关于两个正六边形的面积比例

wayne

针对一个正n边形，按顺时针方向依次给顶点编号$A_k$，$1<=k<j<=n$,那么 $|A_jA_k| = 2r*sin(\frac{(j-k)\pi}{n})$
间隔零个顶点的两顶点构成的边的长度是$r_1=2r*sin(\frac{\pi}{n})$
间隔一个顶点的两顶点构成的边的长度是$r_2=2r*sin(\frac{2\pi}{n})$
间隔两个顶点的两顶点构成的边的长度是$r_3=2r*sin(\frac{3\pi}{n})$
间隔三个顶点的两顶点构成的边的长度是$r_4=2r*sin(\frac{4\pi}{n})$
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我引用一下9楼的图片地址：

对于本题，我们要想办法 用上  两个 三点共线的情况，以及两个多边形共点的情况。
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为了用上三点共线的条件， 方法比较多
1）我们可以用 三个顶点构成的三角形面积为0来表达，即行列式为0, 这样的话 在方法论上就涉及到 坐标， 解析几何了。
2）三个点构成180度的角。然后就是三角形的正弦定理。此处略。
3）张角定理。
这里，我来用用 张角定理。以公共顶点为基准，分别利用两次张角定理，再结合角度和等于360度，能得到三个方程，这些方程很简洁，容易手工消元成一个方程，不过接下来仍然逃离不掉 要解三角函数方程了。
所以我觉得 解三角函数方程是该问题的内秉特征，不管你用什么方法，最终逃不掉的。