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[讨论] 圆锥曲线的作图问题

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发表于 2019-3-25 13:44:15 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-3-25 17:18 编辑

若已知圆锥曲线上的四点(或四切线)以及该圆锥曲线的离心率,作出这个圆锥曲线。如果能通过作图得到第五点(或第五条切线),或确定主轴位置和顶点,可以视为已经作图完成。
这个问题对于抛物线情形已经有方法了。
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发表于 2019-3-25 15:51:49 | 显示全部楼层
这个解方程就可以了。利用软件
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 楼主| 发表于 2019-3-25 17:16:17 | 显示全部楼层
我不是想要这种方法,我是想要直接作图,不需要计算的方法,抛物线的作图法就是这样实现的。
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发表于 2019-3-25 17:57:27 来自手机 | 显示全部楼层
焦点和准线的公式应该挺复杂的
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发表于 2019-3-25 20:01:05 | 显示全部楼层
“作图”的定义是什么?尺规不能画出一般圆锥曲线。

点评

就是用尺规作图法根据已知的条件作出第五点(或第五切线),或者作出主轴、顶点,即可认为作出圆锥曲线。  发表于 2019-3-25 20:57
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发表于 2019-3-25 20:03:46 来自手机 | 显示全部楼层
虽然尺规不能做出圆锥曲线,但是给定圆锥曲线(一段),尺规应该可以做出其对称轴,中心,焦点,准线等

点评

事实上只要有五个元素(点或切线或两者的混合)即可作出那些。  发表于 2019-3-25 20:59
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发表于 2019-3-26 08:06:09 | 显示全部楼层
这个要 @数学星空 ,在给定二次曲线方程的情况下如何计算其离心率。
二次曲线给定上面四个点,那么就可以先任意做出过这四个点的两条曲线$C_1,C_2$,那么目标曲线必然可以用参数方程$t*C_1+(1-t)*C_2$来表示,所以所有系数都是t的一次函数。
然后对于上面的参数方程,计算离心率,就可以得出一个关于t的方程。于是判断目标曲线是否可以尺规作图,只需要知道这个关于t的方程对应的扩张域的结构即可。
我偏向于认为无法尺规作图
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 楼主| 发表于 2019-3-26 09:16:40 | 显示全部楼层
已知圆锥曲线上五元素(点或切线)作圆锥曲线.pdf (157.68 KB, 下载次数: 8)
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 楼主| 发表于 2019-3-26 09:25:30 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2019-3-26 08:06
这个要 @数学星空 ,在给定二次曲线方程的情况下如何计算其离心率。
二次曲线给定上面四个点,那么就可以 ...


圆锥曲线的焦点是从两个圆点 $(1,i,0)$ 和 $(1,-i,0)$ 所引圆锥曲线的四条虚切线的交点。
四条虚切线共是6个交点,除去两个圆点本身,剩余四个交点即为两个实焦点和两个虚焦点。
实焦点的极线就是准线,所以可以肯定有尺规方法的。
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发表于 2019-3-26 19:27:18 | 显示全部楼层
对于二次曲线:

\(ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0\)

不变量:

\(D=\begin{vmatrix}
a&b&d\\
b&c&e\\
d&e&f
\end{vmatrix}\)

\(\delta=ac-b^2\)

\(s=a+c\)

坐标变换后的标准方程

1. \(\delta=ac-b^2\gt 0 ,D\ne0\) 时为椭圆
2. \(\delta=ac-b^2\lt 0 ,D\ne0\) 时为双曲线
3.\(\delta=ac-b^2=0 ,D\ne0\) 时为抛物线

  椭圆及双曲线方程

  \(AX^2+CY^2+\frac{D}{\delta}=0\)

   \(A=\frac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}\)

   \(C=\frac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}\)

    抛物线方程

   \(Y^2=2pX\)

  \(p=\frac{ae-bd}{(a+c)\sqrt{a^2+b^2}}\)
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