关于两个正六边形的面积比例

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网友问的求两正六边形面积比问题

网友问的求两正六边形面积比问题之续篇

王守恩

lsr314 发表于 2019-5-14 17:26
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设 \(DB=\sin90=1\)
由直角三角形 DBS 得 \(DS=\sin\theta\)
由直角三角形 DBC 得 \(DC=\sqrt{3}\)
在三角形 DCJ 中，DJ=DS
\(\frac{DJ}{\sin(30-\theta)}=\frac{DC}{\sin30}\ \ 即：\frac{\sin\theta}{\sin(30-\theta)}=\frac{\sqrt{3}}{\sin30}\)
得：\(\tan\theta=\sqrt{\frac{3}{16}}\ \ 即：\sin\theta=\sqrt{\frac{3}{19}}\)
\(\frac{S_{1}}{S_{2}}=\bigg(\frac{DS}{DC}\bigg)^2=\bigg(\frac{\sqrt{\frac{3}{19}}}{\sqrt{3}}\bigg)^2=\frac{1}{19}\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-5-24 17:39
设 \(DB=\sin90=1\)
由直角三角形 DBS 得 \(DS=\sin\theta\)
由直角三角形 DBC 得 \(DC=\sqrt{3}\)

设 \(DB=\sin90=1\ \ 则：BC=2\)
由直角三角形 DBS 得：\(DS=\sin\theta\ \ AS=\frac{2\sin\theta}{\sqrt{3}}\ \ SB=\cos\theta\)
在三角形 ABC 中：\(\frac{BC}{\sin60}=\frac{AB}{\sin(60-\theta)}\ \ 即：\frac{2}{\sin60}=\frac{\frac{2\sin\theta}{\sqrt{3}}+\cos\theta}{\sin(60-\theta)}\)
得 \(\tan\theta=\sqrt{\frac{3}{16}}\ \ 即：\sin\theta=\sqrt{\frac{3}{19}}\)
\(\frac{S_{1}}{S_{2}}=\bigg(\frac{AS}{BC}\bigg)^2=\bigg(\frac{\frac{2\sin\theta}{\sqrt{3}}}{2}\bigg)^2=\bigg(\frac{\sin\theta}{\sqrt{3}}\bigg)^2=\bigg(\frac{\sqrt{\frac{3}{19}}}{\sqrt{3}}\bigg)^2=\frac{1}{19}\)

王守恩

王守恩 发表于 2019-5-24 17:39
设 \(DB=\sin90=1\)
由直角三角形 DBS 得 \(DS=\sin\theta\)
由直角三角形 DBC 得 \(DC=\sqrt{3}\)

过D作JI的平行线，交AB于E，交AC于F，
由直角三角形 DBC得  \(DB=\sin90=1\ \ DC=\sqrt{3}\)
在三角形 DBE 中：\(\frac{DB}{\sin120}=\frac{DE}{\sin(\theta)}\ \ DE=\frac{2\sin\theta}{\sqrt{3}}\)
在三角形 DCF 中：\(\frac{DC}{\sin120}=\frac{DF=DE/2}{\sin(30-\theta)}\ \ 即：\frac{\sqrt{3}}{\sin120}=\frac{\frac{\sin\theta}{\sqrt{3}}}{\sin(30-\theta)}\)
得 \(\tan\theta=\sqrt{\frac{3}{16}}\ \ 即：\sin\theta=\sqrt{\frac{3}{19}}\)
\(\frac{S_{1}}{S_{2}}=\bigg(\frac{DF}{DB}\bigg)^2=\bigg(\frac{\frac{\sin\theta}{\sqrt{3}}}{1}\bigg)^2=\bigg(\frac{\sin\theta}{\sqrt{3}}\bigg)^2=\bigg(\frac{\sqrt{\frac{3}{19}}}{\sqrt{3}}\bigg)^2=\frac{1}{19}\)

chyanog

借楼发个类似的题目，图中是两个正七边形，共用一个顶点且橙色的线都过两个多边形的三顶点，面积分别记为S1、S2，求S1:S2。
期待平面几何解法。

chyanog

正七边形面积比.ggb (16.03 KB, 下载次数: 8)

2020-8-11 15:02 上传

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