Talbot曲线

lsr314

一般情况下的尖点坐标、面积、长度，计算出来意义不大啊，从尖点的方程来看，固定点不在坐标轴上的时候，方程是很难解出来的。自相交点在坐标轴上这个性质还是挺意外的。

zyhlcj

看样子，当时Talbot也没有得出尖点坐标。

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链接里看到的图形都是假定固定点在横轴上，即$y0=0$,当固定点分别是椭圆的中心和长轴顶点时，尖点的坐标有特殊的形式。
（1）$x0=0$时，尖点坐标满足$Cos[2t]=(a^2+b^2)/(3(a^2-b^2))=(2-e^2)/(3e^2).$尖点坐标$(±(2 a^2 - b^2)^(3/2)/(3 sqrt[3] a sqrt[a^2 - b^2]), ±(a^2 - 2 b^2)^( 3/2)/(3 sqrt[3] b sqrt[a^2 - b^2]))$.可以看出，尖点存在的条件是$e^2>1/2$.
（2）$x0=a$时，尖点坐标满足$Sin[t] + Sin[2 t]=0,t=0,(2pi)/3,(4pi)/3$.此时尖点坐标为$(c^2/a,0),((-c^2)/(8a),±(3\sqrt(3)c^2)/(8b))$.三个尖点，一个在横轴上，两个关于y轴对称。

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固定点在长轴顶点时的图形（红色部分），此时的面积应该有一个比较好的表达式：

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固定点在顶点处，即$x0=a,y0=0$时，轨迹的参数方程是
$x=(c^2 Cos[t/2]^2 Cos[t])/a, y=-(c^2 Sin[t/2]^2 Sin[t])/b$.
面积$S=((a^2 - b^2)^2 \pi)/(8 a b)=(c^4 \pi)/(8 a b).$
固定点为椭圆中心时，链接里已经给出，面积$S=((10a^2b^2-a^4 - b^4) \pi)/(8 a b).$

zyhlcj

固定点不只在长轴项点处，在椭圆上时，面积也为πc^4/(8ab)

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$x0=ka,y0=0$时
$S=-((b^4 (-2 + k^2 + 2 sqrt[1 - k^2]) +  a^4 (k^2 (5 - 4 sqrt[1 - k^2]) + 2 k^4 (-2 + sqrt[1 - k^2]) + 2 (-1 + sqrt[1 - k^2])) + 2 a^2 b^2 (2 + 2 k^4 - 2 sqrt[1 - k^2] +  k^2 (-3 + 2 sqrt[1 - k^2]))) \pi)/(8 a b k^4)$
关于a,b是不对称的。

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$x0=a,y0=0$时，曲线长度$L=(c^2 (3 a^2 sqrt[3 a^2 + b^2] -  b^2 (4 b + sqrt[3 a^2 + b^2])) +  4 a^2 b^2 c (ArcCot[b/c]-  2 ArcCsc[(2 a)/c]))/(2 abc^2)$.

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作图发现，将椭圆改成四次曲线$x^4/a^4+y^4/b^4=1$,仍然有四个自相交点在坐标轴上，这一结论应该可以继续推广，在坐标轴上的自相交点的个数似乎等于曲线的次数。