圆锥曲线的作图问题

hejoseph

若已知圆锥曲线上的四点（或四切线）以及该圆锥曲线的离心率，作出这个圆锥曲线。如果能通过作图得到第五点（或第五条切线），或确定主轴位置和顶点，可以视为已经作图完成。
这个问题对于抛物线情形已经有方法了。

markfang2050

这个解方程就可以了。利用软件

hejoseph

我不是想要这种方法，我是想要直接作图，不需要计算的方法，抛物线的作图法就是这样实现的。

mathe

焦点和准线的公式应该挺复杂的

zeroieme

“作图”的定义是什么？尺规不能画出一般圆锥曲线。

mathe

虽然尺规不能做出圆锥曲线，但是给定圆锥曲线(一段)，尺规应该可以做出其对称轴，中心，焦点，准线等

mathe

这个要 @数学星空 ，在给定二次曲线方程的情况下如何计算其离心率。
二次曲线给定上面四个点，那么就可以先任意做出过这四个点的两条曲线$C_1,C_2$,那么目标曲线必然可以用参数方程$t*C_1+(1-t)*C_2$来表示，所以所有系数都是t的一次函数。
然后对于上面的参数方程，计算离心率，就可以得出一个关于t的方程。于是判断目标曲线是否可以尺规作图，只需要知道这个关于t的方程对应的扩张域的结构即可。
我偏向于认为无法尺规作图

hejoseph

已知圆锥曲线上五元素（点或切线）作圆锥曲线.pdf (157.68 KB, 下载次数: 8)

2019-3-26 09:16 上传

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hejoseph

mathe 发表于 2019-3-26 08:06
这个要 @数学星空 ，在给定二次曲线方程的情况下如何计算其离心率。
二次曲线给定上面四个点，那么就可以 ...

圆锥曲线的焦点是从两个圆点 $(1,i,0)$ 和 $(1,-i,0)$ 所引圆锥曲线的四条虚切线的交点。
四条虚切线共是6个交点，除去两个圆点本身，剩余四个交点即为两个实焦点和两个虚焦点。
实焦点的极线就是准线，所以可以肯定有尺规方法的。

数学星空

对于二次曲线：

\(ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0\)

不变量：

\(D=\begin{vmatrix}
a&b&d\\
b&c&e\\
d&e&f
\end{vmatrix}\)

\(\delta=ac-b^2\)

\(s=a+c\)

坐标变换后的标准方程

1. \(\delta=ac-b^2\gt 0 ,D\ne0\) 时为椭圆
2. \(\delta=ac-b^2\lt 0 ,D\ne0\) 时为双曲线
3.\(\delta=ac-b^2=0 ,D\ne0\) 时为抛物线

  椭圆及双曲线方程

  \(AX^2+CY^2+\frac{D}{\delta}=0\)

   \(A=\frac{a+c+\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}\)

   \(C=\frac{a+c-\sqrt{(a-c)^2+4b^2}}{2}\)

    抛物线方程

   \(Y^2=2pX\)

  \(p=\frac{ae-bd}{(a+c)\sqrt{a^2+b^2}}\)