）奇点的个数
4）封闭还是开放
5）...................

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还是仿照二次圆锥曲线那样， 一个平面去截一个三维模型那样讨论呢？

mathematica

1. ContourPlot[(x + 1) (x^2 - 3 y^2 - 4 x + 4) == 1, {x, -5, 5}, {y, -5, 5}]

复制代码

我来给你补一张图,没图怎么行?

zeroieme

先扔块砖头，我觉得可以换成极坐标，讨论\(f_3(\theta )r^3+f_2(\theta )r^2+f_1(\theta )r +f_0(\theta )=0\)的解

mathe

https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.rmjm/1250126126

hejoseph

http://www.krbb.cn/files/cubic.pdf

葡萄糖

看起来像“Humbert cubic”

hejoseph

我这里有一个平面三次曲线和四次曲线的电子文档，但是这里能上传的附件太小，上传不了

hujunhua

我以往研究三次曲线都是在射影变换群下，分类比文献中简单的多。
我不会留意渐近线，因为无穷远点也被视为普通点。
不会在意曲线被无穷远线分割成多少支，因为这些分支在无穷远点是连通的，被视为一支。

这种习惯导致了盲点。

wayne

hujunhua 发表于 2019-3-22 19:31
我以往研究三次曲线都是在射影变换群下，分类比文献中简单的多。
我不会留意渐近线，因为无穷远点也被视为 ...

刚好 整整一年了,不算挖坟吧,哈哈哈 .
有没有 某种 指标或者特征,或者视角,方法论 能够把 代数曲线在 几何视觉上的 特征都 给分类了, 变成尽可能少的 等价类

wayne

我昨天刚看到了一篇公众号文章， 提到了 双有理几何，研究代数簇在双有理等价之下不变的性质。 感觉很厉害的样子