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[求助] Talbot曲线

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发表于 2019-5-4 17:39:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

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谁有Talbot曲线资料或介绍?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-5 11:34:36 | 显示全部楼层
与给定的椭圆内切且经过平面上一个固定点(比如椭圆的焦点、中心、顶点)的动圆的圆心的轨迹。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-5 11:35:28 | 显示全部楼层
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-5 11:58:27 | 显示全部楼层
即椭圆上动点T,平面上定点P,T的法线与TP的中垂线的交点的轨迹。
这个定义可以推广到很多曲线啊。

点评

中垂线刚好就是曲线的切线。  发表于 2019-5-6 15:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-5-5 15:02:48 | 显示全部楼层


谢谢,虽然是外文看不懂,介绍不是很详细,有没有很详细的介绍资料?

点评

你先知道什么呢,长度,面积,方程?  发表于 2019-5-5 15:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-5 15:34:01 | 显示全部楼层
这个链接里有长度、面积和参数方程Talbot's Curve
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 楼主| 发表于 2019-5-6 08:43:44 | 显示全部楼层
主要是想了解固定点在椭圆内任一地方时尖点坐标、面积及长度等
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-5-6 10:02:03 | 显示全部楼层
考虑曲线的自相交点。当固定点在椭圆内部的时候,最多有两个自相交点,且都在椭圆的长轴上;当固定点在椭圆上的时候,曲线与长轴相切;当固定点在椭圆外部的时候,最多有一个自相交点,且在椭圆的短轴上。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-5-6 13:15:34 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-5-6 17:09 编辑

假设椭圆的参数方程为$x=acost,y=bsint,$固定点坐标$(x0,y0)$,那么轨迹曲线的参数方程为
$x=(b (x0^2 + y0^2) - a^2 b Cos[t]^2 +  2 (a^2 - b^2) y0 Sin[t] + (-2 a^2 b + b^3) Sin[t]^2)/(2 (b x0 -    a b Sec[t] + a y0 Tan[t])),$
$y=((2 (-a^2 + b^2) x0 + a (a^2 - 2 b^2) Cos[t]) Sin[t] +  a (x0^2 + y0^2) Tan[t] -  a b^2 Sin[t]^2 Tan[t])/(2 (b x0 - a b Sec[t] + a y0 Tan[t]))$
尖点坐标满足$dx/dt=0,dy/dt=0$,即
$(-y0 + b Sin[t]) (2 b (-a^2 + b^2) x0 Cos[t]^3 + a Cos[t]^2 (b (a^2 - 2 b^2) - 2 (a^2 - b^2) y0 Sin[t]) +  a (b (x0^2 + y0^2) +  2 (a^2 - b^2) y0 Sin[t] + (-2 a^2 b + b^3) Sin[t]^2))=0$
$(x0 - a Cos[t]) (-a^3 b - a b^3 + 2 a b x0^2 + 2 a b y0^2 +  3 b (-a^2 + b^2) x0 Cos[t] + 3 a b (a^2 - b^2) Cos[2 t] -  a^2 b x0 Cos[3 t] + b^3 x0 Cos[3 t] + 3 a^3 y0 Sin[t] -  3 a b^2 y0 Sin[t] - a^3 y0 Sin[3 t] + a b^2 y0 Sin[3 t])=0$
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 楼主| 发表于 2019-5-6 13:23:02 | 显示全部楼层
尖点坐标也是要解一个方程,前些日子,由于我不知道这是Talbot曲线,经过自己推算研究,尖点在椭圆渐屈线上,我所得出的方程见https://bbs.emath.ac.cn/thread-15836-1-1.html
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