将数字1到9放在圆圈内，每个小三角形上的数字之和相互相等。求出所有的可能解

markfang2050

dlpg070 发表于 2019-5-18 22:11
为了给研究交换排列的朋友提供直观图形,下面按照楼主的数据画的图
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dlpg070

northwolves 发表于 2019-5-17 10:08
1  5  9
1  6  8
2  4  9

显然您对此题了然于胸,早有代码和结果
我曾经怀疑此处数据,经编码验证无误
我试图纯手工得到全部480个解(消磨时间!)
8个基本图形(圆形点构成的三角形的三边和=15)
手工求解遇到难题

dlpg070

王守恩 发表于 2019-5-17 06:04
480=10×3×2×2×2×2
10=基本解
3=固定c,e,f

分析的非常好,不由得产生纯手工得到全部480 个解的冲动
在准备中发现一点疑问,看到你的10个基本解,画了图,看看对吗?

希望你能给出480个解,你一定能,只是工作量太大
我将利用代码辅助计算,不拘泥于手工.

王守恩

dlpg070 发表于 2019-5-19 14:20
分析的非常好,不由得产生纯手工得到全部480 个解的冲动
在准备中发现一点疑问
我的注解是否有理?

先把10个基本解(见8楼)找出来。先固定c,e,f，约定：a<b，c<e<f，d<h，g<i，10个基本解就是唯一确定的。

1  5  9
1  6  8
2  4  9
2  5  8
2  6  7
3  4  8
3  5  7
4  5  6
其中 258，456 有 2 个基本解。
按abcefdhgi
681593724
591682734
672493815
492583716
672581934
492671835
573482916
483571926
294563718
384561927

dlpg070

王守恩 发表于 2019-5-19 14:38
先把10个基本解(见8楼)找出来。先固定c,e,f，约定：a

10个基本街的图片
待深入理解
有此基本街,则其余不难
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hujunhua

我喜欢这样的

		4		9
			2
3		5		8		1
	7				6

原先的定义就四个三角形约束，嫌少，这个有7个了（加348, 267, 159)，只比所有可用组合少了一个，到极限了。
这样紧致的定义，除了旋转、反射等整体变换，局部交换就没那么随意了。
但我们发现还是有一个局部交换，以上图为例为1&#8660;3, 4&#8660;6, 7&#8660;9. 变换的结果为

		6		7
			2
1		5		8		3
	9				4

下面这样也不错，有6个约束（加159和348）。

		9		4
			2
8		6		7		5
	1				3

这样定义的幻方有两个局部交换，以上图为例是6&#8660;1/8，7&#8660;5/3，2&#8660;4/9
变换结果是

2 4 9 8 1 5 7 6 3

9 2 4 6 8 3 5 1 7

如果我们把通过这种局部交换能够互易的两个基本解也看作等价类，就可以减少基本解的数量。
实际识别了一下，楼上10个基本解，符合这种紧致约束的有6个，按上述变换划分只有两个等价类。

hujunhua

第一种定义的参数解。能看出三组等差数列，公差都是d, 中项分别是a, b, c.

		b+d		c-d
			a
a-d		b		c		a+d
	c+d				b-d

所谓的局部交换，不过是公差 d 的符号变化而己。这样的定义下显然只有 d=±1, ±3的四解（或者说两解）。

第二种定义，将所有的数减去5做成填入数为0, ±1, ±2, ±3, ±4 的零和幻方可能更简明。
在局部交换视为等价类的情况下，所有的格都不是特殊格，故可以取任意格为零，参数解可简化为

		-b		b
			0
-c		c-a		a-c		b-a
	a				c-b

王守恩

将数字1到9放在圆圈内，每个小三角形上的数字之和相互相等。求出所有的可能解
每个小三角形上的数字之和相互相等，这个和只能是15(45+c+e+f=(c+e+f)*4)。
15分成3个数，有8种分法：15=159=168=249=258=267=348=357=456
基本解(cef组合)。8种分法8个组合(其他6个数的位置是唯一确定的)，258,456各有另外1个。
所有的可能解480种
480=10×3×2×2×2×2
10=基本解
3=固定c,e,f
2=交换a,b
2=交换d,h
2=交换e,f
2=交换g,i
注意：任何1个小小的变化都可以得到1种解；每个基本解都有48种解。

dlpg070

王守恩 发表于 2019-5-20 08:40
将数字1到9放在圆圈内，每个小三角形上的数字之和相互相等。求出所有的可能解
每个小三角形上的数字之和相 ...

求得前30个基本解,
比较困难,但有规律可循,
需要规定 a<b && d<h&& g<i&& e<f
所以 cef 的值 159 ,519 ,915 3种情形,
以后每次只需2点交换,没有难度,不再贴出图片
11-30# 图形显示如下:

markfang2050

dlpg070 发表于 2019-5-20 16:31
求得前30个基本解,
比较困难,但有规律可循,
需要规定 a

建议你把这绘图的MMA程序发上来。