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[原创] 高考模拟题

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发表于 2019-4-18 17:26:52 | 显示全部楼层 |阅读模式

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高考模拟题

高考模拟题
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-19 12:07:38 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2019-4-19 13:29 编辑

\(\left\{\cos ^2(B)+\cos ^2(C),\sin (\pi -(B+C))-2 \cos (B) \cos (C)=0\right\}\)换元\(\left\{B\to \tan ^{-1}(x),C\to \tan ^{-1}(y)\right\}\)
得\(\left\{\frac{x^2+y^2+2}{\left(x^2+1\right) \left(y^2+1\right)},\frac{x+y-2}{\sqrt{x^2+1} \sqrt{y^2+1}}=0\right\}\)
对称有理式进一步换元\(\{x+y\to p,x\times y\to q\}\)
\(x+y-2=0\to p=2\) 得\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(x^2+1\right) \left(y^2+1\right)}\to \frac{p^2-2 q+2}{p^2+q^2-2 q+1}\to \frac{6-2 q}{q^2-2 q+5}\)
求导后有\(q\to 3-2 \sqrt{2}\)时最大值为\(\frac{1}{2} \left(1+\sqrt{2}\right)\)

把\(q= 3-2 \sqrt{2}\)回代得, \(\left\{B=\tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)}\right)\approx 5.13 {}^{\circ},C=\tan ^{-1}\left(\sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)}+1\right)\approx62.37 {}^{\circ}\right\}\)或者\(\left\{B=\tan ^{-1}\left(\sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)}+1\right),C=\tan ^{-1}\left(1-\sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)}\right)\right\}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-23 09:15:14 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2019-4-19 12:07
\(\left\{\cos ^2(B)+\cos ^2(C),\sin (\pi -(B+C))-2 \cos (B) \cos (C)=0\right\}\)换元\(\left\{B\to \t ...

二元函数的极值点与最大最小值不一定一致。需要证明。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-23 10:51:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 zeroieme 于 2019-4-23 11:26 编辑
markfang2050 发表于 2019-4-23 09:15
二元函数的极值点与最大最小值不一定一致。需要证明。


已经换元到一元函数。

并且,已经从多个$q$的极值点选择最大值点。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-23 17:09:14 | 显示全部楼层
$cos^2B+cos^2C=sin^2A-2cosAcosBcosC=sin^2A-sinAcosA=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2A-\frac{1}{2}sin2A=\frac{1}{2}-\frac{sqrt(2)}{2}sin(2A+π/4)<=1/2$,成立条件$A=\frac{3π}{8}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-23 22:30:16 | 显示全部楼层
zeroieme 发表于 2019-4-23 10:51
已经换元到一元函数。

并且,已经从多个$q$的极值点选择最大值点。

你省了q有其他值的过程。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-23 22:30:37 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2019-4-23 17:09
$cos^2B+cos^2C=sin^2A-2cosAcosBcosC=sin^2A-sinAcosA=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2A-\frac{1}{2}sin2A=\ ...

你是错的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-4-23 22:33:50 | 显示全部楼层
解答:
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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发表于 2019-4-23 23:01:16 | 显示全部楼层
$cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC.
cos^2A=sin^2Bsin^2C-2sinBsinCcosBcosC+cos^2Bcos^2C
=(1-cos^2B)(1-cos^2C)-2sinBsinCcosBcosC+cos^2Bcos^2C
=1-cos^2B-cos^2C+2cos^2Bcos^2C-2sinBsinCcosBcosC
=1-cos^2B-cos^2C+2cosBcosC(cosBcosC-sinBsinC)
=1-cos^2B-cos^2C+2cosBcosCcos(B+C)
=1-cos^2B-cos^2C-sinAcosA

cos^2B+cos^2C=sin^A-sinAcosA=(1-cos2A)/2-sin2A/2=\frac{1}{2}-\frac{sqrt(2)}{2}sin(2A+π/4)<=1/2$

似乎没问题啊。答案多少
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-4-23 23:09:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2019-4-23 23:25 编辑

我知道了,最后一步错了,2A+PI/4=3/2PI 的时候,原式=$\frac{1}{2}+\frac{sqrt(2)}{2}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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