三次代数曲线的全家福

zeus

三次代数曲线是否都可以表示为这样的参数形式:
\[x = \frac{{{a_1}{t^3} + {b_1}{t^2} + {c_1}t + {d_1}}}{{{a_3}{t^3} + {b_3}{t^2} + {c_3}t + {d_3}}}\]
\[y = \frac{{{a_2}{t^3} + {b_2}{t^2} + {c_2}t + {d_2}}}{{{a_3}{t^3} + {b_3}{t^2} + {c_3}t + {d_3}}}\]

wushix

加群的问题答案是什么？

葡萄糖

zeus 发表于 2020-3-2 17:13
三次代数曲线是否都可以表示为这样的参数形式:
\[x = \frac{{{a_1}{t^3} + {b_1}{t^2} + {c_1}t + {d_1}}}{{{a_3}{t^3} + {b_3}{t^2} + {c_3}t + {d_3}}}\]
\[y = \frac{{{a_2}{t^3} + {b_2}{t^2} + {c_2}t + {d_2}}}{{{a_3}{t^3} + {b_3}{t^2} + {c_3}t + {d_3}}}\]

不是所有的三次代数曲线都可以表示为有理参数形式的.
对于代数曲线而言，亏格为零的曲线才可以有理参数化.

若不可约$d$次曲线有$s_r$个$r$重点，有$t$个尖点，那么其几何亏格公式为
\[\operatorname{genus}(C) = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{k=2}^r \frac{k(k- 1)s_{k}}{2}-t\]

当$d=3$时，若亏格为零，那么满奇点数为$\frac{(d-1)(d-2)}{2}=1$，那么奇点重数$k$只能取一.

三次曲线是有理的当且仅当它有一个奇点（该奇点必定是实的，但可能为无穷远点. 另外，该奇点要么是二重点，要么是尖点.）.