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楼主: markfang2050

[原创] 六边形上19个黑点上不同数字求所有的解!

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发表于 2019-5-13 20:34:25 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-5-13 13:35
4, 2, 6, 6, 4, 11, 5, 8, 0
我对于和为30的无解表示十分不解,也许存在一个简明的人肉证明。

我先说一说,手工分析所依据的一些导出等和组合及和为 “30” 基本资料。
为了表述方便,按下图左对各点分组编号:
1.JPG 2.JPG
记幻方数为m,组号表示组元之和,设A=2a。导出组合如下:
一、边心大三角组合:右图所示俩大三角形顶点之和相等。即
        E12+E34+E56=E23+E45+E61=E/2=95+5a-3m=5a+5
二、菱形组合:右图所示三色菱形顶点之和相等,即
         R1+E23+R4+E56=R2+E34+R5+E61=E12+R3+E45+R6=(R+E)/3=95-2m+a=35+a
三、小三角形组合:Ri+Rj-Eij=m-2A
四、径向双数组合:Ri+Vi=m-A

m=30的基本资料
一、由E=10+5A及E为偶数, E≥21可知
         E=30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
         A=4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
二、易证A=4, 6, 14, 16无解。
当A=4, 6时,径向双数组合Ri+Vi=26,24都恰有6解,剩余的数归入E组:
A                   4                                       6
Ri         7,   8,   9,  10, 11, 12       5,   7,    8,  9,   10, 11
+
Vi        19, 18, 17, 16, 15, 14       19, 17, 16, 15, 14,  13
E组      1,2,3,5,6,13         1,2,3,4,12,18
但这样的E组都显然分不成两个大三角组合(其中的最大数13,18太大)。
故A=4,6无解。
对应地,A=16,14  也无解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-13 22:52:05 | 显示全部楼层
m=30, A=8时,R=67, V=65, E=50, 大三角组合E/2=25, 菱形组合(E+R)/3=39
径向双数组合 Ri+Vi=22 有7解
3+19
4+18
5+17
6+16
7+15
9+13
10+12
可确定的E组元素有1, 2, 11, 14,还有 2 个需从上面调配。
上述7解为4奇3偶,由于V、R为奇,所以必取3奇3偶,调给E组的必是一个奇数对。
E/2=25, 所以两个大三角组合必定一个是三奇,一个是一奇两偶,故必是
14+2+9=11+1+13=25
(待续)
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发表于 2019-5-14 17:49:33 | 显示全部楼层
三、试证A=10无解。
        我们将19个数每个减去10,变成0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9.
        A=10变成了A=0,幻方数m=30变成了m=0. 19个数总和190也变成了总和0.
1、径向双数组合Ri+Vi=0有9解,恰好是全部9个相反数对(互补对)。
        Vi+Ri取6个相反对,其余三个归入E组。因此相反对不可能出现在V组、R组内部。
2、菱形组合的和也是0.
       菱形组合内的相对R元不是相反对→相对E元不是相反对。
3、大三角组合的和亦为0,即E21+E34+E56=E23+E45+E61=0。
        因此相反对不会出现在大三角组合E/2内部,否则第3角为零了。E组内的相反对在两个E/2间。
        由于相对E元非相反对,所以E组内的相反对相邻。
4、小三角组合变得简明:Eij=Ri+Rj,这个组合对奇偶运算很重要。

9个相反对分为奇数对5个,偶数对4个。
在大三角组合E/2内的三个数必是2奇1偶或者3偶,所以E组的3个相反对必是2奇1偶或者3偶,如下表所示(红色0,1)。
已知E组的三个相反对的奇偶分布,便可按小三角组合进行奇偶运算,推导出(Ri+Vi)各相反对的相对奇偶关系,如下表所示:
E组相反对为3偶
x 0 x
0 x x 0
x x O x x
0 x x 0
x
0
x
x=1 时6奇3偶
x=0 时0奇9偶
E组相反对为1偶2奇
x
1 y
0 x
y
1
x x O xx
0x y 1
x 1y
x=1, y=0 时6奇3偶
x=0, y=1 时4奇5偶

两种情况都得不到5奇4偶的结果,可见A=10无解。

点评

奇偶检验,用得不错。再接再厉,把45#的A=8续完。  发表于 2019-5-16 09:02

评分

参与人数 1威望 +6 金币 +20 贡献 +6 经验 +6 鲜花 +6 收起 理由
hujunhua + 6 + 20 + 6 + 6 + 6 奇偶检验,简明!

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-5-16 09:28:54 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-5-13 22:52
A=8时,径向双数组合Ri+Vi=22有7解
3+19
4+18


接45#(不知天高地厚,我就接了),欢迎批评指正!

大三角组合为14+2+9=11+1+13=25,
径向双数组合 Ri+Vi 为
3+19
4+18
5+17
6+16
7+15
10+12
上述左列6个数之和=35,与R=67相差32,与V=65相差30.
“右列-左列”依次是16, 14, 12, 10, 8, 2
从右边调30或者32到左边,即把上述差列分成和为30与32的两部分,计有3个组合
30=16+14=12+10+8=16+12+2,(对应的 32 组合略)
组合(1),  R=67=3+4+12+15+16+17, V=65=5+6+07+10+18+19
组合(2),  R=67=5+6+07+12+18+19, V=65=3+4+10+15+16+17
组合(3),  R=67=3+5+10+15+16+18, V=65=4+6+07+12+17+19
对组合(1), 穷举Eij=30-Vi-Vj,得不到E组中的9。
对组合(2), 穷举Eij=30-Vi-Vj,得不到E组中的1。
对组合(3), 穷举Eij=30-Vi-Vj,得不到E组中的2。

点评

穷举检漏,表述起来也简明,避免了按分枝树搜索检验。  发表于 2019-5-16 12:29

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参与人数 1威望 +6 金币 +20 贡献 +6 经验 +6 鲜花 +6 收起 理由
hujunhua + 6 + 20 + 6 + 6 + 6 穷举捡一漏,有总揽全局之高。

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-5-16 12:50:22 | 显示全部楼层
可以不穷举。
最后得到的V组都有一个特性,就是存在和等于30的三元子集,显然它必是{V1, V3, V5}或者{V2, V4, V6}。
问题是这样的三元子集还不止一个,两个又必有公共元,不妨设公共元占V1, 则非公共元都要占{V3, V5}, 这就撞车了。
以组合(1)的V=5+6+7+10+18+19为例,和为30的三元子集有以下两个:
30=5+6+19=5+7+18,公共元为5。{6, 19}与{7, 18}撞车。
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