高考模拟题

王守恩

hujunhua 发表于 2020-4-21 23:24
不了解 3# 的那个恒等式的话，也不要这样一头扎进去硬闯，可以作代换
`A'=\pi-A, B'=\pi/2-B, C'=\pi/2- ...

\(\sin^2(\pi-A)=\sin^2(\pi/2-B)+\sin^2(\pi/2-C)-2\sin(\pi/2-B)\sin(\pi/2-C)\cos(\pi-A)\)

\(\sin^2(\pi/2-B)+\sin^2(\pi/2-C)=\sin^2(\pi-A)+2\sin(\pi/2-B)\sin(\pi/2-C)\cos(\pi-A)\)

\(\cos^2B+\cos^2C=\sin^2A-2\cos B \cos C\cos A\)

\(\cos^2B+\cos^2C=\sin^2A-\sin A\cos A=\sin^2A-\frac{1}{2}\sin2A\)

求：\(\sin^2A-\frac{1}{n}\sin2A\)的最大值 S 。

n= 1 时：S =\(\frac{1+\sqrt{1^2+4}}{1*2}\)

n= 2 时：S =\(\frac{2+\sqrt{2^2+4}}{2*2}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\) (主帖)

n= 3 时：S =\(\frac{3+\sqrt{3^2+4}}{3*2}\)

n= 4 时：S =\(\frac{4+\sqrt{4^2+4}}{4*2}\)

n= 5 时：S =\(\frac{5+\sqrt{5^2+4}}{5*2}\)

n= 6 时：S =\(\frac{6+\sqrt{6^2+4}}{6*2}\)

琢磨不定：这些最大值 S 应该怎么把她们连贯起来？

sheng_jianguo

王守恩 发表于 2020-4-22 18:09
\(\sin^2(\pi-A)=\sin^2(\pi/2-B)+\sin^2(\pi/2-C)-2\sin(\pi/2-B)\sin(\pi/2-C)\cos(\pi-A)\)

\(\s ...

如果你的推理是正确的，即：
n等于任一正整数k时，S=(k+√(k*k+4))/(2*k)，则
n=1时，S最大，即S=(1+√(5))/2
这是因为，n增大，S必减少（S是n的递减函数，导函数小于0）。

zeroieme

1. Sin[A]^2-1/n Sin[2 A]//#/.A->2ArcTan[x]&//TrigExpand//#/.Solve[D[#,x]==0,x]&//FullSimplify//Union

复制代码

\(\left\{\frac{\sqrt{n^2+4}+n}{2 n},-\frac{2}{n^2+\sqrt{n^2+4} n}\right\}\)

最大与最小值

mathematica

markfang2050 发表于 2019-4-23 22:33
解答：

需要简单说下cosbcosc不等于零!

王守恩

hujunhua 发表于 2020-4-21 22:28
@zeroieme
在2#得到`\D v=\frac{6-2q}{q^2-2q+5}`后，可以化成   \(vq^2-2(v-1)q+(5v-6)=0\)

谢谢 hujunhua 指明道路！虽是马后炮，还是放一个。

\(\sin A=\sin(B+C)=2\cos B\cos C\to2=\frac{\sin(B+C)}{\cos B\cos C}=\tan B+\tan C=(1+x)+(1-x)\)

\(v=\cos^2 B+\cos^2 C=\frac{1}{1+\tan^2 B}+\frac{1}{1+\tan^2 C}=\frac{1}{1+(1+x)^2}+\frac{1}{1+(1-x)^2}=\frac{2x^2+4}{x^4+4}\)

\(v=\frac{2x^2+4}{x^4+4}\to vx^4-2x^2+4(v-1)=0\ \ △=(-2)^2-4*v*4(v-1)=0\ \ v=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)

7楼的疑问也说一下。

n= 1 时：\(v =\frac{1+\sqrt{1^2+4}}{1∗2}\)已知条件：\(\sin A=1\cos B\cos C\)

n= 2 时：\(v =\frac{2+\sqrt{2^2+4}}{2∗2}\)已知条件：\(\sin A=2\cos B\cos C\) (主帖)

n= 3 时：\(v =\frac{3+\sqrt{3^2+4}}{3∗2}\)已知条件：\(\sin A=3\cos B\cos C\)

n= 4 时：\(v =\frac{4+\sqrt{4^2+4}}{4∗2}\)已知条件：\(\sin A=4\cos B\cos C\)

n= 5 时：\(v =\frac{5+\sqrt{5^2+4}}{5∗2}\)已知条件：\(\sin A=5\cos B\cos C\)

n= 6 时：\(v =\frac{6+\sqrt{6^2+4}}{6∗2}\)已知条件：\(\sin A=6\cos B\cos C\)

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*拉格朗日乘子法*)
   
3. f=1/(1+x^2)+1/(1+y^2)+a*(x+y-2)
   
4. (*求导数*)
   
5. fx=D[f,x]//FullSimplify
   
6. fy=D[f,y]//FullSimplify
   
7. fa=D[f,a]//FullSimplify
   
8. (*求解零点*)
   
9. ans=Solve[{fx,fy,fa}=={0,0,0},{x,y,a}]//FullSimplify//ToRadicals;
   
10. Grid[ans]
    
11. N[%,10]
    
12. (*带入得到函数值*)
    
13. FullSimplify[f/.ans]
    
14. N[%,10]
    

复制代码

求解零点
\[\begin{array}{ccc}
x\to 1 & y\to 1 & a\to \frac{1}{2} \\
x\to 1-\sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)} & y\to \sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)}+1 & a\to \frac{1}{4 \sqrt{2}} \\
x\to \sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)}+1 & y\to 1-\sqrt{2 \left(\sqrt{2}-1\right)} & a\to \frac{1}{4 \sqrt{2}} \\
x\to 1-i \sqrt{2 \left(\sqrt{2}+1\right)} & y\to 1+i \sqrt{2 \left(\sqrt{2}+1\right)} & a\to -\frac{1}{4 \sqrt{2}} \\
x\to 1+i \sqrt{2 \left(\sqrt{2}+1\right)} & y\to 1-i \sqrt{2 \left(\sqrt{2}+1\right)} & a\to -\frac{1}{4 \sqrt{2}} \\
\end{array}\]
数值化
\[
\begin{array}{ccc}
x\to 1.000000000 & y\to 1.000000000 & a\to 0.5000000000 \\
x\to 0.08982027888 & y\to 1.910179721 & a\to 0.1767766953 \\
x\to 1.910179721 & y\to 0.08982027888 & a\to 0.1767766953 \\
x\to 1.000000000-2.197368227 i & y\to 1.000000000+2.197368227 i & a\to -0.1767766953 \\
x\to 1.000000000+2.197368227 i & y\to 1.000000000-2.197368227 i & a\to -0.1767766953 \\
\end{array}
\]


带入函数得到函数值
\[\left\{1,\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}\]
数值化
\[\{1.000000000,1.207106781,1.207106781,-0.2071067812,-0.2071067812\}\]

为什么我感觉与这儿的非常的像？
已知a+b=1，求ab(a^4+b^4)的最大值
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 174&fromuid=865

至少求出来的拉格朗日零点很像，
两个值相等，然后两个对称的实数值，两个对称的复数值