Talbot曲线

zyhlcj

谁有Talbot曲线资料或介绍？

lsr314

与给定的椭圆内切且经过平面上一个固定点（比如椭圆的焦点、中心、顶点）的动圆的圆心的轨迹。

lsr314

TALBOT CURVE

lsr314

即椭圆上动点T，平面上定点P，T的法线与TP的中垂线的交点的轨迹。
这个定义可以推广到很多曲线啊。

zyhlcj

lsr314 发表于 2019-5-5 11:35
TALBOT CURVE

谢谢，虽然是外文看不懂，介绍不是很详细，有没有很详细的介绍资料？

lsr314

这个链接里有长度、面积和参数方程Talbot's Curve

zyhlcj

主要是想了解固定点在椭圆内任一地方时尖点坐标、面积及长度等

lsr314

考虑曲线的自相交点。当固定点在椭圆内部的时候，最多有两个自相交点，且都在椭圆的长轴上；当固定点在椭圆上的时候，曲线与长轴相切；当固定点在椭圆外部的时候，最多有一个自相交点，且在椭圆的短轴上。

lsr314

假设椭圆的参数方程为$x=acost,y=bsint,$固定点坐标$(x0,y0)$，那么轨迹曲线的参数方程为
$x=(b (x0^2 + y0^2) - a^2 b Cos[t]^2 +  2 (a^2 - b^2) y0 Sin[t] + (-2 a^2 b + b^3) Sin[t]^2)/(2 (b x0 -    a b Sec[t] + a y0 Tan[t])),$
$y=((2 (-a^2 + b^2) x0 + a (a^2 - 2 b^2) Cos[t]) Sin[t] +  a (x0^2 + y0^2) Tan[t] -  a b^2 Sin[t]^2 Tan[t])/(2 (b x0 - a b Sec[t] + a y0 Tan[t]))$
尖点坐标满足$dx/dt=0,dy/dt=0$，即
$(-y0 + b Sin[t]) (2 b (-a^2 + b^2) x0 Cos[t]^3 + a Cos[t]^2 (b (a^2 - 2 b^2) - 2 (a^2 - b^2) y0 Sin[t]) +  a (b (x0^2 + y0^2) +  2 (a^2 - b^2) y0 Sin[t] + (-2 a^2 b + b^3) Sin[t]^2))=0$
$(x0 - a Cos[t]) (-a^3 b - a b^3 + 2 a b x0^2 + 2 a b y0^2 +  3 b (-a^2 + b^2) x0 Cos[t] + 3 a b (a^2 - b^2) Cos[2 t] -  a^2 b x0 Cos[3 t] + b^3 x0 Cos[3 t] + 3 a^3 y0 Sin[t] -  3 a b^2 y0 Sin[t] - a^3 y0 Sin[3 t] + a b^2 y0 Sin[3 t])=0$

zyhlcj

尖点坐标也是要解一个方程，前些日子，由于我不知道这是Talbot曲线，经过自己推算研究，尖点在椭圆渐屈线上，我所得出的方程见https://bbs.emath.ac.cn/thread-15836-1-1.html