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楼主: zyhlcj

[求助] Talbot曲线

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发表于 2019-5-6 14:16:47 | 显示全部楼层
一般情况下的尖点坐标、面积、长度,计算出来意义不大啊,从尖点的方程来看,固定点不在坐标轴上的时候,方程是很难解出来的。自相交点在坐标轴上这个性质还是挺意外的。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-5-7 09:59:17 | 显示全部楼层
看样子,当时Talbot也没有得出尖点坐标。
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发表于 2019-5-7 11:42:32 | 显示全部楼层
链接里看到的图形都是假定固定点在横轴上,即$y0=0$,当固定点分别是椭圆的中心和长轴顶点时,尖点的坐标有特殊的形式。
(1)$x0=0$时,尖点坐标满足$Cos[2t]=(a^2+b^2)/(3(a^2-b^2))=(2-e^2)/(3e^2).$尖点坐标$(±(2 a^2 - b^2)^(3/2)/(3 sqrt[3] a sqrt[a^2 - b^2]), ±(a^2 - 2 b^2)^( 3/2)/(3 sqrt[3] b sqrt[a^2 - b^2]))$.可以看出,尖点存在的条件是$e^2>1/2$.
(2)$x0=a$时,尖点坐标满足$Sin[t] + Sin[2 t]=0,t=0,(2pi)/3,(4pi)/3$.此时尖点坐标为$(c^2/a,0),((-c^2)/(8a),±(3\sqrt(3)c^2)/(8b))$.三个尖点,一个在横轴上,两个关于y轴对称。
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发表于 2019-5-7 11:45:10 | 显示全部楼层
固定点在长轴顶点时的图形(红色部分),此时的面积应该有一个比较好的表达式:

固定点为长轴顶点.jpg
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发表于 2019-5-7 12:27:48 | 显示全部楼层
固定点在顶点处,即$x0=a,y0=0$时,轨迹的参数方程是
$x=(c^2 Cos[t/2]^2 Cos[t])/a, y=-(c^2 Sin[t/2]^2 Sin[t])/b$.
面积$S=((a^2 - b^2)^2 \pi)/(8 a b)=(c^4 \pi)/(8 a b).$
固定点为椭圆中心时,链接里已经给出,面积$S=((10a^2b^2-a^4 - b^4) \pi)/(8 a b).$

点评

面积表达式关于a,b对称,即固定点在长轴顶点和短轴顶点时两个图形面积是一样的。  发表于 2019-5-7 12:31
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 楼主| 发表于 2019-5-7 12:40:30 | 显示全部楼层
固定点不只在长轴项点处,在椭圆上时,面积也为πc^4/(8ab)

点评

对,出乎意料  发表于 2019-5-7 13:18
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发表于 2019-5-7 13:33:29 | 显示全部楼层
$x0=ka,y0=0$时
$S=-((b^4 (-2 + k^2 + 2 sqrt[1 - k^2]) +  a^4 (k^2 (5 - 4 sqrt[1 - k^2]) + 2 k^4 (-2 + sqrt[1 - k^2]) + 2 (-1 + sqrt[1 - k^2])) + 2 a^2 b^2 (2 + 2 k^4 - 2 sqrt[1 - k^2] +  k^2 (-3 + 2 sqrt[1 - k^2]))) \pi)/(8 a b k^4)$
关于a,b是不对称的。
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发表于 2019-5-7 14:03:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-5-7 14:26 编辑

$x0=a,y0=0$时,曲线长度$L=(c^2 (3 a^2 sqrt[3 a^2 + b^2] -  b^2 (4 b + sqrt[3 a^2 + b^2])) +  4 a^2 b^2 c (ArcCot[b/c]-  2 ArcCsc[(2 a)/c]))/(2 abc^2)$.
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发表于 2019-5-8 13:08:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-5-8 13:12 编辑

作图发现,将椭圆改成四次曲线$x^4/a^4+y^4/b^4=1$,仍然有四个自相交点在坐标轴上,这一结论应该可以继续推广,在坐标轴上的自相交点的个数似乎等于曲线的次数。

4次生成曲线2.jpg

点评

看图4次曲线,仍有自相交点不在坐标轴上,但椭圆时自相交点都在坐标轴上。  发表于 2019-5-8 14:20
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